Landeswettbewerb Mathematik Bayern

Transkript

1 Landeswettbewerb Mathematik Bayern Mathematikwettbewerbe: Chancen für gute Schüler und Schülerinnen Chancen für die Mathematik Albrecht Kliem LWMB 1

2 Landeswettbewerb Mathematik Bayern 1. Mathematikwettbewerbe im Überblick 2. Typische Aufgaben 3. Lösungsfindung und Formulierung 4. Verankerung in der Schule und Chancen für die Mathematik 5. Spezielle Förderprogramme: Breitenförderung durch Spitzenförderung 6. Austausch Rückmeldungen Anregungen LWMB 2

3 Überblick: Mathematikwettbewerbe an bayrischen Gymnasien JgSt. Hausaufgaben - Wettbewerbe Klausurwettbewerb Multip. Choice Fürther Mathematik Olympiade Verein Deutsche Känguru 10. Landeswettbewerb Mathematik Bayern KM Mathematik Olympiaden Wettbewerb 12. Bundeswettbewerb Mathematik Bund Verein und Bund Verein Internationale Mathematik Olympiade IMO LWMB 3

4 Fürther Mathematik Olympiade Zielgruppe: 5 8 Wettbewerb: Hausaufgabenwettbewerb in 2 Runden Veranstalter: Verein, engagierte Kollegen Besonderes: regionale Strukturen Vernetzung mit LWMB vorhanden lokale Sponsoren und Preisverleihungen vielfältige Kontakte LWMB 4

5 Bundeswettbewerb Mathematik Zielgruppe: Schüler bis zum Abitur in ganz Deutschland Teilnehmeranzahl: 1500 ± 500 Wettbewerb: Hausaufgabenwettbewerb 2 Runden dann Colloquium, Bundessieger in Studienstiftung Veranstalter: Bildung und Begabung e.v. Bonn (BMBF und Stifterverband) Besonderes: Ländervergleich: Bayern immer vorne W-Seminararbeit in mat.-nat. Aufgabenfeld Gute Kontakte und Vernetzung mit LWMB Geschäftsstelle für Bundesweite Mathematikwettbewerbe in Bonn LWMB 5

6 Deutsche Mathematik Olympiade Zielgruppe: Schüler bis zum Abitur Wettbewerb: Klausuren / 4 Runden / nach JgSt. getrennt Bundesländer mit unterschiedlichen Strukturen Veranstalter: MO e.v. und Bildung und Begabung e.v. Besonderes: Deutschlandrunde Im Ländervergleich ist Bayern mit vorne. Bayernrunde, Neu: Mathematik-Olympiade Bayern e.v. Zentrale Landesrunde 2013 Würzburg mit Unterstützung KM LWMB 6

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8 13. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 2010 M A T H E M A T I K Einzelheiten zur Teilnahme findest Du auf der Rückseite oder unter Du kannst Lösungen zu maximal vier Aufgaben einsenden (10. Klasse nicht A1). Einsendeschluss ist der Du besuchst eine Realschule oder ein Gymnasium bis einschließlich Klassenstufe 10. Du fühlst dich von mathematischen Aufgaben herausgefordert und Du möchtest deine Fähigkeiten testen und erweitern. Dann ist dieser Wettbewerb des bayrischen Kultusministeriums genau das Richtige für dich. Aufgabe 1 Sonja hat neun Karten, auf denen die neun kleinsten zweistelligen Primzahlen stehen. Sie will diese Karten so in eine Reihe legen, dass sich die Zahlen auf zwei nebeneinander liegenden Karten immer um eine Potenz der Zahl 2 unterscheiden. Wie viele Möglichkeiten hat Sonja, ihre Karten anzuordnen? Aufgabe 2 Kleine Holzquader, die alle 10 cm lang, 9 cm breit und 7 cm hoch sind, sollen in eine quaderförmige Kiste mit den Innenmaßen 50 cm, 30 cm und 28 cm gepackt werden. Bestimme die größtmögliche Anzahl an Holzquadern, die in die Kiste passen, und gib eine Möglichkeit an, wie man sie in die Kiste packen kann. Aufgabe 3 Gegeben sind fünf verschiedene positive ganze Zahlen. Bildet man alle möglichen Summen von jeweils zwei dieser Zahlen, so erhält man genau sieben verschiedene Werte. Zeige, dass die Summe der fünf Zahlen durch 5 teilbar ist. Aufgabe 4 Drei Quadrate sind wie in der Abbildung angeordnet. Zeige, dass die Flächeninhalte der beiden markierten Dreiecke gleich groß sind. Aufgabe 5 Gegeben ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C. Die Punkte D und E liegen außerhalb des Dreiecks auf den Halbgeraden [AC bzw. [CB. Beweise: Die Strecken [CD] und [CE] sind genau dann gleich lang, wenn sich die Geraden AE und BD rechtwinklig schneiden. Aufgabe 6 Das Produkt dreier positiver ganzer Zahlen ist dreimal so groß wie ihre Summe. Bestimme alle Möglichkeiten für die drei Zahlen LWMB 8 Der Landeswettbewerb Mathematik Bayern wird gefördert von

9 Das Produkt dreier positiver ganzer Zahlen ist dreimal so groß wie ihre Summe. Bestimme alle Möglichkeiten für die drei Zahlen LWMB 9

10 13. Landeswettbewerb Mathematik Das Produkt dreier positiver ganzer Zahlen ist dreimal so groß wie ihre Summe. Bestimme alle Möglichkeiten für die drei Zahlen LWMB 10

11 ... aus einer der Teilnehmer Sehr geehrter Herr Kliem, wir sind mit der Bewertung unserer Arbeiten nicht einverstanden und bitten um eine Überprüfung..... Bei der Aufgabe 6 haben wir mit Hilfe von Excel sämtliche Möglichkeiten untersucht und anschaulich bewiesen das es keine weiteren Lösungen geben kann. Im Anhang finden sie nochmals die Tabellen. Viele Grüße LWMB 11

12 Das Produkt dreier positiver ganzer Zahlen ist dreimal so groß wie ihre Summe. Bestimme alle Möglichkeiten für die drei Zahlen. a b c = 3 ( a + b + c ) o.b.d.a. sei a b c a b c 3 ( c + c + c ) a b c 9 c (1) dann folgt aus (1) = 9 c also gilt: und somit ist a b 9 a b LWMB 12

13 a b 13. Landeswettbewerb Mathematik Das Produkt dreier positiver ganzer Zahlen ist dreimal 1 3 so groß wie ihre Summe. Bestimme alle Möglichkeiten für die drei Zahlen LWMB 13

14 13. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 2010 M A T H E M A T I K Einzelheiten zur Teilnahme findest Du auf der Rückseite oder unter Du kannst Lösungen zu maximal vier Aufgaben einsenden (10. Klasse nicht A1). Einsendeschluss ist der Du besuchst eine Realschule oder ein Gymnasium bis einschließlich Klassenstufe 10. Du fühlst dich von mathematischen Aufgaben herausgefordert und Du möchtest deine Fähigkeiten testen und erweitern. Dann ist dieser Wettbewerb des bayrischen Kultusministeriums genau das Richtige für dich. Aufgabe 1 Sonja hat neun Karten, auf denen die neun kleinsten zweistelligen Primzahlen stehen. Sie will diese Karten so in eine Reihe legen, dass sich die Zahlen auf zwei nebeneinander liegenden Karten immer um eine Potenz der Zahl 2 unterscheiden. Wie viele Möglichkeiten hat Sonja, ihre Karten anzuordnen? Aufgabe 2 Kleine Holzquader, die alle 10 cm lang, 9 cm breit und 7 cm hoch sind, sollen in eine quaderförmige Kiste mit den Innenmaßen 50 cm, 30 cm und 28 cm gepackt werden. Bestimme die größtmögliche Anzahl an Holzquadern, die in die Kiste passen, und gib eine Möglichkeit an, wie man sie in die Kiste packen kann. Aufgabe 3 Gegeben sind fünf verschiedene positive ganze Zahlen. Bildet man alle möglichen Summen von jeweils zwei dieser Zahlen, so erhält man genau sieben verschiedene Werte. Zeige, dass die Summe der fünf Zahlen durch 5 teilbar ist. Aufgabe 4 Drei Quadrate sind wie in der Abbildung angeordnet. Zeige, dass die Flächeninhalte der beiden markierten Dreiecke gleich groß sind. Aufgabe 5 Gegeben ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C. Die Punkte D und E liegen außerhalb des Dreiecks auf den Halbgeraden [AC bzw. [CB. Beweise: Die Strecken [CD] und [CE] sind genau dann gleich lang, wenn sich die Geraden AE und BD rechtwinklig schneiden. Aufgabe 6 Das Produkt dreier positiver ganzer Zahlen ist dreimal so groß wie ihre Summe. Bestimme alle Möglichkeiten für die drei Zahlen LWMB 14 Der Landeswettbewerb Mathematik Bayern wird gefördert von

15 Landeswettbewerb Mathematik Bayern Geschichte und Hintergrund der Entstehung: TIMSS 1995 Bildungsoffensive Mathematik Bundeswettbewerb Mathematik Entwicklung am ISB Zusammenarbeit mit Baden-Württemberg Erfahrungen bei Fürther Matheolympiade Start im Schuljahr 1998/ LWMB 15

16 Ziele: Förderung von Kreativität und Innovativität Durchhaltevermögen und Ausdauer Kommunikationsfähigkeit mathematischer Spitzenbegabungen Zielgruppe: Mittelstufe Gymnasium und Realschule Wettbewerb: Hausaufgabenwettbewerb in 2 Runden Veranstalter: Kultusministerium LWMB 16

17 Durchführung: Wettbewerbsleiter, Kontaktlehrer Aufgaben: Korrektur: Kommission (Bayern und B-W) 25 Arbeiten pro Korrektor Finanzierung: KM: Personal und Geldmittel Förderverein mit Sponsoren Teilnehmer: 1000 bis 1200 Preise: Urkunden/ Bücher/ Ferienseminare Festveranstaltung: Prämierung der erfolgreichsten Schulen LWMB 17

18 Anforderungen an die Aufgaben: kurz, prägnant, motivierend "2 nicht so schwere" und "4 nicht so leichte geeignete Einstiegsaufgabe! Aufgaben mit erstaunlichem Ergebnis Aufgaben mit Teillösungen mindestens zwei Geometrieaufgaben Korrekturaufwand? LWMB 18

19 Problemfelder bei der Aufgabenerstellung Wandel des Lehrplans und der Unterrichtsrealität Beweistechniken? Geometrie! Umfangswinkelsatz? Ähnlichkeit, Strahlensatz, Satzgruppe Pythagoras? Teilbarkeit? Vorbereitung auf Bundeswettbewerb! Kombinatorik!? LWMB 19

20 Eine Einstiegsaufgabe

21 14. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 2011 MATHE MATIK Einzelheiten zur Teilnahme findest Du auf der Rückseite oder unter Du kannst Lösungen zu maximal vier Aufgaben einsenden (10. Klasse nicht A1). Einsendeschluss ist der Du besuchst eine Realschule oder ein Gymnasium bis einschließlich Klassenstufe 10. Du fühlst dich von mathematischen Aufgaben herausgefordert und Du möchtest deine Fähigkeiten testen und erweitern. Dann ist dieser Wettbewerb des bayrischen Kultusministeriums genau das Richtige für dich. Aufgabe 1 David wirft einen besonderen Würfel und schreibt jeweils die oben liegende Zahl auf. Die Abbildung zeigt ein Netz seines Würfels. Wie oft muss David mindestens würfeln, damit unter den aufgeschriebenen Zahlen ganz sicher drei Zahlen sind, deren Summe durch 3 teilbar ist? Aufgabe 2 In dem nebenstehenden Quadrat gilt: AB = BC = CD und sbcd = 90. Bestimme die Größe des Winkels α. Aufgabe 3 Robert addiert zuerst sieben aufeinander folgende, danach acht aufeinander folgende und schließlich neun aufeinander folgende positive ganze Zahlen. Er erzielt dabei dreimal das gleiche Ergebnis. Christina stellt fest: Das ist der kleinste Wert, den man so erhalten kann! Welchen Wert hat Robert berechnet? Aufgabe 4 Gegeben ist ein Trapez ABCD mit den parallelen Seiten [AB] und [CD]. Bestimme die Lage aller Punkte P im Inneren dieses Trapezes, für die die Dreiecke APD und CPB den gleichen Flächeninhalt haben. Aufgabe 5 Ein gerader Schnitt zerlegt ein Dreieck ABC in zwei Teildreiecke, die zueinander ähnlich, aber nicht kongruent sind. Zeige: Das Dreieck ABC ist rechtwinklig. Hinweis: Zwei Dreiecke heißen zueinander ähnlich, wenn sie in ihren Innenwinkeln übereinstimmen. Aufgabe 6 Bestimme alle natürlichen Zahlen a und b, für die 1 a = 1 gilt. a b ab Der Landeswettbewerb Mathematik Bayern wird gefördert von Hauptsponsor 21

22 Eine Einstiegsaufgabe LWMB 22

23 Eine Einstiegsaufgabe Idee: Wird fünf mal geworfen, so ist entweder jede der Zahlen 0, 1, 2, oder eine Zahl dreimal vertreten. In jedem Fall ist die Summe dieser drei Zahlen durch 3 teilbar. Der Wurf 0, 0, 2, 2 zeigt, dass vier Würfe nicht ausreichen LWMB 23

24 Probleme mit Formulierungen LWMB 24

25 Eine Einstiegsaufgabe Ein Stück Papier wird in 7 oder 10 Stücke zerschnitten. Nun wird eines der vorhandenen Stücke wieder wahlweise in 7 oder 10 Stücke zerschnitten; dieser Vorgang wird mehrmals wiederholt. Kann man auf diese Weise 2006 Papierstücke erhalten? LWMB 25

26 Ein Stück Papier wird in 7 oder 10 Stücke zerschnitten... Kann man auf diese Weise 2006 Papierstücke erhalten? LWMB 26

27 LWMB 27

28 Freude mit Formulierungen LWMB 28

29 LWMB 29

30 LWMB 30

31 Arbeit mit Formulierungen Ein Klebezettel an einer Bearbeitung: LWMB 31

32 Lehrplan zum Thema Beweisen Fundstellen von beweisen bzw. begründen: Fachprofil / Jahrgangsstufenpläne / Linkebene LWMB 32

33 Lehrplan zum Thema Beweisen Fachprofil: Fünf fachspezifische Arbeitsweisen, darunter:... Begriffe definieren; Zusammenhänge hinterfragen und ergründen; Vermutungen und Hypothesen aufstellen, begründen und beweisen bzw. widerlegen; Aussagen verallgemeinern, an Beispielen spezifizieren und konkretisieren LWMB 33

34 Lehrplan zum Thema Beweisen Jahrgangsstufe 7 (1 mal beweisen und 6 mal begründen)... sie verstehen den Beweis des Satzes von Thales. M 7.1 Figurengeometrie: vom Zeichnen und Beschreiben zum Konstruieren und Begründen LWMB 34

35 Lehrplan zum Thema Beweisen Jahrgangsstufe 8 Jahrgangsstufe 9 (0 mal beweisen und 0 mal begründen) (1 mal beweisen und 1 mal begründen) In der Jahrgangsstufe 9 erwerben die Schüler folgendes Grundwissen: Sie sind sich der Notwendigkeit von Begründungen bewusst..... Beim Beweis der Satzgruppe machen sie sich wiederum die generelle Struktur mathematischer Sätze bewusst und üben erneut folgerichtiges Argumentieren LWMB 35

36 Lehrplan zum Thema Beweisen Jahrgangsstufe Link - Ebene 7.Klasse 10 (0 mal beweisen und 0 mal begründen) Begründen und Beweisen / Mathematische Sätze Begründen bzw. Beweisen gehört zu den übergeordneten allgemeinen Kernkompetenzen, die im Verlauf des Mathematik-Unterrichts gebunden an geeignete Inhalte aus allen vier Themensträngen vermittelt werden sollen. In diesem Zusammenhang sind auch eine korrekte Fachsprache sowie die Hierarchie mathematischer Aussagen zu thematisieren LWMB 36

37 Lehrplan zum Thema Beweisen Link-Ebene 7.Klasse.... konsistentes mathematisches Gedankengebäude Themenblock Beweistechniken aufgelöst,.... um an geeigneten Stellen in den Lernfortschritt der einzelnen Jahrgangsstufen integriert zu werden. Geometrie: Einblick in den kausal-logischen Aufbau im Sinne Euklids LWMB 37

38 Ideen für die Weiterentwicklung des Lehrplans Kernkompetenz Begründen und Beweisen auf Lehrplanebene verankern Inhalte zum Erwerb dieser Kernkompetenz benennen... um an geeigneten Stellen in den Lernfortschritt der einzelnen Jahrgangsstufen integriert zu werden. ist zu wenig! Aussagen! Voraussetzung und Behauptung, Wenn - Dann - Struktur, Äquivalenz! notwendig und hinreichend Ziel: Studierfähigkeit der Abiturienten für mathematische Fächer erhöhen LWMB 38

39 Wünsche Unterricht: Mehr "echte" mathematische Aufgabenstellungen Mathematik ist Gedankenarbeit Aussagenlogik Heuristiken Formulierungen Lehrkräfte: Lehrer sollten "Denken lehren nicht Gedachtes" Lehrerausbildung: Wettbewerbe bekannt machen! "gute Schüler" brauchen "gute Lehrer LWMB 39

40 Ende! Vielen Dank! Fragen? Anregungen? LWMB 40