1. Zug und Druck in Stäben

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1 1. Zug und Druck in Stäben Stäbe sind Bauteile, deren Querschnittsabmessungen klein gegenüber ihrer änge sind: D Sie werden nur in ihrer ängsrichtung auf Zug oder Druck belastet. D Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM 2.1-1

2 1.1 Spannung 1.2 Dehnung 1.3 Stoffgesetz 1.4 Beispiele 1. Zug und Druck in Stäben Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM 2.1-2

3 1.1 Spannung Betrachtet wird ein gerader Stab mit konstanter Querschnittsfläche A. Die Verbindungslinie der Schwerpunkte der Querschnittsflächen wird als Stabachse bezeichnet. Der Stab wird an seinen Enden durch die Kräfte belastet, deren Wirkungslinie mit der Stabachse übereinstimmt. Stabachse Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM 2.1-3

4 1.1 Spannung Innere Kraft: An einer Schnittfläche senkrecht zur Stabachse tritt eine Normalkraft N auf: N N Die Normalkraft ist die Resultierende einer über den gesamten Querschnitt verteilten lächenkraft. Diese lächenkraft wird als Normalspannung σ bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM 2.1-4

5 1.1 Spannung Vorzeichen der Normalspannung: Eine positive Normalspannung bedeutet Zug, eine negative Normalspannung bedeutet Druck. σ > 0 σ > 0 σ < 0 σ < 0 Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM 2.1-5

6 1.1 Spannung Positives Schnittufer: Negatives Schnittufer: σ > 0 x x σ > 0 Die x-achse zeigt aus der Schnittfläche. Die positive Normalspannung zeigt in Richtung der positiven x- Achse. Die x-achse zeigt in die Schnittfläche. Die positive Normalspannung zeigt entgegen der positiven x- Achse. Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM 2.1-6

7 1.1 Spannung Wert der Normalspannung: In hinreichender Entfernung vom Rand des Stabes ist die Normalspannung gleichmäßig über den Querschnitt verteilt. ür den Wert der Normalspannung gilt dann: = N A Diese Beziehung gilt nicht in der Nähe der Krafteinleitung, da dort die Normalspannung nicht gleichmäßig über den Querschnitt verteilt ist. Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM 2.1-7

8 1.1 Spannung σ σ = A A Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM 2.1-8

9 1.1 Spannung Einheit der Normalspannung: Die Einheit der Normalspannung ist Kraft pro läche. Gebräuchlich ist die Einheit 1 N /mm 2 =10 6 N /m 2 =10 6 Pa=1 MPa Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM 2.1-9

10 1.1 Spannung Stab mit veränderlichem Querschnitt: Bei einem Stab mit schwach veränderlichem Querschnitt ist die Normalspannung in guter Näherung ebenfalls gleichmäßig über den Querschnitt verteilt. ür den Wert der Normalspannung gilt dann: x = N A x Diese Beziehung gilt nicht, wenn sich der Querschnitt stark ändert, was z.b. bei Kerben oder bei öchern im Stab der all ist. Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

11 1.1 Spannung x x A x B x C x A = N A x A x B N A x B x c N A x c Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

12 1.1 Spannung Beispiel: Ein konischer Stab mit kreisförmigem Querschnitt wird durch eine Druckkraft beansprucht. Wie groß ist die Normalspannung σ(x) in einem beliebigen Schnitt senkrecht zur Stabachse? r 0 2r 0 x Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

13 1.1 Spannung ür den Radius gilt: r x =r 2 r 0 r 0 0 x=r 0 1 x ür die Querschnittsfläche gilt: 2 A x = r 2 x = r 1 x 2 0 ür die Normalkraft gilt: Damit folgt für die Normalspannung: x = N A x = 2 = r 1 x 2 0 N = 0 1 x 2 mit 0 = r 0 2 Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

14 1.1 Spannung Das negative Vorzeichen gibt an, dass es sich um eine Druckspannung handelt. Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

15 1.1 Spannung Zulässige Spannung: Der Stab versagt, wenn der Betrag der Normalspannung größer als eine vom Werkstoff abhängige maximale Spannung ist: max Bei manchen Werkstoffen sind die maximalen Spannungen für Zug und Druck unterschiedlich. Um zu berücksichtigen, dass die tatsächlichen Daten streuen und auch die asten mit Ungenauigkeiten behaftet sind, wird für den estigkeitsnachweis und die Auslegung eine kleinere sogenannte zulässige Spannung verwendet: zul max Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

16 1.1 Spannung Der Zusammenhang zwischen zulässiger und maximaler Spannung wird durch den Sicherheitsfaktor S beschrieben: zul = max mit S 1 S Der Querschnitt eines Stabes muss so gewählt werden, dass die zulässige Spannung nicht überschritten wird: = N A zul A N zul Ein auf Druck beanspruchter schlanker Stab kann durch Knicken versagen, bevor die zulässige Spannung überschritten wird Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

17 1.2 Dehnung Zunächst wird wieder ein Stab mit konstanter Querschnittsfläche betrachtet. Greift an seinen Enden eine Zugkraft an, dann verlängert sich der Stab um die änge Δ. Δ Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

18 1.2 Dehnung Dehnung: In vielen ällen ist die Verlängerung Δ proportional zur Stablänge : ~ Die Dehnung ε wird daher definiert durch das Verhältnis der Verlängerung zur Ausgangslänge: = Die Dehnung ist eine dimensionslose Größe. Bei Verlängerung ist die Dehnung positiv, bei Verkürzung negativ. Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

19 1.2 Dehnung Zahlenbeispiel: Verlängert sich ein Stab der änge = 1m um Δ = 1mm, so berechnet sich seine Dehnung zu = 1 mm 1000 mm =10 3 =0,1% Im olgenden wird vorausgesetzt, dass die Dehnung klein ist. Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

20 1.2 Dehnung Örtliche Dehnung: Wenn die Spannung nicht konstant ist, wird die Dehnung über die ängenänderung eines Stabelementes definiert. Infolge der Belastung verschiebt sich der Querschnitt an der Stelle x um die Strecke u(x). x + dx x x + u x + dx + u + du Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

21 1.2 Dehnung Unverformtes Element: Die Querschnitte liegen an den Stellen x und x + dx. Das Element hat die änge dx. Verformtes Element: Der linke Querschnitt verschiebt sich um u an die Stelle x + u. Der rechte Querschnitt verschiebt sich um u + du an die Stelle x + dx + u + du. Das verformte Element hat die änge x dx u du x u =dx du Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

22 1.2 Dehnung ür die ängenänderung gilt also: Die lokale Dehnung ist definiert als Verhältnis der ängenänderung des Elements zu seiner Ausgangslänge: x = du dx dx du dx=du Die lokale Dehnung ist die Ableitung der Verschiebung u(x) nach der Ortskoordinate x. Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

23 1.2 Dehnung Ist die lokale Dehnung gegeben, so kann daraus die Verlängerung über eine Integration berechnet werden: u =u u 0 = u 0 du= 0 du dx dx= x dx 0 Ist die Dehnung konstant, x = 0 =const., so folgt speziell: = 0 0 dx= 0 Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

24 1.3 Stoffgesetz Spannung und Dehnung: Um einen Stab zu dehnen, ist eine Kraft nötig. Das Stoffgesetz stellt einen Zusammenhang zwischen der Spannung σ und der Dehnung ε her: = f Dieser Zusammenhang wird im Spannungs-Dehnungs- Diagramm graphisch dargestellt. Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm wird im Zugversuch experimentell ermittelt. Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

25 1.3 Stoffgesetz Beispiel: Stahl σ R m R e R p plastisch nichtlinear elastisch R p : Dehngrenze R e : Streckgrenze R m : Zugfestigkeit linear elastisch ε Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

26 1.3 Stoffgesetz Elastischer Bereich: σ < R e Die Dehnung geht bei Entlastung wieder vollständig zurück. inear-elastischer Bereich: σ < R p Die Spannung ist proportional zur Dehnung: =E Dieses Gesetz wird als Hookesches Gesetz bezeichnet. Der Proportionalitätsfaktor E heißt Elastizitätsmodul. Er hat die Einheit N/mm2. Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

27 1.3 Stoffgesetz Plastischer Bereich: σ > R e Nach der Entlastung bleibt eine plastische Dehnung zurück. Die Entlastungskurve verläuft parallel zur Geraden im linearelastischen Bereich. Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

28 1.3 Stoffgesetz Temperaturänderung und Dehnung: Eine ängenänderung kann auch durch eine Temperaturänderung verursacht werden. Die zugehörige Dehnung heißt Wärmedehnung. ür viele Werkstoffe ist die Wärmedehnung ε T proportional zur Temperaturänderung ΔT: T = T T Der Proportionalitätsfaktor α T heißt Wärmeausdehnungskoeffizient. Er hat die Einheit 1/K. Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

29 1.3 Stoffgesetz Stoffgesetz: Wirkt sowohl eine Spannung σ als auch eine Temperaturänderung ΔT, so ergibt sich die Gesamtdehnung durch Überlagerung: = E T T ür die Spannung gilt: =E T T Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

30 1.3 Stoffgesetz Typische Werkstoffkennwerte: Material Stahl Aluminium Kupfer Messing E in N/mm 2 α T in 1/K 2, , , , , , , , Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

31 1.3 Stoffgesetz Beispiel: Der abgebildete Stab wird durch die Kraft und die Temperaturänderung ΔT(x) belastet. Gesucht ist die ängenänderung Δ. ΔT ΔT 0 x Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

32 1.3 Stoffgesetz Gegeben: änge = 1m, Querschnittsfläche A = 5cm2 Elastizitätsmodul E = 70000N/mm2, Wärmeausdehnungskoeffizient α T = 2, /K Kraft = 1kN Temperaturänderung: mit ΔT 0 = 20K T x = T 0 x Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

33 1.3 Stoffgesetz Normalkraft: x =0 : N =0 N = N x Spannung: = N A = A =const. Dehnung: x = E T T x = EA T T 0 x Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

34 1.3 Stoffgesetz Verlängerung: = 0 Zahlenwert: x dx= EA 0 T dx 0 T 0 x = = EA [ x ] x= T [ x=0 x 2 T 2 ]x =0 x dx = EA 1 2 T T N 1m = N /m m , K 1 m K =2, m 2, m=0,2586 mm Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

35 1.4 Beispiele Stab unter Eigengewicht: Der Stab mit konstanter Querschnittsfläche A ist an seinem oberen Ende fest eingespannt. Bekannt sind die änge, die Querschnittsfläche A, der Elastizitätsmodul E und die Massendichte ρ. Gesucht ist die Verlängerung Δ infolge seines Eigengewichts. ρ, E, A Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

36 1.4 Beispiele Normalkraft: x =0 : N x G x =0 N x =G x = A x g = A g 1 x =G 0 1 x Spannung: x = N x A = G 0 A 1 x N(x) x - x G(x) Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

37 1.4 Beispiele Dehnung: x = x E = G 0 EA 1 x Verlängerung: = 0 x dx= G 0 EA 0 = G 0 2 EA 2 = x G dx= 0 [ EA x x 2 x= 2 ]x=0 G 0 EA Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

38 1.4 Beispiele Eingespannter Stab unter Temperaturlast: E, A, α T A Der Stab mit konstantem Querschnitt A ist an beiden Seiten fest eingespannt. Er wird durch eine konstante Temperaturänderung ΔT belastet. Gesucht sind die Kräfte in den agern A und B. ΔT B Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

39 1.4 Beispiele Gleichgewicht am freigeschnittenen Stab: x =0 : A B =0 A = B A x B Es steht keine weitere Gleichgewichtsbedingung zur Verfügung, um den Wert von B zu ermitteln. Das System ist statisch unbestimmt: Die Gleichgewichtsbedingungen reichen nicht aus, um die agerkräfte zu berechnen. Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

40 1.4 Beispiele Statisch bestimmtes Grundsystem: astfall 1: Temperaturlast A A1 A ΔT B u B1 x agerkraft im Punkt A: x =0 : A1 =0 Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

41 1.4 Beispiele Dehnung: 1 = T T =const. Verschiebung von Punkt B: u B1 = 0 astfall 2: Unbekannte agerkraft im Punkt B 1 dx= T T A2 A x B B2 agerkraft im Punkt A: x =0 : A2 B2 =0 A2 = B2 Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

42 1.4 Beispiele Normalkraft: (Druck) N 2 = B2 Spannung: 2 = N 2 A = B 2 A Dehnung: 2 = 2 E = B 2 EA Verschiebung von Punkt B: u B 2 = 2 dx= B 2 0 EA Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

43 Verträglichkeitsbedingung: 1.4 Beispiele Die tatsächliche ast ist eine Überlagerung der beiden astfälle. Wegen der festen Einspannung muss die Verschiebung im Punkt B null sein: u B =u B1 u B2 =0 Aus dieser Bedingung kann die unbekannte Kraft B2 bestimmt werden: T T B 2 EA =0 B 2=EA T T agerkräfte: B = B1 B2 = B 2 =EA T T, A = B Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

44 1.4 Beispiele Beispiel: Vollzylinder in Hohlzylinder In einem Hohlzylinder aus Kupfer befindet sich ein Vollzylinder aus Stahl. Die beiden Zylinder tragen eine Platte, auf die die Kraft wirkt. Gesucht: Spannungen in den Zylindern Verschiebung der Platte Kupfer: A K, E K Stahl: A S, E S Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

45 1.4 Beispiele Kupferzylinder freigeschnitten: Spannung: K = K A K K Dehnung: K K = E K A K v K Verschiebung: v K = K E K A K Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

46 1.4 Beispiele Stahlzylinder freigeschnitten: Spannung: S = S A S S Dehnung: S = S E S A S v S Verschiebung: v S = S E S A S Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

47 1.4 Beispiele Kräftegleichgewicht an der Platte: = S K Verträglichkeitsbedingung: K = S E K A K E S A S Einsetzen in Kräftegleichgewicht: v K =v S K = E K A K E S A S S S = 1 E K A K E S A S S= E S A S E K A K E S A S S K S = E S A S E S A S E K A K, K = E K A K E S A S E K A K Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

48 1.4 Beispiele Spannungen: S = E S E S A S E K A K, K = Verschiebung der Platte: v=v S = E S A S E K A K E K E S A S E K A K Prof. Dr. Wandinger 2. estigkeitslehre TM

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