Spieltheorie Überblick, Beispiele, Anwendungen. Andreas Diekmann ETH Zürich

Transkript

1 Spieltheorie Überblick, Beispiele, Anwendungen Andreas Diekmann ETH Zürich

2 Einführung mit Beispielen I. 1. Anwendungen 2. Was ist ein Spiel? 3. Entscheidungen unter Sicherheit/Risiko/Unsicherheit I. Nullsummenspiele: Der unberechenbare Torwart beim Elfmeter II. Nicht-Nullsummenspiele 1. Vertrauensspiel 2. Münzspiel 3. Mechanismus-Design: Der weise Salomo 4. Kooperation: TV-Show Friend or Foe

3 Wer befasst sich mit Spieltheorie? Spieltheorie bildet heute die Grundlage der Ökonomie (Kartelle, Auktionsregeln, Regelung von Märkten usw.). Anwendungen finden sich generell in den Sozialwissenschaften (Soziologie, Sozialpsychologie, Politikwiss., Recht, Management), in der Informatik (Rechnernetze), in der Biologie (evolutionäre Spieltheorie), z.b. reziproker Altruismus unter nicht-verwandten Organismen und selbst in der medizinischen Forschung (z.b. Infektion durch Salmonellen, Diard et al., 2013, Nature 494; Entstehung von Tumoren, Basabta et al., 2008, Cell Proliferation 41 Für alle Studiengänge: Entscheidungssituationen analysieren. Entscheidungen unter Berücksichtigung der Interessen anderer treffen. Situationen so verändern, dass paradoxe Folgen verhindert werden!

4 Roulette: Ist das ein Spiel?

5 Was ist ein Spiel im Sinne der Spieltheorie? Bei einer Auktion mitbieten? Roulette spielen? Eine Entscheidung für einen Zug im Schach oder bei Stein, Schere, Papier treffen? Ein Menü auf der Speisekarte auswählen? Ein Arzt schlägt einem Privatpatienten eine einträgliche, aber womöglich wenig nützliche Therapie vor, die dieser ablehnen oder akzeptieren kann? Im Sinne der Spieltheorie:

6 Was ist ein Spiel im Sinne der Spieltheorie? Bei einer Auktion mitbieten? Roulette spielen? Eine Entscheidung für einen Zug im Schach oder bei Stein, Schere, Papier treffen? Ein Menü auf der Speisekarte auswählen? Ein Arzt schlägt einem Privatpatienten eine einträgliche, aber womöglich wenig nützliche Therapie vor, die dieser ablehnen oder akzeptieren kann? Im Sinne der Spieltheorie: Ein Spiel Kein Spiel Ein Spiel Kein Spiel Ein Spiel

7 Entscheidungstheorie A. Ein Akteur entscheidet 1. Entscheidungen unter Sicherheit (z.b. Travelling Salesman Problem ) 2. Entscheidungen unter Risiko (z.b. Roulette, Wahrscheinlichkeiten der Konsequenzen sind bekannt). 3. Entscheidungen unter Unsicherheit (die Wahrscheinlichkeiten der Konsequenzen sind nicht bekannt). B. Mehrere Akteure (N 2) entscheiden und das Ergebnis hängt von der Kombination ihrer Strategien ab. Damit befasst sich die Spieltheorie!

8 Kooperative und nicht-kooperative Spieltheorie Kooperative Spieltheorie. Es können bindende Verträge abgeschlossen werden, z.b. über die Aufteilung von Gewinnen in Koalitionen. Nicht-kooperative Spieltheorie. Es gibt keine Möglichkeit, bindende Verträge abzuschliessen. (Nicht verwechseln: Kooperative Entscheidungen und kooperative Spieltheorie sind verschiedene Dinge. Auch und besonders die nicht-kooperative Theorie befasst sich mit kooperativen Handlungen und der Entstehung von Kooperation.) In dieser Vorlesung geht es um nicht-kooperative Spieltheorie.

9 Spieltheorie: Zwei oder mehr Akteure entscheiden Die Akteure haben Präferenzen. Zielorientierte Handlungen Ergebnisse einer Entscheidung (Auszahlungen, Nutzen) hängen von den Entscheidungen anderer Spieler ab. Entscheidungen sind interdependent Strategische Interaktion Modelle der Spieltheorie

10 Der unberechenbare Torwart beim Elfmeter Elfmeterschütze entscheidet: Soll ich den Ball in die linke oder in die rechte Ecke schiessen? Torwart entscheidet: Soll ich mich nach links oder rechts werfen? Simultane Entscheidung bei hoher Ballgeschwindigkeit und menschlicher Reaktionszeit!

11 Nullsummenspiel Elfmeterschütze und Torwart sind Akteure in einer strategischen Entscheidungssituation. Ihre Interessen sind völlig entgegengesetzt, d.h. es handelt sich um ein Nullsummenspiel. Welche ist die rationale Entscheidung des Torwarts? Welche die des Elfmeterschützen?

12 Torwart und Elfmeterschütze: Links oder rechts? Spiel in Normalform 2 x 2 -Matrixspiel Nullsummenspiel Optimale Strategie? Torwart Elfmeterschütze Links Rechts Links 1, -1-1, 1 Rechts -1, 1 1, -1 z.b. links, links : Auszahlung an den Torwart beträgt 1, Auszahlung an den Elfmeterschützen -1

13 Torwart und Elfmeterschütze: Links oder rechts? Spiel in Normalform 2 x 2 -Matrixspiel Nullsummenspiel Optimale Strategie? Torwart Elfmeterschütze Links Rechts Links 1, -1-1, 1 Rechts -1, 1 1, -1 z.b. links, links : Auszahlung an den Torwart beträgt 1, Auszahlung an den Elfmeterschützen -1 Antwort: Beide werden links bzw. rechts mit Wahrscheinlichkeit ½ wählen.

14 Elfmeter in der dt. Bundesliga Elfmeterschütze Links Rechts Links 202 (23%) 220 (25%) Torwart Rechts 225 (26%) 231 (26%) 878 Elfmeter aus der Spielsaison 92/93 bis 03/04. Nach Berger und Hammer (2007).

15 Jens Lehmanns Zettel

16 Lehmanns Zettel (Deutschland gegen Argentinien 2006) 1. Riquelme links hoch/ 2. Crespo langer Anlauf/rechts, kurzer Anlauf/links 3. Heinze 6 links flach 4. Ayala 2 lange warten, langer Anl. rechts* 5. Messi links 6. Aimar 16 lange warten links 7. Rodríguez 18 links**. Spiegel Online, Schussrichtung aus Sicht des Torwarts *Lehmann rechts und hält **Lehmann links, aber Tor

17 Nullsummenspiele?

18 Gesellschaftsspiele sind meistens Nullsummenspiele. In der realen Welt sind die meisten und interessanteren strategischen Situationen keine Nullsummenspiele. Z.B. wirtschaftliche Transaktionen, Vertrauensspiel

19 Beispiel: Vertrauensspiel Kein Nullsummenspiel, kein Koordinationsspiel Martina bietet Martin ein Geschäft an. Gib mir 50 Franken und ich werde die Investition verdoppeln. Den Gewinn von 50 Fr. teilen wir uns. Ich werde Dir also 75 Fr. zurückgeben und wir beide haben je 25 Fr. verdient. Würden Sie Martinas Angebot akzeptieren? Würden Sie es akzeptieren, wenn Martina Ihnen fremd ist? Würden Sie das Angebot annehmen, wenn die Investition Fr. beträgt?

20 Spiel in Extensivform, Als Entscheidungsbaum Vertrauensspiel Treugeber, Martin C = Cooperation D = Defektion Treuhänder, Martina 0,0-50,100 25,25 T R P S

21 Spiel in Extensivform, Als Entscheidungsbaum Vertrauensspiel Treugeber, Martin C = Cooperation D = Defektion Treuhänder, Martina Rationales Verhalten (im Sinne der Spieltheorie) Im Vertrauensspiel? 0,0-50,100 25,25 T R P S

22 Spiel in Extensivform, Als Entscheidungsbaum Vertrauensspiel Treugeber, Martin C = Cooperation D = Defektion Treuhänder, Martina Rationales Verhalten (im Sinne der Spieltheorie) Im Vertrauensspiel? 0,0-50,100 25,25 T R P S Rückwärtsinduktion : Treuhänder wählt D, Treugeber antizipiert das Verhalten und wählt D. Ergebnis: (0,0).

23 Vertrauensspiel C = Cooperation D = Defektion Treugeber, Martin Rationales Verhalten (im Sinne der Spieltheorie) Im Vertrauensspiel? Rückwärtsinduktion : Wenn Treugeber C wählt, wählt Treuhänder D. Treugeber antizipiert das Verhalten und wählt D. Ergebnis: (0,0). Treuhänder, Martina Trustor D C 0,0-50,100 25,25 T R P S P, P 0, 0 S, T -50, 100 Rationalen Tauschpartnern entgeht Der Kooperationsgewinn. Lösung?

24 Spiele und Institutionen Institutionen = dauerhafte, berechenbare Anreizstrukturen (z.b. Patentrecht, Eigentumsrechte, Produkthaftung usw.) Effiziente Institutionen: Spiele so zu arrangieren, dass ein optimales Ergebnis erzielt wird ( Mechanismus Design ) Lösung für Vertrauensspiel?

25 Spiele und Institutionen Institutionen = dauerhafte, berechenbare Anreizstrukturen (z.b. Patentrecht, Eigentumsrechte, Produkthaftung usw.) Effiziente Institutionen: Spiele so zu arrangieren, dass ein optimales Ergebnis erzielt wird ( Mechanismus Design ) z.b. Kaution, Hinterlegung eines Pfands im Wert von mindestens 75 Fr.

26 Vertrauensspiel Treugeber, Martin C = Cooperation D = Defektion Treuhänder, Martina 0,0-50,100 25,25 T R P S Für die Höhe der Kaution ist nicht der Schaden S und auch nicht der Gewinn des Treuhänders bei Vertragsbruch T, sondern nur die Differenz T R = 75 ausschlaggebend!

27 Auch bei hohem Schadenspotential kann ein geringes Pfand genügen, wenn T relativ gering ist. (Z.B. die Überlassung eines Geräts, das von hohem Wert S für den Treugeber, aber von relativ geringem Wert T für den Treuhänder ist.) Vertrauensspiel Treugeber, Martin C = Cooperation D = Defektion Treuhänder, Martina 0,0-100,30 25,25 T R P S Für die Höhe der Kaution ist nicht der Schaden S und auch nicht der Gewinn des Treuhänders bei Vertragsbruch T, sondern nur die Differenz T R = 5 ausschlaggebend! Es genügt eine Kaution in Höhe von K > 5.

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29 Auch eine Institution zur Erzielung von Kooperation im Vertrauensspiel: Kleines Pfand, grosse Wirkung

30 Münzspiel (Variante des Tausendfüsslerspiels ) finanzen.de Auf dem Tisch liegen 50 Goldmünzen. Zwei Spieler können abwechselnd, wenn sie an der Reihe sind, entweder eine oder zwei Münzen wegnehmen (und behalten). Wenn ein Spieler zwei Münzen wegnimmt, ist das Spiel zu Ende.

31 Allgemein mit G Münzen (G gerade Zahl) Lösung mittels Rückwärtsinduktion?

32 Dieses Spiel wird von dem Spieltheoretiker und griechischem Finanzminister Yanis Varoufakis analysiert. Ob er seine Kenntnisse auch bei den Verhandlungen mit der EU einsetzen kann?

33 Soziale Fallen Vertrauensspiel und Münzspiel sind Beispiele für soziale Fallen oder soziale Dilemmas. Viele soziale Situationen haben den Charakter sozialer Fallen. Jeder handelt im eigenen Interesse, im Ergebnis kommt aber etwas heraus, das keiner gewollt hat und den Interessen aller widerspricht. Zahlreiche Beispiele im Bereich von Politik, Wirtschaft, Umwelt und Verkehr. Spieltheorie kann die Struktur sozialer Fallen präzise beschreiben

34 Beispiel für ein Mechanismus-Design: Wie kann man eine Institution einrichten, die Lügen verhindert und wahre Aussagen fördert? Salomos Urteil Im alten Testament (Erstes Buch der Könige, 3, 16-28) werden als Beweis für die Weisheit König Salomos salomonischen Urteile angeführt.

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36 Salomos Urteil Im alten Testament (Erstes Buch der Könige, 3, 16-28) wird als Beispiel für die Weisheit König Salomos das folgende salomonische Urteil angeführt: Zwei Frauen streiten sich um ein neugeborenes Kind. Jede behauptet, sie sei die Mutter des Kindes. König Salomo schlägt vor, das Kind mit dem Schwert zu halbieren, wobei die wahre Mutter verzweifelt Einspruch erhebt und bittet, das Kind ihrer Kontrahentin zu geben. Salomo erkennt dadurch die Mutter und spricht ihr das Kind zu. Etwas weniger dramatisch finden wir die gleiche Institution der Rechtsfindung in Berthold Brechts Kaukasischer Kreidekreis.

37 Das salomonische Urteil. Deckengemälde Wallfahrtskirche Frauenberg Wikipedia

38 Doch was passiert, wenn beide Frauen verzichten? Wenn die Betrügerin Salomos Trick durchschaut oder solche Verhandlungen wiederholt stattfinden? Dann ist eine Entscheidungsfindung nicht möglich und Salomo wäre mit seiner Weisheit am Ende! Leider kannte Salomo keine Spieltheorie. Der Vorschlag kam erst rund 3000 Jahre später von J. Glazer und C.-T. A. Ma, Sie entwickelten eine einfache spieltheoretische Lösung des Problems!

39 Mechanismus Design wirkt als Wahrheitsserum Echte Mutter ja Falsche Mutter ja ( s, W f S) Hier nur Fall a): Echte Mutter Wird zuerst befragt. nein nein (0, W f ) (W e, 0) 0 < s < W f < S < W e Fall 1: Die wahre Mutter wird zuerst befragt. S = grosse Strafe, s = kleine Strafe, W e = Wert des Kindes für die wahre Mutter, W f = Wert des Kindes für die falsche Mutter Nach Alexander Mehlmann, Wer gewinnt das Spiel. Spieltheorie in Fabeln und Paradoxa. Wiesbaden: Vieweg. Entwickelt von J. Glazer und C. T. A. Ma, Efficient Allocation of a Prize: King Solomon s Dilemma. Games and Economic Behavior 1:

40 Mechanismus Design: Regeln (Anreize) werden so festgelegt, dass ein gewünschtes Ergebnis erzielt wird. Design von Institutionen (Beispiel Auktionsregeln, Patentrechte, Kartellrecht, Verkehrsregeln usw.) Einfaches weiteres Beispiel: Aufteilung einer Ressource. Regel: A teilt auf, B wählt aus! Steven Brams, Fair Divisions : Faire Aufteilung nach Ehescheidung, Erbe usw.

41 Wichtige Begriffe Eine Person entscheidet: Entscheidungen unter Sicherheit/Risiko/Unsicherheit Spieltheorie: Mehrere Personen entscheiden und das Ergebnis ist von den Entscheidungen anderer Personen abhängig ( strategische Inderdependenz ) Kooperative/nicht-kooperative Spieltheorie Spiel in Normalform (Matrixspiel) Spiel in Extensivform (Entscheidungsbaum) Nullsummenspiel/Nicht-Nullsummenspiel Vertrauensspiel Rückwärtsinduktion Mechanismus-Design (Design von Institutionen)

42 Golden Balls TV-Sendung in England Split Steal Split 500, 500 0, 1000 Steal 1000, 0 0, 0

43 Friend or Foe ( Golden Balls im US-TV) List 2006 hat 39 Sendungen ausgewertet. 39 Sendungen in Kalifornien mit je 6 Personen = 234 Spieler Spieler verdienen Geld durch Quiz, Maximum hier $ Die Spieler bilden Paare, die im Quiz verdiente Summe X wird in einem nachfolgenden Spiel aufgeteilt: Wählen beide friend erhält jeder X/2. Wählt ein Spieler foe, der andere friend, erhält foe X, der andere erhält nichts. Wählen beide foe, gehen beide leer aus. Kooperation 50 %, Männer 45 %, Frauen 56 %

44 Golden Balls