$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "$ % + 0 sonst. " p für X =1 $"

Transkript

1 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses A bei einer wiederholten Ausführung interessieren Das Ereignis A soll bei jeder Ausführung die gleiche Wahrscheinlichkeit p besitzen und die Ergebnisse der verschiedenen Ausführungen sollen unabhängig voneinander sein Die Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintrifft, ist dann q=1- p Das Eintreffen von A nennen wir Erfolg und das Nichteintreffen nennen wir Misserfolg Ein solches Experiment, bei dem wir nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse betrachten, heißt ein Bernoulli-Experiment Wir betrachten die Zufallsvariable X, welche die Häufigkeit des Eintreffens von A beschreibt Führen wir ein Ereignis n=1 mal durch, so sind X=1 und X=0 möglich Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) kann zwei Werte annehmen: p für X =1 f(x) = # q für X = 0 % 0 sonst Wenn das Ereignis zweimal durchgeführt wird, sind folgende Konstellationen möglich, worin wir zwischen A und B (nicht A) unterscheiden: AA; AB; BA; BB Die Wahrscheinlichkeiten ihres Auftretens sind: p p; p (1-p)=p q; q p; q q Die Wahrscheinlichkeit für zweimal A(X=2) ist also f(2)=p 2, für einmal A(X=1) ist sie f(1)=2p q und für keinmal A(X=0) ist sie f(0)=q 2 Entsprechend überlegen wir uns die Situation für n=3: X=3 besitzt die Wahrscheinlichkeit f(3)=p 3 ; X=2 besitzt die Wahrscheinlichkeit f(2)=3p 2 q; für X=1 folgt f(1)=3 p q 2 und für X=0 gilt f(0)=q 3 Für beliebige n lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion dann so: ) n + f(x) = % p x q n(x x = 0,1,2,,n *# x&, + 0 sonst n % Wegen = n ( x n % folgt f(x +1) = n ( x % p f(x), x = 0,1,2,,n (1 # x +1& x +1 # x& # x +1& q Die durch f(x) bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt die Bernoulli- oder Binomialverteilung Die Verteilungsfunktion F(x) lautet:, # n )% & ( p i q n*i 0 x < n i ix F(x) = P(X x) = - 0 x < 0 1 x + n /

2 32 Der Charakter einer Verteilung wird auch durch die Maßzahlen Mittelwert µ=e(x) und Varianz σ 2 =E[(X-µ)] 2 bestimmt Zwei einfache Formeln für diese beiden Größen berechnen wir anhand der momenterzeugenden Funktion G(t) Gemäß Abschnitt 6166 gilt mit g(x)=e tx : G(t) = E(g(X)) = E(e tx n ) = e ti # n & ) p i q n*i n = # n & ) pe t % i ( % i ( x i = ( ) i q n*i = ( pe t + q) n und danach: µ=e(x)=g (0) mit G (t)=n p(p e t +q) n-1 Also ist µ=np, wegen p+q=1 Durch eine ähnliche Rechnung leiten wir für die Varianz die Formel σ 2 =n p q her Beispiel Wir untersuchen das Eintreffen des Ereignisses Rot im Roulettspiel Beschreibe für n=5 Spielereignisse die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) und die Verteilung F(x) Anzahl Rot f(x) F(x) Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) und Verteilung F(x) beim Roulette nach Bernoulli zum Ereignis: Anzahl Rot in 5 Spielen Offensichtlich ist diese Verteilung nicht symmetrisch Sie besitzt folgende Momente Das 1 Moment ist der Mittelwert µ der Verteilung: 5 µ = E(X) = if(i) = # 2432 Diesen Wert hätten wir schneller durch den Einsatz der Formel µ=n p errechnet: µ = = 2432

3 33 Der Mittelwert der Verteilung bzw die mathematische Erwartung ist kleiner als 25 Für das zweite Moment berechnen wir den Wert: 5 E(X 2 ) = i 2 f(i) = # 7165 Für das zweite zentrale Moment oder auch Varianz errechnen wir: 5 2 = E([X #µ] 2 ) = (i #µ) 2 f(i) %1249 Schneller wäre es mit der Formel gegangen: 2 = n#p # q = 5# # 19 =1249 Für das dritte zentrale Moment rechnen wir 37 5 E([X µ] 3 ) = #(i µ) 3 f(i) 0035 und für die Schiefe der Verteilung = 1 # 3 E([X µ]3 ) % 0025 Bekanntlich gilt auch der Zusammenhang: σ 2 =E([X-µ] 2 ) = E(X 2-2µ X+µ 2 ) = E(X 2 )-2µ E(X)+µ 2 =E(X 2 )-µ 2, wegen µ=e(x) 6172 Poisson- Verteilung Bei vielen Anwendungen, die mit Bernoulli-Experimenten zusammenhängen, ist die Erfolgswahrscheinlichkeit p beim einzelnen Versuch klein, aber die Anzahl n der Versuche groß Für große n ist die Rechnung mit den Binomialkoeffizienten lästig; wir versuchen deshalb die Bernoulli-Verteilung durch die Verteilung zu approximieren, die sich einstellt, wenn n gegen und p gegen 0 streben Dabei gehen wir davon aus, daß der Mittelwert µ=n p gegen einen endlichen Wert strebt Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Bernoulli Verteilung heißt: f(x) = n % p x q n(x # x& Nun gilt p = µ n und q =1p, also px = µx n x f(x) = n(n 1) # # (n x +1) x µ x n x und # qnx = 1 µ & nx % ( = 1 µ n ), n * + n- 1 µ x ), * + n- Danach gilt für f(x): 1 µ n % & n( ) 1 µ x * - +, n/ n(n 1) # # (n x +1) Für n strebt der Quotient n x = & n n 1 n x +1 )# & )# # & ) gegen 1, also % n( % n ( % n ( strebt f(x) dann gegen die Funktion: f(x) = µx x eµ Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson - Verteilung

4 34 Die zugehörige Verteilung lautet: % F(x) = & eµ ( µ x i 0 # x # n x i x i #x 0 x < 0 Der Mittelwert E(X) der Poisson- Verteilung ist natürlich gleich µ Varianz und Schiefe berechnen wir anhand der so genannten momenterzeugenden Funktion G(t) und deren Ableitungen: G(t) = E(e tx n ) = e tx i f(x i ) =e #µ n e tx i µx i x i=1 i=1 i x i =1,2, = ( ) i e #µ n µe t = e #µ e µet i i=1 G (t) = e #µ e µet µe t = µe t G(t) ( ) G (t) = µe t G(t) + G (t) ( ) G (t) = µe t G(t) +2 G (t) + G (t) Danach ist G(0) = e µ, G (0)=µ und aus E(X 2 )=G (0)=µ+µ 2 folgt: σ 2 =E(X 2 )-µ 2 =µ Schließlich folgt aus E([X-µ] 3 )=E(X 3 )-3µE(X 2 )+2µ 3 und E(X k )=G (k) (0) für die Schiefe der Poisson-Verteilung der Ausdruck: = 1 µ Beispiele 1 Ein Roulettspieler setzt 9 Spiele lang auf eine Vierer- Zahlenkonstellation Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten dabei x=0,1,2, mal zu gewinnen? Wie heißen die entsprechenden Zahlen, wenn wir sie näherungsweise durch die Poisson - Verteilung berechnen? Wie lauten Mittelwert und Varianz der Verteilungen? x f (x) Bernoulli f (x) Poisson

5 35 Den Mittelwert µ und die Varianz σ 2 der Binomialverteilung berechnen wir aus: µ = np = und #2 4 = np q = = 0868 Die analogen Werte für die Poisson- Verteilung lauten: Für die Schiefe der Poisson- Verteilung gilt: = 1 µ =1014 µ = 2 = n# p = In einer experimentellen Studie eines Strahlungsvorgangs werden die pro Zeitintervall beobachteten α- Teilchen gezählt und aufgelistet Der Stichprobenmittelwert x, der pro Zeitintervall auftretenden Teilchen, wird als Näherung für den Parameter µ der Formel für die Poisson- Verteilung eingesetzt (s63) Wie genau interpretiert diese Approximation der wahren Poisson- Verteilung die experimentelle Beobachtung? Wir geben die Lösung durch eine Tabelle und eine Grafik Anzahl Experiment Theoretisch 54,4 210,5 407,3 525,4 508,4 393,6 253,9 140,4 67,9 29,2 11,3 4,0 1,3 0,4 Für unsere konkrete Berechnung ersetzen wir den unbekannten Erwartungswert µ=n p durch den Stichprobenmittelwert x µ: x = = In einer Verkehrszählung werden im 30 Sekundentakt die Autos gezählt Anschließend werden die Ergebnisse tabelliert und durch eine Poisson Verteilung dargestellt, wobei näherungsweise der Mittelwert der Beobachtung als µ - Wert in die Poisson Verteilungsformel eingesetzt wird (s63) Wir stellen die Lösung wieder durch eine Tabelle und eine Grafik dar

6 36 Anzahl Autos Anzahl Zeitintervalle mit x Autos (Beobachtung) Anzahl Zeitintervalle mit x Autos (Poisson) Für unsere konkrete Berechnung haben wir den unbekannten Erwartungswert µ wieder durch den Stichprobenmittelwert x µ angenähert: x = = Im Roulette wird 1000 Spiele lang auf eine Zahl gesetzt Die Wahrscheinlichkeiten der Gewinnhäufigkeiten wurden mit der Binomial- und der Poissonformel berechnet und im Bild dargestellt

7 Hypergeometrische Verteilung Die Binomialverteilung spielt eine Rolle bei Zufallsexperimenten, bei denen einzelne Ereignisse unbeschränkt häufig auftreten können (Münzwerfen, Würfel, Roulett, Ziehen mit Zurücklegen) Betrachten wir Zufallsexperimente bei denen gezogene Elemente nicht zurückgelegt werden, so verändert sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion gegenüber der Bernoulli- Formel Besteht die Grundgesamtheit unterscheidbarer Beobachtungswerten aus N Elementen und sind darunter G günstige und U = N - G ungünstige Ergebnisse möglich, so lautet die Wahrscheinlichkeit bei n Ziehungen x günstige Ergebnisse zu erhalten so: G% N( G % # x &# n ( x & f(x) = N % Hypergeometrische Wahrscheinlichkeitsfunktion # n& Die hypergeometrische Verteilung heißt dann so: G% # i N( G % x x &# n (i & F(x) = ) f(i) = ) N % = 1 x G% N % * N( G % ) # i & n (i Hypergeometrische Verteilung # & # n& # n & Die Hypergeometrische Verteilung hat den Mittelwert: µ = n N# G N und die Varianz ( )( Nn) ( ) 2 n# G# N G = N 2 N1 Beispiel Mittelwert Varianz Können sich bestimmte Ereignisse nicht wiederholen, wie etwa beim Ziehen der Lottozahlen, oder beim Aussortieren ohne Zurücklegen, so ersetzen wir für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse die Binomialverteilung durch die so genannte hypergeometrische Verteilung Zur Demonstration dieser Verteilung sei beispielsweise nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, x Richtige im Lotto zu erhalten Die Antwort errechnen wir so Es sind N=49 unterscheidbare Elemente als Grundgesamtheit vorgegeben Davon sind G = 6 günstig und U=43 ungünstig Es werden n=6 Zahlenelemente gezogen 49% Es gibt offenbar Möglichkeiten, 6 Elemente aus 49 Elementen auszuwählen Darunter # 6 & gibt es 6 % Möglichkeiten, x Richtige unter den 6 gezogenen Zahlen zu platzieren, und es # x& # 43 & gibt % 6 ( Möglichkeiten, (6-x) aus der Gesamtmenge aller 43 falscher Zahlen unterschiedlich auszuwählen Damit heißt die Formel für die Wahrscheinlichkeit von x Richtigen: x

8 38 6 % # x ( 43 % & # 6 ) x& f(x) =, x = 0,2,,6 49% # 6 & In der Tabelle und im Diagramm sind die Wahrscheinlichkeiten für x Richtige im Lotto dargestellt Zum Vergleich sind auch die Werte der Poisson Verteilung angezeigt, die über den Mittelwert µ (s Tabelle) so berechnet werden kann: µ 0352# # # # # # 6 = 0735 Anzahl x f(x) Poisson F(x)

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +, " > 0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) =

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +,  > 0.  2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) = 38 6..7.4 Normalverteilung Die Gauß-Verteilung oder Normal-Verteilung ist eine stetige Verteilung, d.h. ihre Zufallsvariablen können beliebige reelle Zahlenwerte annehmen. Wir definieren sie durch die

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Die Poisson-Verteilung Jianmin Lu RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastik (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In der Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt!

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! 1 Einführung 2 Wahrscheinlichkeiten kurz gefasst 3 Zufallsvariablen und Verteilungen 4 Theoretische Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsfunktion)

Mehr

Statistiktraining im Qualitätsmanagement

Statistiktraining im Qualitätsmanagement Gerhard Linß Statistiktraining im Qualitätsmanagement ISBN-0: -446-75- ISBN-: 978--446-75-4 Leserobe Weitere Informationen oder Bestellungen unter htt://www.hanser.de/978--446-75-4 sowie im Buchhandel

Mehr

Übungen zur Mathematik für Pharmazeuten

Übungen zur Mathematik für Pharmazeuten Blatt 1 Aufgabe 1. Wir betrachten den Ereignisraum Ω = {(i,j) 1 i,j 6} zum Zufallsexperiment des zweimaligem Würfelns. Sei A Ω das Ereignis Pasch, und B Ω das Ereignis, daß der erste Wurf eine gerade Augenzahl

Mehr

P( X µ c) Var(X) c 2. mit. In der Übung wurde eine alternative, äquivalente Formulierung verwendet: P( X µ < c) 1 Var(X)

P( X µ c) Var(X) c 2. mit. In der Übung wurde eine alternative, äquivalente Formulierung verwendet: P( X µ < c) 1 Var(X) Ich habe eine Frage zur Tschebyschew Ungleichung. In der Aufgabe 4 des Übungsblattes 3 benötigt man ja die Ungleichung. In diesem Falle war der Bereich (0, 20) symmetrisch um den Erwartungswert µ = 5.

Mehr

Die Binomialverteilung

Die Binomialverteilung Fachseminar zur Stochastik Die Binomialverteilung 23.11.2015 Referenten: Carolin Labrzycki und Caroline Kemper Gliederung Einstieg Definition der Binomialverteilung Herleitung der Formel an einem Beispiel

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 07. Mai 2015 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 1 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition

Mehr

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Wahrscheinlichkeitstheorie Was will die Sozialwissenschaft damit? Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Auch im Alltagsleben arbeiten wir mit Wahrscheinlichkeiten, besteigen

Mehr

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses.

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses. XI. Binomialverteilung ================================================================== 11.1 Definitionen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Zufallsgrößen. Vorlesung Statistik für KW 29.04.2008 Helmut Küchenhoff

Zufallsgrößen. Vorlesung Statistik für KW 29.04.2008 Helmut Küchenhoff Zufallsgrößen 2.5 Zufallsgrößen 2.5.1 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße 2.5.2 Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Dichtefunktion einer

Mehr

Name:... Matrikel-Nr.:... 3 Aufgabe Handyklingeln in der Vorlesung (9 Punkte) Angenommen, ein Student führt ein Handy mit sich, das mit einer Wahrscheinlichkeit von p während einer Vorlesung zumindest

Mehr

5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung

5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung 5. Schließende Statistik 5.1. Einführung Sollen auf der Basis von empirischen Untersuchungen (Daten) Erkenntnisse gewonnen und Entscheidungen gefällt werden, sind die Methoden der Statistik einzusetzen.

Mehr

Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL

Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL Max C. Wewel Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL Methoden, Anwendung, Interpretation Mit herausnehmbarer Formelsammlung ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow,

Mehr

Klausur: Einführung in die Statistik

Klausur: Einführung in die Statistik 1 Lösungen immer unter die jeweiligen Aufgaben schreiben. Bei Platzmangel auf die Rückseite schreiben (dann Nummer der bearbeiteten Aufgabe mit anmerken!!!). Lösungen, die nicht auf den Aufgabenblättern

Mehr

R ist freie Software und kann von der Website. www.r-project.org

R ist freie Software und kann von der Website. www.r-project.org R R ist freie Software und kann von der Website heruntergeladen werden. www.r-project.org Nach dem Herunterladen und der Installation von R kann man R durch Doppelklicken auf das R-Symbol starten. R wird

Mehr

Kursthemen 12. Sitzung. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse

Kursthemen 12. Sitzung. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse Kursthemen 12. Sitzung Folie I - 12-1 Spezielle Verteilungen: Warteprozesse Spezielle Verteilungen: Warteprozesse A) Die Geometrische Verteilung (Folien 2 bis 7) A) Die Geometrische Verteilung (Folien

Mehr

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen

Mehr

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678 Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [

Mehr

Diskrete Verteilungsmodelle

Diskrete Verteilungsmodelle Diskrete Verteilungsmodelle Worum geht es in diesem Modul? Die hypergeometrische Verteilung Die Binomialverteilung Approximation der hypergeometrischen Verteilung durch die Binomialverteilung Poisson-Verteilung

Mehr

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!. 040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl

Mehr

Teil I Beschreibende Statistik 29

Teil I Beschreibende Statistik 29 Vorwort zur 2. Auflage 15 Vorwort 15 Kapitel 0 Einführung 19 0.1 Methoden und Aufgaben der Statistik............................. 20 0.2 Ablauf statistischer Untersuchungen..............................

Mehr

Monte-Carlo Simulation

Monte-Carlo Simulation Monte-Carlo Simulation Sehr häufig hängen wichtige Ergebnisse von unbekannten Werten wesentlich ab, für die man allerhöchstens statistische Daten hat oder für die man ein Modell der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch 6 Stetige Verteilungen 1 Kapitel 6: Stetige Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch dargestellt. 0.2 6

Mehr

Ein möglicher Unterrichtsgang

Ein möglicher Unterrichtsgang Ein möglicher Unterrichtsgang. Wiederholung: Bernoulli Experiment und Binomialverteilung Da der sichere Umgang mit der Binomialverteilung, auch der Umgang mit dem GTR und den Diagrammen, eine notwendige

Mehr

Irrfahrten und Phänomene des Zufalls

Irrfahrten und Phänomene des Zufalls Irrfahrten und Phänomene des Zufalls von Dipl.-math. oec. Bruno Ebner Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 1.1 Zufallsexperiment, Ergebnismenge und Wahrscheinlichkeit.......... 3 1.2 Irrfahrten 1....................................

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 21. Oktober 2014 Verbundene Stichproben Liegen zwei Stichproben vor, deren Werte einander

Mehr

Analog definiert man das Nichteintreten eines Ereignisses (Misserfolg) als:

Analog definiert man das Nichteintreten eines Ereignisses (Misserfolg) als: 9-9 Die befasst sich mit der Untersuchung, wie wahrscheinlich das Eintreten eines Falles aufgrund bestimmter Voraussetzungen stattfindet. Bis anhin haben wir immer logisch gefolgert: 'Wenn diese Voraussetzung

Mehr

9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz

9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz 9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Wenn wir die Standardabweichung σ nicht kennen,

Mehr

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten

Mehr

i x k k=1 i u i x i v i 1 0,2 24 24 0,08 2 0,4 30 54 0,18 3 0,6 54 108 0,36 4 0,8 72 180 0,60 5 1,0 120 300 1,00 2,22 G = 1 + 1 n 2 n i=1

i x k k=1 i u i x i v i 1 0,2 24 24 0,08 2 0,4 30 54 0,18 3 0,6 54 108 0,36 4 0,8 72 180 0,60 5 1,0 120 300 1,00 2,22 G = 1 + 1 n 2 n i=1 1. Aufgabe: Der E-Commerce-Umsatz (in Millionen Euro) der fünf größten Online- Shopping-Clubs liegt wie folgt vor: Club Nr. Umsatz 1 120 2 72 3 54 4 30 5 24 a) Bestimmen Sie den Ginikoeffizienten. b) Zeichnen

Mehr

Variationen Permutationen Kombinationen

Variationen Permutationen Kombinationen Variationen Permutationen Kombinationen Mit diesen Rechenregeln lässt sich die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereigniskombinationen von gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen ermitteln, und erleichtert

Mehr

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz 13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle

Mehr

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis 1 6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Spiele aus dem Alltagsleben: Würfel, Münzen, Karten,... u.s.w. sind gut geeignet die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis

Mehr

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE. Markt+Technik

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE. Markt+Technik Statistik mit Excel für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE Markt+Technik Vorwort Schreiben Sie uns! 13 15 Statistische Untersuchungen 17 Wozu Statistik? 18 Wirtschaftliche

Mehr

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE Statistik mit Excel für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE INHALTS- VERZEICHNIS Vorwort 13 Schreiben Sie uns! 15 1 Statistische Untersuchungen 17 Wozu Statistik? 18

Mehr

Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006

Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 1 3.34 1.1 Angabe Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 U sei auf dem Intervall (0, 1) uniform verteilt. Zeigen

Mehr

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion

Mehr

Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8

Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8 . Aufgabe: Für zwei verschiedene Aktien wurde der relative Kurszuwachs (in % beobachtet. Aus den jeweils 20 Quartaldaten ergaben sich die folgenden Box-Plots. Box-and-Whisker Plot Aktie Aktie 2-0,2 0,8,8

Mehr

Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist

Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist Frage Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist k a F (x) =1 k>0,x k x Finden Sie den Erwartungswert und den Median der Dichte für a>1. (Bei

Mehr

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 30. Oktober 2012 Quantile einer stetigen Zufallsgröße Die reelle Zahl

Mehr

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch. ( Descartes ) Trau keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast. ( Churchill zugeschrieben

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen

Mehr

Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern.

Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern. Aufgabe 1 (2 + 1 + 2 + 2 Punkte) Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern. a) Wieviele Möglichkeiten hat

Mehr

Schleswig-Holstein 2011. Kernfach Mathematik

Schleswig-Holstein 2011. Kernfach Mathematik Aufgabe 6: Stochastik Vorbemerkung: Führen Sie stets geeignete Zufallsvariablen und Namen für Ereignisse ein. Machen Sie auch Angaben über die Verteilung der jeweiligen Zufallsvariablen. Eine repräsentative

Mehr

11 Diskrete Zufallsvariablen

11 Diskrete Zufallsvariablen 11 Diskrete Zufallsvariablen 11.1 Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion In Kapitel 2 wurde zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen unterschieden. Eine Zufallsvariable X wurde als

Mehr

Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik

Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Dozent: Volker Krätschmer Fakultät für Mathematik, Universität Duisburg-Essen, WS 2012/13 1. Präsenzübung Aufgabe T 1 Sei (Z 1,...,

Mehr

7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Lösungshinweise

7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Lösungshinweise 7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Lösungshinweise Aufgabe 7.: Gegeben sei ein Würfel, der die Form eines Tetraeders hat und die Augenzahlen bis aufweist. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Mehr

Gesucht: wie viele Mitarbeiter sind max. durch Ziffernfolge unterscheidbar. Lösung: Möglichkeiten; Reihenfolge und MIT Zurücklegen- also = = 6561

Gesucht: wie viele Mitarbeiter sind max. durch Ziffernfolge unterscheidbar. Lösung: Möglichkeiten; Reihenfolge und MIT Zurücklegen- also = = 6561 1 Bettina Kietzmann Februar 2013 Numerische Aufgaben Statistik 1D 1. Kombinatorik Für die Lösung dieser Aufgaben ist die Tabelle der Formelsammlung S. 10 relevant. Geht es darum Möglichkeiten zu errechnen

Mehr

Statistik - Fehlerrechnung - Auswertung von Messungen

Statistik - Fehlerrechnung - Auswertung von Messungen 2013-11-13 Statistik - Fehlerrechnung - Auswertung von Messungen TEIL I Vorbereitungskurs F-Praktikum B (Physik), RWTH Aachen Thomas Hebbeker Literatur Eindimensionaler Fall: Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsverteilungen:

Mehr

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik Hochschule RheinMain 21. Oktober 2015 Vorwort Das vorliegende Skript enthält eine Zusammenfassung verschiedener

Mehr

Einführung in die Statistik mit EXCEL und SPSS

Einführung in die Statistik mit EXCEL und SPSS Christine Duller Einführung in die Statistik mit EXCEL und SPSS Ein anwendungsorientiertes Lehr- und Arbeitsbuch Zweite, überarbeitete Auflage Mit 71 Abbildungen und 26 Tabellen Physica-Verlag Ein Unternehmen

Mehr

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie

Mehr

10. Vorlesung. Grundlagen in Statistik. Seite 291. Martin-Luther-Universität Halle/Wittenberg

10. Vorlesung. Grundlagen in Statistik. Seite 291. Martin-Luther-Universität Halle/Wittenberg . Vorlesung Grundlagen in Statistik Seite 29 Beispiel Gegeben: Termhäufigkeiten von Dokumenten Problemstellung der Sprachmodellierung Was sagen die Termhäufigkeiten über die Wahrscheinlichkeit eines Dokuments

Mehr

Gewinnchancen und Gewinnerwartung

Gewinnchancen und Gewinnerwartung Bachelorarbeit an der Ruhr-Universität Bochum Gewinnchancen und Gewinnerwartung Marius Alexander Wilker aus Marl Bochum, im April 008 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. R. Verfürth Inhaltsverzeichnis I.

Mehr

Einführung in die Stochastik

Einführung in die Stochastik Einführung in die Stochastik Josef G. Steinebach Köln, WS 2009/10 I Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 Wahrscheinlichkeitsräume, Urnenmodelle Stochastik : Lehre von den Gesetzmäßigkeiten des Zufalls, Analyse

Mehr

Diskrete Verteilungen

Diskrete Verteilungen KAPITEL 6 Disrete Verteilungen Nun werden wir verschiedene Beispiele von disreten Zufallsvariablen betrachten. 1. Gleichverteilung Definition 6.1. Eine Zufallsvariable X : Ω R heißt gleichverteilt (oder

Mehr

Motivation. Jede Messung ist mit einem sogenannten Fehler behaftet, d.h. einer Messungenauigkeit

Motivation. Jede Messung ist mit einem sogenannten Fehler behaftet, d.h. einer Messungenauigkeit Fehlerrechnung Inhalt: 1. Motivation 2. Was sind Messfehler, statistische und systematische 3. Verteilung statistischer Fehler 4. Fehlerfortpflanzung 5. Graphische Auswertung und lineare Regression 6.

Mehr

Stichwortverzeichnis. 3-of-a-Kind (Poker) 112, 114 4-of-a-Kind (Poker) 112, 114 50-50-Irrtum 348

Stichwortverzeichnis. 3-of-a-Kind (Poker) 112, 114 4-of-a-Kind (Poker) 112, 114 50-50-Irrtum 348 3-of-a-Kind (Poker) 112, 114 4-of-a-Kind (Poker) 112, 114 50-50-Irrtum 348 50-50-Situation 36 α-stufe 249 λ 259, 264, 323 σ 190 A Abzählbar unendlich (Mengentyp) 40 Abzählproblem 106 Abzählregel 95 Additionsregel

Mehr

Abitur 2012 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1

Abitur 2012 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1 Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 2012 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1 nter einem Regentag verstehen Meteorologen einen Tag, an dem mehr als ein Liter Niederschlag pro Quadratmeter gefallen

Mehr

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen 1. Binomialverteilung 1.1 Abzählverfahren 1.2 Urnenmodell Ziehen mit Zurücklegen, Formel von Bernoulli 1.3 Berechnung von Werten 1.4 Erwartungswert und Standardabweichung

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung beim Schafkopf

Wahrscheinlichkeitsrechnung beim Schafkopf Thema: Facharbeit aus dem Fach Mathematik Wahrscheinlichkeitsrechnung beim Schafkopf Inhalt. Ziel der Facharbeit / Einführung. Grundlegende Überlegungen und Berechnungen.. Kartengeben als Laplace-Experiment..

Mehr

Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema

Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Anlagepreisbewegung zum Seminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn von Imke Meyer im W9/10 Anlagepreisbewegung

Mehr

Einführung in Statistik und Messwertanalyse für Physiker

Einführung in Statistik und Messwertanalyse für Physiker Gerhard Böhm, Günter Zech Einführung in Statistik und Messwertanalyse für Physiker SUB Göttingen 7 219 110 697 2006 A 12486 Verlag Deutsches Elektronen-Synchrotron Inhalt sverzeichnis 1 Einführung 1 1.1

Mehr

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) Jan. 2007

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) Jan. 2007 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) Jan. 2007 SG15/25D NAME: Lösungen 1. In einer Packung sind Glühbirnen, davon sind zwei

Mehr

Kenngrößen von Zufallsvariablen

Kenngrößen von Zufallsvariablen Kenngrößen von Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann durch die sogenannten Kenngrößen beschrieben werden, sie charakterisieren sozusagen die Verteilung. Der Erwartungswert Der Erwartungswert

Mehr

12. Vergleich mehrerer Stichproben

12. Vergleich mehrerer Stichproben 12. Vergleich mehrerer Stichproben Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Häufig wollen wir verschiedene Populationen, Verfahren, usw. miteinander vergleichen. Beipiel: Vergleich

Mehr

3.8 Wahrscheinlichkeitsrechnung III

3.8 Wahrscheinlichkeitsrechnung III 3.8 Wahrscheinlichkeitsrechnung III Inhaltsverzeichnis ufallsgrössen Der Erwartungswert 3 3 Die Binomialverteilung 6 4 Die kumulierte Binomialverteilung 8 4. Die Tabelle im Fundamentum (oder Formeln und

Mehr

Risiko und Versicherung - Übung

Risiko und Versicherung - Übung Sommer 2009 Risiko und Versicherung - Übung Entscheidungstheoretische Grundlagen Renate Bodenstaff Vera Brinkmann r.bodenstaff@uni-hohenheim.de vera.brinkmann@uni-hohenheim.de https://insurance.uni-hohenheim.de

Mehr

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen 6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,

Mehr

Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management

Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management P Kreditportfolio bestehend aus m Krediten; Verlustfunktion L = n i=1 L i; Die Verluste L i sind unabhängig bedingt durch einen Vektor Z von ökonomischen

Mehr

Stetige Verteilungsmodelle

Stetige Verteilungsmodelle Stetige Verteilungsmodelle Worum geht es in diesem Modul? Stetige Verteilungsfunktionen Quantile Dichtefunktion Maßzahlen stetiger Verteilungen Stetige Gleichverteilung Exponentialverteilung Überprüfung

Mehr

3.3. Aufgaben zur Binomialverteilung

3.3. Aufgaben zur Binomialverteilung .. Aufgaben zur Binomialverteilung Aufgabe 1: Ziehen mit Zurücklegen und Binomialverteilung Ein sechsseitiger Würfel wird zehnmal geworfen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nur beim ersten Mal die

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.77: Normalverteilung & Standardnormalverteilung Es sei µ R und 0 < σ 2 R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X die Dichte f(x) = 1 2 πσ 2 e 1 2 ( x µ σ ) 2, x R, so heißt X normalverteilt

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3 5. November 2013 Beispiel: Aktiensplit (Aczel & Sounderpandan, Aufg. 14-28) Ein Börsenanalyst

Mehr

Lernheft Kompetenzen. Inhalt

Lernheft Kompetenzen. Inhalt Lernheft Lernheft Kompetenzen Sie erläutern die Bedeutung des Begriffs Zufall in der Umgangssprache und die historische Entwicklung des Begriffs Wahrscheinlichkeit und der Wahrscheinlichkeitstheorie Sie

Mehr

Klausur Nr. 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.

Klausur Nr. 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Klausur Nr. 1 2014-02-06 Wahrscheinlichkeitsrechnung Pflichtteil Keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung,

Mehr

Monty Hall-Problem. Wochen 3 und 4: Verteilungen von Zufallsvariablen. Lernziele. Diskrete Verteilungen

Monty Hall-Problem. Wochen 3 und 4: Verteilungen von Zufallsvariablen. Lernziele. Diskrete Verteilungen Monty Hall-Problem Wochen 3 und 4: Verteilungen von Zufallsvariablen US-amerikanische Fernseh-Show Let s make a deal, moderiert von Monty Hall: WBL 15/17, 04.05.2015 Alain Hauser

Mehr

Business Value Launch 2006

Business Value Launch 2006 Quantitative Methoden Inferenzstatistik alea iacta est 11.04.2008 Prof. Dr. Walter Hussy und David Tobinski UDE.EDUcation College im Rahmen des dokforums Universität Duisburg-Essen Inferenzstatistik Erläuterung

Mehr

Beurteilende Statistik

Beurteilende Statistik Beurteilende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung und Beurteilende Statistik was ist der Unterschied zwischen den beiden Bereichen? In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Modul: Stochastik. Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung

Modul: Stochastik. Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung Modul: Stochastik Ablauf Vorstellung der Themen Lernen Spielen Wiederholen Zusammenfassen Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung

Mehr

Statistik II Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik Erste Klausur zum Sommersemester 2005 26. Juli 2005

Statistik II Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik Erste Klausur zum Sommersemester 2005 26. Juli 2005 Statistik II Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik Erste Klausur zum Sommersemester 2005 26. Juli 2005 Aufgabe 1: Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung 19 P. Als Manager eines großen

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie KAPITEL 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Zufallsexperimente, Ausgänge, Grundmenge In der Stochastik betrachten wir Zufallsexperimente. Die Ausgänge eines Zufallsexperiments fassen wir

Mehr

Physica-Lehrbuch. Ein anwendungsorientiertes Lehr- und Arbeitsbuch. von Christine Duller

Physica-Lehrbuch. Ein anwendungsorientiertes Lehr- und Arbeitsbuch. von Christine Duller Physica-Lehrbuch Einführung in die Statistik mit EXCEL und SPSS Ein anwendungsorientiertes Lehr- und Arbeitsbuch von Christine Duller Neuausgabe Einführung in die Statistik mit EXCEL und SPSS Duller schnell

Mehr

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde

Mehr

Biometrieübung 5 Spezielle Verteilungen. 1. Anzahl von weiblichen Mäusen in Würfen von jeweils 4 Mäusen

Biometrieübung 5 Spezielle Verteilungen. 1. Anzahl von weiblichen Mäusen in Würfen von jeweils 4 Mäusen Biometrieübung 5 (Spezielle Verteilungen) - Aufgabe Biometrieübung 5 Spezielle Verteilungen Aufgabe 1. Anzahl von weiblichen Mäusen in Würfen von jeweils 4 Mäusen Anzahl weiblicher Mäuse (k) Anzahl Würfe

Mehr

Stochastik: Erwartungswert Stochastik Erwartungswert einer Zufallsvariablen Gymnasium ab Klasse 10 Alexander Schwarz

Stochastik: Erwartungswert Stochastik Erwartungswert einer Zufallsvariablen Gymnasium ab Klasse 10 Alexander Schwarz Stochastik Erwartungswert einer Zufallsvariablen Gymnasium ab Klasse 0 Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com November 20 Aufgabe : Ein Glücksrad besteht aus Feldern, die folgendermaßen beschriftet sind:.feld:

Mehr

Klassische Risikomodelle

Klassische Risikomodelle Klassische Risikomodelle Kathrin Sachernegg 15. Jänner 2008 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 1.1 Begriffserklärung.................................. 3 2 Individuelles Risikomodell 3 2.1 Geschlossenes

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 15

Ü b u n g s b l a t t 15 Einführung in die Stochastik Sommersemester 07 Dr. Walter Oevel 2. 7. 2007 Ü b u n g s b l a t t 15 Hier ist zusätzliches Übungsmaterial zur Klausurvorbereitung quer durch die Inhalte der Vorlesung. Eine

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 0.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Einführung in die Stochastik

Einführung in die Stochastik Vorlesungsnotizen Einführung in die Stochastik Hanspeter Schmidli Mathematisches Institut der Universität zu Köln INHALTSVERZEICHNIS iii Inhaltsverzeichnis 1. Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume 1 1.1.

Mehr

Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien

Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien R. Brinmann http://brinmann-du.de Seite 4.0.2007 Bestimmen der Wahrscheinlicheiten mithilfe von Zählstrategien Die bisherigen Aufgaben zur Wahrscheinlicheitsrechnung onnten im Wesentlichen mit übersichtlichen

Mehr

Elementare statistische Methoden

Elementare statistische Methoden Elementare statistische Methoden Vorlesung Computerlinguistische Techniken Alexander Koller 28. November 2014 CL-Techniken: Ziele Ziel 1: Wie kann man die Struktur sprachlicher Ausdrücke berechnen? Ziel

Mehr

Skriptum zur Veranstaltung. Quantitative Methoden (Mathematik/Statistik) Teil Induktive Statistik. 1. Version (mehr Draft als Skriptum)

Skriptum zur Veranstaltung. Quantitative Methoden (Mathematik/Statistik) Teil Induktive Statistik. 1. Version (mehr Draft als Skriptum) Skriptum zur Veranstaltung Quantitative Methoden (Mathematik/Statistik) Teil Induktive Statistik 1. Version (mehr Draft als Skriptum) Anmerkungen, Aufzeigen von Tippfehlern und konstruktive Kritik erwünscht!!!

Mehr

Jetzt lerne ich Stochastik für die Oberstufe

Jetzt lerne ich Stochastik für die Oberstufe Jetzt lerne ich Stochastik für die Oberstufe von Dr. rer. nat. Marco Schuchmann, Dipl.-Math. - 2 - - 3 - Vorwort In diesem Buch werden Anwendungen der Stochastik in der Oberstufe mit vielen Beispielen

Mehr

Statistik Rechnerübungen Beispiele für die Einführungsstunde mit Lösungsweg

Statistik Rechnerübungen Beispiele für die Einführungsstunde mit Lösungsweg Statistik Rechnerübungen Beispiele für die Einführungsstunde mit Lösungsweg Prof. Dr. Peter Plappert Fakultät Grundlagen Für alle Beispiele benötigen Sie die Datei einf_daten.xls. Für Beispiel 1 ist zusätzlich

Mehr