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1 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses A bei einer wiederholten Ausführung interessieren Das Ereignis A soll bei jeder Ausführung die gleiche Wahrscheinlichkeit p besitzen und die Ergebnisse der verschiedenen Ausführungen sollen unabhängig voneinander sein Die Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintrifft, ist dann q=1- p Das Eintreffen von A nennen wir Erfolg und das Nichteintreffen nennen wir Misserfolg Ein solches Experiment, bei dem wir nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse betrachten, heißt ein Bernoulli-Experiment Wir betrachten die Zufallsvariable X, welche die Häufigkeit des Eintreffens von A beschreibt Führen wir ein Ereignis n=1 mal durch, so sind X=1 und X=0 möglich Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) kann zwei Werte annehmen: p für X =1 f(x) = # q für X = 0 % 0 sonst Wenn das Ereignis zweimal durchgeführt wird, sind folgende Konstellationen möglich, worin wir zwischen A und B (nicht A) unterscheiden: AA; AB; BA; BB Die Wahrscheinlichkeiten ihres Auftretens sind: p p; p (1-p)=p q; q p; q q Die Wahrscheinlichkeit für zweimal A(X=2) ist also f(2)=p 2, für einmal A(X=1) ist sie f(1)=2p q und für keinmal A(X=0) ist sie f(0)=q 2 Entsprechend überlegen wir uns die Situation für n=3: X=3 besitzt die Wahrscheinlichkeit f(3)=p 3 ; X=2 besitzt die Wahrscheinlichkeit f(2)=3p 2 q; für X=1 folgt f(1)=3 p q 2 und für X=0 gilt f(0)=q 3 Für beliebige n lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion dann so: ) n + f(x) = % p x q n(x x = 0,1,2,,n *# x&, + 0 sonst n % Wegen = n ( x n % folgt f(x +1) = n ( x % p f(x), x = 0,1,2,,n (1 # x +1& x +1 # x& # x +1& q Die durch f(x) bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt die Bernoulli- oder Binomialverteilung Die Verteilungsfunktion F(x) lautet:, # n )% & ( p i q n*i 0 x < n i ix F(x) = P(X x) = - 0 x < 0 1 x + n /

2 32 Der Charakter einer Verteilung wird auch durch die Maßzahlen Mittelwert µ=e(x) und Varianz σ 2 =E[(X-µ)] 2 bestimmt Zwei einfache Formeln für diese beiden Größen berechnen wir anhand der momenterzeugenden Funktion G(t) Gemäß Abschnitt 6166 gilt mit g(x)=e tx : G(t) = E(g(X)) = E(e tx n ) = e ti # n & ) p i q n*i n = # n & ) pe t % i ( % i ( x i = ( ) i q n*i = ( pe t + q) n und danach: µ=e(x)=g (0) mit G (t)=n p(p e t +q) n-1 Also ist µ=np, wegen p+q=1 Durch eine ähnliche Rechnung leiten wir für die Varianz die Formel σ 2 =n p q her Beispiel Wir untersuchen das Eintreffen des Ereignisses Rot im Roulettspiel Beschreibe für n=5 Spielereignisse die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) und die Verteilung F(x) Anzahl Rot f(x) F(x) Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) und Verteilung F(x) beim Roulette nach Bernoulli zum Ereignis: Anzahl Rot in 5 Spielen Offensichtlich ist diese Verteilung nicht symmetrisch Sie besitzt folgende Momente Das 1 Moment ist der Mittelwert µ der Verteilung: 5 µ = E(X) = if(i) = # 2432 Diesen Wert hätten wir schneller durch den Einsatz der Formel µ=n p errechnet: µ = = 2432

3 33 Der Mittelwert der Verteilung bzw die mathematische Erwartung ist kleiner als 25 Für das zweite Moment berechnen wir den Wert: 5 E(X 2 ) = i 2 f(i) = # 7165 Für das zweite zentrale Moment oder auch Varianz errechnen wir: 5 2 = E([X #µ] 2 ) = (i #µ) 2 f(i) %1249 Schneller wäre es mit der Formel gegangen: 2 = n#p # q = 5# # 19 =1249 Für das dritte zentrale Moment rechnen wir 37 5 E([X µ] 3 ) = #(i µ) 3 f(i) 0035 und für die Schiefe der Verteilung = 1 # 3 E([X µ]3 ) % 0025 Bekanntlich gilt auch der Zusammenhang: σ 2 =E([X-µ] 2 ) = E(X 2-2µ X+µ 2 ) = E(X 2 )-2µ E(X)+µ 2 =E(X 2 )-µ 2, wegen µ=e(x) 6172 Poisson- Verteilung Bei vielen Anwendungen, die mit Bernoulli-Experimenten zusammenhängen, ist die Erfolgswahrscheinlichkeit p beim einzelnen Versuch klein, aber die Anzahl n der Versuche groß Für große n ist die Rechnung mit den Binomialkoeffizienten lästig; wir versuchen deshalb die Bernoulli-Verteilung durch die Verteilung zu approximieren, die sich einstellt, wenn n gegen und p gegen 0 streben Dabei gehen wir davon aus, daß der Mittelwert µ=n p gegen einen endlichen Wert strebt Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Bernoulli Verteilung heißt: f(x) = n % p x q n(x # x& Nun gilt p = µ n und q =1p, also px = µx n x f(x) = n(n 1) # # (n x +1) x µ x n x und # qnx = 1 µ & nx % ( = 1 µ n ), n * + n- 1 µ x ), * + n- Danach gilt für f(x): 1 µ n % & n( ) 1 µ x * - +, n/ n(n 1) # # (n x +1) Für n strebt der Quotient n x = & n n 1 n x +1 )# & )# # & ) gegen 1, also % n( % n ( % n ( strebt f(x) dann gegen die Funktion: f(x) = µx x eµ Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson - Verteilung

4 34 Die zugehörige Verteilung lautet: % F(x) = & eµ ( µ x i 0 # x # n x i x i #x 0 x < 0 Der Mittelwert E(X) der Poisson- Verteilung ist natürlich gleich µ Varianz und Schiefe berechnen wir anhand der so genannten momenterzeugenden Funktion G(t) und deren Ableitungen: G(t) = E(e tx n ) = e tx i f(x i ) =e #µ n e tx i µx i x i=1 i=1 i x i =1,2, = ( ) i e #µ n µe t = e #µ e µet i i=1 G (t) = e #µ e µet µe t = µe t G(t) ( ) G (t) = µe t G(t) + G (t) ( ) G (t) = µe t G(t) +2 G (t) + G (t) Danach ist G(0) = e µ, G (0)=µ und aus E(X 2 )=G (0)=µ+µ 2 folgt: σ 2 =E(X 2 )-µ 2 =µ Schließlich folgt aus E([X-µ] 3 )=E(X 3 )-3µE(X 2 )+2µ 3 und E(X k )=G (k) (0) für die Schiefe der Poisson-Verteilung der Ausdruck: = 1 µ Beispiele 1 Ein Roulettspieler setzt 9 Spiele lang auf eine Vierer- Zahlenkonstellation Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten dabei x=0,1,2, mal zu gewinnen? Wie heißen die entsprechenden Zahlen, wenn wir sie näherungsweise durch die Poisson - Verteilung berechnen? Wie lauten Mittelwert und Varianz der Verteilungen? x f (x) Bernoulli f (x) Poisson

5 35 Den Mittelwert µ und die Varianz σ 2 der Binomialverteilung berechnen wir aus: µ = np = und #2 4 = np q = = 0868 Die analogen Werte für die Poisson- Verteilung lauten: Für die Schiefe der Poisson- Verteilung gilt: = 1 µ =1014 µ = 2 = n# p = In einer experimentellen Studie eines Strahlungsvorgangs werden die pro Zeitintervall beobachteten α- Teilchen gezählt und aufgelistet Der Stichprobenmittelwert x, der pro Zeitintervall auftretenden Teilchen, wird als Näherung für den Parameter µ der Formel für die Poisson- Verteilung eingesetzt (s63) Wie genau interpretiert diese Approximation der wahren Poisson- Verteilung die experimentelle Beobachtung? Wir geben die Lösung durch eine Tabelle und eine Grafik Anzahl Experiment Theoretisch 54,4 210,5 407,3 525,4 508,4 393,6 253,9 140,4 67,9 29,2 11,3 4,0 1,3 0,4 Für unsere konkrete Berechnung ersetzen wir den unbekannten Erwartungswert µ=n p durch den Stichprobenmittelwert x µ: x = = In einer Verkehrszählung werden im 30 Sekundentakt die Autos gezählt Anschließend werden die Ergebnisse tabelliert und durch eine Poisson Verteilung dargestellt, wobei näherungsweise der Mittelwert der Beobachtung als µ - Wert in die Poisson Verteilungsformel eingesetzt wird (s63) Wir stellen die Lösung wieder durch eine Tabelle und eine Grafik dar

6 36 Anzahl Autos Anzahl Zeitintervalle mit x Autos (Beobachtung) Anzahl Zeitintervalle mit x Autos (Poisson) Für unsere konkrete Berechnung haben wir den unbekannten Erwartungswert µ wieder durch den Stichprobenmittelwert x µ angenähert: x = = Im Roulette wird 1000 Spiele lang auf eine Zahl gesetzt Die Wahrscheinlichkeiten der Gewinnhäufigkeiten wurden mit der Binomial- und der Poissonformel berechnet und im Bild dargestellt

7 Hypergeometrische Verteilung Die Binomialverteilung spielt eine Rolle bei Zufallsexperimenten, bei denen einzelne Ereignisse unbeschränkt häufig auftreten können (Münzwerfen, Würfel, Roulett, Ziehen mit Zurücklegen) Betrachten wir Zufallsexperimente bei denen gezogene Elemente nicht zurückgelegt werden, so verändert sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion gegenüber der Bernoulli- Formel Besteht die Grundgesamtheit unterscheidbarer Beobachtungswerten aus N Elementen und sind darunter G günstige und U = N - G ungünstige Ergebnisse möglich, so lautet die Wahrscheinlichkeit bei n Ziehungen x günstige Ergebnisse zu erhalten so: G% N( G % # x &# n ( x & f(x) = N % Hypergeometrische Wahrscheinlichkeitsfunktion # n& Die hypergeometrische Verteilung heißt dann so: G% # i N( G % x x &# n (i & F(x) = ) f(i) = ) N % = 1 x G% N % * N( G % ) # i & n (i Hypergeometrische Verteilung # & # n& # n & Die Hypergeometrische Verteilung hat den Mittelwert: µ = n N# G N und die Varianz ( )( Nn) ( ) 2 n# G# N G = N 2 N1 Beispiel Mittelwert Varianz Können sich bestimmte Ereignisse nicht wiederholen, wie etwa beim Ziehen der Lottozahlen, oder beim Aussortieren ohne Zurücklegen, so ersetzen wir für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse die Binomialverteilung durch die so genannte hypergeometrische Verteilung Zur Demonstration dieser Verteilung sei beispielsweise nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, x Richtige im Lotto zu erhalten Die Antwort errechnen wir so Es sind N=49 unterscheidbare Elemente als Grundgesamtheit vorgegeben Davon sind G = 6 günstig und U=43 ungünstig Es werden n=6 Zahlenelemente gezogen 49% Es gibt offenbar Möglichkeiten, 6 Elemente aus 49 Elementen auszuwählen Darunter # 6 & gibt es 6 % Möglichkeiten, x Richtige unter den 6 gezogenen Zahlen zu platzieren, und es # x& # 43 & gibt % 6 ( Möglichkeiten, (6-x) aus der Gesamtmenge aller 43 falscher Zahlen unterschiedlich auszuwählen Damit heißt die Formel für die Wahrscheinlichkeit von x Richtigen: x

8 38 6 % # x ( 43 % & # 6 ) x& f(x) =, x = 0,2,,6 49% # 6 & In der Tabelle und im Diagramm sind die Wahrscheinlichkeiten für x Richtige im Lotto dargestellt Zum Vergleich sind auch die Werte der Poisson Verteilung angezeigt, die über den Mittelwert µ (s Tabelle) so berechnet werden kann: µ 0352# # # # # # 6 = 0735 Anzahl x f(x) Poisson F(x)

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +, " > 0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) =

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +,  > 0.  2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) = 38 6..7.4 Normalverteilung Die Gauß-Verteilung oder Normal-Verteilung ist eine stetige Verteilung, d.h. ihre Zufallsvariablen können beliebige reelle Zahlenwerte annehmen. Wir definieren sie durch die

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