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Imke Kohler
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Lösung zur Übung 3 vom 28.0.204 Aufgabe 8 Gegeben ist ein Dreieck mit den nachfolgenden Seiten- und Winkelbezeichnung.

1 Lösung zur Übung 3 vom Aufgabe 8 Gegeben ist ein Dreieck mit den nachfolgenden Seiten- und Winkelbezeichnung. Der Cosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras: a) c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(γ) Berechnen Sie die gegenüberliegende Seite zum Winkel γ = 45, wenn die anliegenden Seiten des Winkels die Längen 5 und 6 haben. Lösung Aus der Aufgabenstellung werden die benötigten Größen entnommen (welche der Seiten a oder b gesetzt wird ist egal, da das Dreieck durch das vertauschen der Seiten lediglich gespiegelt wird.): Einsetzen der Werte in den Kosinussatz: a = 5 () b = 6 (2) γ = 45 (3) c 2 = cos(45 ) (4) 2 = (5) 2 = 6 42, 42 (6) = 8, 58 (7) c = 8, 58 (8) 4, 3 (9)

b) Wie kann man den Cosinussatz beweisen? Lösung Ein Dreieck (ABC) lässt sich durch zwei rechtwinklige Dreiecke (ACH und BCH mit h = CH, p = AH, q = BH) beschreiben.

2 b) Wie kann man den Cosinussatz beweisen? Lösung Ein Dreieck (ABC) lässt sich durch zwei rechtwinklige Dreiecke (ACH und BCH mit h = CH, p = AH, q = BH) beschreiben. Diese rechtwinkligen Dreiecke können jeweils durch den Satz des Pythagoras berechnet werden. a 2 = q 2 + h 2 (0) b 2 = p 2 + h 2 () Die Seite c lässt sich durch p und q beschreiben. c = p + q (2) c 2 = (p + q) 2 (3) = p 2 + 2pq + q 2 (4) Der Kosinussatz beinhaltet die Variablen a, b, c und γ. a und b sind bereits oben beschrieben(s. Gl. 0 und ). Um an c zu gelangen, wird die erste Addition des Kosinussatzes gebildet. a 2 + b 2 = q 2 + h 2 + p 2 + h 2 (5) = 2h 2 + p 2 + q 2 }{{} c 2 2pq Durch Umformen von Gl. 4 gelangt man an c 2. (6) = 2h 2 + c 2 2pq (7) c 2 = a 2 + b 2 2h 2 + 2pq (8) 2

3 Die letzte fehlende Größe ist nun das cos(γ). Um dieses zu erhalten nutzt man einige Zusammenhänge, die im Folgenden auch die zusätzlichen Hilfsgrößen h, p und q ersetzen. p = b cos(α) (9) q = a cos(β) (20) pq = b cos(α)a cos(β) (2) = ab cos(α) cos(β) (22) h = b sin(α) = a sin(β) (23) h 2 = b sin(α)a sin(β) (24) = ab sin(α) sin(β) (25) Einsetzen der Gleichungen 22 und 25 in Gleichung 8 führt zu folgendem Zusammenhang: c 2 = a 2 + b 2 + 2ab(cos(α) cos(β) sin(α) sin(β)) (26) = a 2 + b 2 + 2ab(cos(α + β)) (27) mit Hilfe der Winkelsumme im Dreieck lässt sich γ als α + β = 80 γ ausdrücken. = a 2 + b 2 + 2ab(cos(80 γ)) (28) = a 2 + b 2 + 2ab(cos(80 ) cos(γ) + sin(80 ) sin(γ)) (29) }{{}}{{} ( ) 0 c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(γ) (30) 3

4 Aufgabe 9 Eine harmonische Schwingung breite sich vom Nullpunkt als transversale Welle längs der x-achse mit der Geschwindigkeit c = 7, 5 mm/s aus. Für die Amplitude und die Kreisfrequenz dieser Schwingung gilt: Amplitude cm, Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz): ω = π 2 Hz, ( Hz = s ). a) Berechnen Sie die Periodendauer T, die Frequenz ν, und die Wellenlänge λ. Berechnung von T Für die Berechnung von T gilt folgender Zusammenhang: Berechnung von ν mit ω = 2π T T = 2π ω = 2π π 2 s = 2 π 2 s π (3) (32) (33) = 4s (34) ν = T (35) = 4s = 4 s (36) (37) = Hz (38) 4 Berechnung von λ mit λ = c ν (39) mm 7, 5 s = 4 Hz (40) = 7, m s 4 s (4) = 4 7, m (42) = m (43) = 30mm (44) 4

5 b) Wie heißt die Wellengleichung mit diesen Daten? Lösung ( y(x, t) = A sin 2πνt x ) λ (45) 5

6 Aufgabe 0 Lissajous-Figuren sind Graphen in einem kartesischen Koordinatensystem, bei denen auf der Abszisse und auf der Ordinate jeweils Funktionswerte von z.b. Sinusfunktionen aufgetragen werden. Die Abszissen- und Ordinatenfunktionen sin(kx) unterscheiden sich dabei z.b. durch den k-wert. Zeichnen Sie die Lissajousfigur für ein k-verhältnis von 4 :. Zeichnung der Lissaous-Figur Wir könnten an dieser Stelle uns auf das Zeichnen der Lissajous-Figur beschränken, aber wir wollen Euch, zumindest in kurzen Zügen, das Vorgehen zum Erstellen dieser Figuren erläutern. Doch zuvor etwas Allgemeinbildung: Lissajous-Figuren werden in der Schwingungsanalyse eingesetzt, z.b. bei der Analyse von elektrischen Schaltkreisen. Die Form der Figuren erlaubt genaue Rückschlüsse auf Frequenz und Phasenlage der beiden Spannungen. Bei gleichen Frequenzen (bspw: v = :) kann man an der elliptischen Figur die Phasendifferenz ablesen. Bei zwei fast gleichen Frequenzen (oder einem Frequenzverhältnis, das sehr nahe an einem der einfachen rationalen Verhältnisse liegt) zeigt der Schirm des Oszilloskops eine zwar geschlossene, aber sich zeitlich verändernde Figur. So kann man mit hoher Empfindlichkeit kleine Frequenzunterschiede messen. Deshalb waren Lissajous-Figuren beispielsweise in der Werkstatt von Fernseh- und Röhrentechnikern ein alltägliches Bild. Andererseits wirken sie in ihrer Vielfalt besonders (aber nicht nur) auf den technischen Laien äußerst faszinierend, gerade in der leicht animierten Form. Deshalb wurden in Filmkunst und Fernsehen auch häufig Monitore im Bühnenbild mit Lissajous-Figuren dekoriert, wenn eine Umgebung sehr modern oder futuristisch wirken sollte, etwa in Science-Fiction-Filmen und -Serien. Wie aus dem vorhergehenden Text zu entnehmen war, werden sie gewöhnlich mithilfe eines Oszilloskops erstellt. Hierbei werden statt einer zeitabhängigen Darstellung 2 Eingangskanäle gegeneinander aufgetragen. Wenn wir solche Figuren also zeichnen möchten, müssen wir zuerst eine paar Werte unserer Funktionen bestimmen. Wir erstellen also eine Wertetabelle. Nachdem wir nun einige Werte der Fuktionen kennen, können wir sie gegeneinander auftragen. Laut Aufgabe soll sin(4x) auf der Abszisse (x-achse) und sin(x) auf der Ordinate (y-achse) aufgetragen werden. Hierdurch entsteht ein Bild wie in Abb.. 6

7 Tabelle : Wertetabelle zu den Funktionen sin(x) und sin(4x) x [ ] sin(x) sin(4x) 7,5 0,3 0,50 5 0,26 0,87 22,5 0, ,50 0,87 37,5 0,6 0, ,7 0 52,5 0,79-0, ,87-0,87 67,5 0, ,97-0,87 82,5 0,99-0, ,5 0,99 0, ,97 0,87 2,5 0, ,87 0,87 27,5 0,79 0, ,7 0 42,5 0,6-0, ,50-0,87 57,5 0, ,26-0,87 72,5 0,3-0, x [ ] sin(x) sin(4x) 87,5-0,3 0, ,26 0,87 202,5-0, ,50 0,87 27,5-0,6 0, , ,5-0,79-0, ,87-0,87 247,5-0, ,97-0,87 262,5-0,99-0, ,5-0,99 0, ,97 0,87 292,5-0, ,87 0,87 307,5-0,79 0, , ,5-0,6-0, ,50-0,87 337,5-0, ,26-0,87 352,5-0,3-0,

8 Abbildung : Lissajous-Figur für ein k-verhältnis von 4 :. 8

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