Lösungen 0.1. g) x 1 = 1,82; x 2 = 1,9. + q = 0 x 2 p
|
|
- Waltraud Esser
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Lösungen 0.1 c) Gleichungen lösen Quadratische Gleichungen: (Buch 11. Klasse) 98/1 a) x 1, = 1,3 b) x 1, = 3,5 c) x 1, = k d) x 1, =,5 e) x 1, = a f) x 1, = t / a) x 1 = 3; x = 4 b) x 1 = 3; x = c) x 1 = = ; x = d) x 1 = a; x = a e) x 1 = 1; x = 10 f) x 1 = ; x = g) x 1 = 7; x = 5 h) x 1 = 1 k ; x = k i) x 1 = ; x = 1,5 k) x 1, = t 98/3 a) x 1 = 1,5; x = 3 b) x 1 = 0,5; x = 0,5 c) x 1 = 9; x = 7 d) x 1, = 3 e) x 1 = ; x = 1 f) x 1 = 6; x = g) x 1 = 1,8; x = 1,9 h) x 1 = 1; x = 15 i) x 1, = 1 k) x 1 = 6; x = l) keine Lösung m) x 1 = 1; x = /4 a) x 1 = 0; x = 0,9 b) x 1 = 0; x = c) x 6 1 = 0; x = a d) x 1 = 0; x = 1,5 e) x 1 = 0; x = 0,8 f) x 1 = 0; x = 1 m 1 m 98/5 x + px + q = 0 x p + px + p p x = p + q = 0 x p + px + p p p q x + = q x = Betragsgleichungen: (Buch Klasse 11) 157/ a) L = { ; } b) L = {3} c) L = { } d) L = {} = p p Algebraische Gleichungen (faktorisieren, Substitution...): (Buch Klasse 11) 19/1 a) x 1 = 0; x = ; x 3 = alle einfach c) x 1, = ; x 3,4 = beide doppelt d) x 1, = 0 doppelt; x = 1; x 3 = 1 beide einfach e) x 1 = 0; x = ; x 3 = 8 alle einfach f) x 1,,3 = 0 dreifach; x 4 = 3 einfach g) x 1 = 0 einfach; x,3 = ; x 4,5 = beide doppelt h) x 1 = 0 einfach; keine weiteren Lösungen i) x 1 = ; x = beide einfach k) x 1,,3 = 0 dreifach; x 4,5 = 4 7 beide einfach Gleichungen mit Polynomdivision: (Buch 11. Klasse) 131/1 a) x 1 = 1 einfach; (x 3 x + x 1):(x 1) = x x + 1; keinen weiteren Lösungen b) x 1 = ; ( x 3 3x + 4x + 1):(x ) = x 5x 6; x = ; x 3 = 3 alle einfach c) x 1 = 3 einfach; (x 4 + x 3 8x 9x 9):(x 3) = x 3 + 4x + 4x + 3; x = 3 einfach; (x 3 + 4x + 4x + 3):(x + 3) = x + x + 1; keine weiteren Lösungen d) x 1 = 4; ( 6x 3 + 3x + 6x 8):(x 4) = 6x 1 x + ; x = ; x 3 3 = alle einfach e) x 1 = 1; (x 4 + x 3 13x 14x + 4):(x 1) = x 3 + 3x 10x 4; x = ; (x 3 + 3x 10x 4):(x + ) = x + x 1; x 3 = 3; x 4 = 4 alle einfach Bruchgleichungen: (Buch 1. Klasse) 45/1 a) 3 b) c) ; 1,5 d) 1; 4 e) 0,6 f) 0,5 g) 10 h) 4 q q
2 Goniometrische Gleichungen: (Buch 1. Klasse) /1 a) ; ; b) ; ; ; c) ; d) 0; ; ; e) ; f) ; / a) ; b) 0,5; (Probe nötig!) c) ; (Probe nötig!) f) 0; ; ; 4 4 d) 0;,4981 (Probe nötig!) e) 3 36/ a) b) ; c) ; ; ; d) ; e) ; f) 0; ; ; ; g) ; ; ; ; ; h) 0; ; i) k) 0 natürliche Exponential- und Logarithmusgleichungen: (von einem Übungsblatt) ln ln 4 1 6) a) x = b) x = 0 c) x = ln 3 d) x = e) x = 1 + ln f) x = ln ln g) x = 3 =,5 (1 ln + ln 3) h) x 1, = ln 3 0,4 ln 7) a) x = 0 b) x = ln c) x = 0 d) x = e) x 1 = ln ; x = ln 3 3 f) x 1 = ln ; keine weitere Lösung g) x 1 = ln 3; keine weitere Lsg. h) x 1 = ln ; x = ln 3 8) a) x = e h) x = 1 b) x = 3e c) x = e d) x = e e) x = f) x = 0 g) x 1, = 1 1 e 9) a) 9,96 b) 0,08 c) 3,1 d) 1,00 e) 0,50 f),04 g) 1,56 h) 3, i) 3,00 j) 1,51 k) 0,58 l) 1,31 d) Ungleichungen lösen Quadratische Ungleichungen: (Buch 11. Klasse) 107/1 a) L = ] ; 4] [; [ b) L = ] ; 3[ ]0,65;[ c) L = ] ;[ ]5;[ d) L = [ 6;] e) L = ] ; 1 [ ]; [ f) L = ] ; 6,5[ ]5;[ 3 g) L = ] 0,5;0[ h) L = ] 3;0[ / a) L = ] ;[ ]1; [ b) L = ] ; ] [ ; [ 1 c) L = ] ; [ ]6; [ d) L = ] ;0,5] [1,75;[ e) L = ]0;0,[ f) L = [ 15; 5] 3
3 einfache Betragsungleichungen (Umgebungen): (Buch 11. Klasse) 159/ a) ]3;5[ b) ] 1;3[ c) ] 15;5[ d) ]35;65[ e) ]740;700[ f) ]0,45;0,55[ Bruchungleichungen: (Buch 1. Klasse) 45/ a) ] 4;1[ b) ] 3;1[ c) ] ; [ [6;[ d) ] 4; 3] e) ] ;1] ]3;[ f) ] 8;,5[ g) ]0,30;1,5] h) [0,6; [ i) [40; [ k) ]0;00] e) Definitionsmengen bestimmen 006-AII D = R 007-AI (a > 0) D = ] ; 0[ ]; [ 007-AII a 0: D = R; a < 0: D = R\{ln } 008-AII D = R 010-AI (a > 0) D = ] ; 0[ ]0; [ 010-AII (a 0) D = R\{0} 011-AI D = R 011-AII (a > 0) D = R 01-AII a > 0: D = R; a = 0: D = R\{0}; a < 0: D = R\ ± 013-AI (a > 0) D = R\{0} 013-AII D = R 014-AII D = R 015-AI a 0: D = R; a < 0: D = R\{ln } 015-AII D = R a) Wiederholung 113/1 a) D symmetrisch zu 0 und f 1 (x) =... = f 1 (x) b) D symmetrisch zu 0 und f (x) =... = f (x) c) D symmetrisch zu 0 und f 3 (x) =... = f 3 (x) d) D symmetrisch zu 0 und f 4 (x) =... = f 4 (x) e) D symmetrisch zu 0 und f 5 (x) =... = f 5 (x) Lösungen / a) D symmetrisch zu 0 und g 1 (x) =... = g 1 (x) ==> G g1 ist symmetrisch zur y-achse b) keine Symmetrie (offensichtlich keine zum KS; außerdem ist x 1 = die einzige Nullstelle, und G g ist weder symmetrisch zu x = noch zu P( 0) ) c) D symmetrisch zu 0 und g 3 (x) =... = g 3 (x) ==> G g3 ist symmetrisch zum Ursprung d) g 4 (x) =... = x 3x Dies beschreibt eine Parabel mit Scheitel bei x s = 1,5. Zu erwarten ist also: G g4 ist symmetrisch zur Geraden mit der Gleichung x = 1,5. Da aber D = \{3} nicht symmetrisch zur 1,5 ist, hat der Graph keine Symmetrie. e) g 5 (x) =... = x.
4 Dies beschreibt die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten. Diese ist eigentlich symmetrisch zu jedem Punkt, der auf ihr liegt. D = \{3; 3} ist aber nur symmetrisch zu 0; deshalb ist der Graph nur symmetrisch zum Ursprung. b) Symmetrie zu beliebigen senkrechten Geraden 113/1 f) f 6 (1 + x) =... = f 6 (1 x) und D symmetrisch zu 1 j) günstig: erst Funktionsterm vereinfachen! f 10 (x) = a x+1 x+a f 10 ( (a+1) + x) =... = f 10( (a+1) x) und D symmetrisch zu (a+1) 113/ d) g 4 (1,5 + x) =... = g 4 (1,5 x); aber: siehe oben: keine Symmetrie! f) g 5 (a + x) =... = g 5 (a x) und D symmetrisch zu a ==> G g6 ist symmetrisch zu x = a c) Symmetrie zu beliebigen Punkten 113/1 h) ( f 8(1 + x) + f 8 (1 x) ) =... = =... 1 und D symmetrisch zu i) günstig: erst Funktionsterm vereinfachen! f 9 (x) = ( f 9(1 + x) + f 9 (1 x) ) =... = () + () =... = 1 und D symmetrisch zu 1
5 Lösungen 0.3 Lösungen 0.4 a) Wiederholung 114/9 a) Nullstellen: x 1 = /; x = 3/ TiP(3/4 / ); HoP(7/4 / ) ( WeP 1 (0 1); ) WeP ( e (; WeP 3 ( e b) c) P k (k e k ) mit k d) Berührpunkte, da f a '(k) = g a '(k) 115/11 a) D f = + b) lim [ (ln ) ( ) ] = lim = lim () = (mit Ergebnis aus b); lim c) lim d) f '(x) = = lim ( ln ) = 0 (FS!) () = 0 ( (ln ( ( ) ) ) + ) = (ln ( ( ) ) ) + ( ) + 1 = ((ln ( ( ) ) ) + ln + 1) = ( ( ) ) e) Nenner von f ' ist > 0, Zähler ist 0; Zähler = 0 nur für x 1 = 1/e ==> G f ist smf in ]0;1/e] und [1/e; [ ==> TeP bei 1/e;... P(1/e e/) f) W f = + wegen Verhalten an den Rändern der Definitionsmenge und Monotonie (und Stetigkeit) g) y = f(1) = 1; m = f '(1) = 1 ==> t: y = x +
6 h) b) Ortskurven 114/6 a) HoP(0 0) TiP 1 (a 4a 4 ) ==> y = 0,5x 4 (x > 0); TiP (0,5a 3a 4 /3) ==> y = 1,5x 4 (x < 0) b) HoP(0 /a) ==> x = 0 (y < 0) c) TiP(0 0); HoP 1, (± a a ) ==> y = 0,5x d) HoP ==> y = x (x > 0); TiP ==> y = x (x < 0) e) 0 < a < 1: TiP 1, ± 1 1 ==> y = x ; HoP(0 ln a) ==> x = 0 (y > 0) a 1: TiP(0 ln a) ==> x = 0 (y < 0) f) TiP(e a a ) ==> y = (ln x) (x > 0) 114/7 a) WeP 1 (a 0,375a 4 ) ==> y = 0,375x 4 (x > 0); WeP (a a 4 ) ==> y = 0,15x 4 (x < 0) b) WeP 1, ± ==> y = x c) WeP(e 1+a 1 a ) ==> y = ln x ( ln x) (x > 0) d) WeP 1, (± ln(a) ) ==> y = ln x ln e) WeP 1, ± ==> y =
7 114/8 (exakt: 0,5 arctan 4) HoP( 0,669 +, TiP( 0,669 +, ) (k gerade) ==> x = ) (k ungerade) ==> x = 115/10 c) Nullstellen: x 1 = 1; x = e k/ ; TiP(e k/4 k /8); WeP(e 1+k/4 k /8) d) da f k (x) für x 0 und für x (und f stetig) ==> TiP ist absolut Ortskurve: y = (ln x) mit x > 1 x > 0 und y < 0 ==> alle absoluten TiP liegen im IV. Quadranten f) 116/13 a) Nullstelle: x 1 = 0; G a symmetrisch zum Ursprung; f a (x) 0 für x b) (vgl. 6d!) HoP c) (vgl. 6d!) y = x (x 0) ; TiP ; WeP 1(0 0); WeP,3 ± d) y = 4 (1 at ) (x t) + 4t (siehe i)!) e) a = 1/6 ==> WeP (3 1 e 3/ ) ==> w: y = 8 e 3/ (x 3) + 1 e 3/ y = 0 ==>... x = 4,5 f) nächste Seite i) t: y = 4 / (1 t /3) (x t) + 4t / ±4 S einsetzen ==>... t 3 9t + 7 = 0 t 1 = 3 bekannt; (t 3 9t + 7):(t 3) =...; t 3t 9 = 0 ==> t = 3 = t 1 ; t 3 = 1,5
8 f) rot: Graph von f; grün: k; schwarz: w 117/15 a) f a (ln + d) = ; f a(ln d) = z. B. durch Erweitern des zweiten Terms mit e d sieht man, dass beide Terme gleich sind (oder: zeige erst (Kürzen mit e x,...), dass f a (x) = = ist ) ( ) ( ) da außerdem D symmetrisch zu ln ist ==> G a ist symmetrisch zu x = ln b) f a (x) 0 für x ± f a '(x) = ( ) ==> G ( ) a ist sms in ] ; ln ], smf in [ln ; [ ==> HoP(ln ) ==> y = ex c), j) rot: G 1 ; grün: G 0,5 ; schwarz: Ortskurve der ExP; blau: G F
9 Lösungen 0.5 a) Grundbegriffe 69/1 a) 4585 b) 7795 c) d) / a) (vgl. 6a!) f '(x) = 0,5x 1 > 0 in ][ ==> G f ist sms in I; O 5 = 16,16; U 5 = 1,96 b) g'(x) = x 1 > 0 in [;4] ==> G g ist sms in I; O 4 = 5,5; U 4 = 6,5 69/3 Das Intervall [a;b] hat die Breite ba; wenn man es in n Streifen unterteilt, hat jeder einzelne Streifen also die Breite =. Der erste Streifen geht dann von a bis a + x, der zweite von a + x bis a + x usw., der letzte von a + (n1) x bis a + n x = b. a) Weil f smz ist, ist im ersten Streifen f(a) = f(a + 0 x) der kleinste Funktionswert, im zweiten Streifen f(a + x) = f(a + 1 x) usw., im letzten f(a + (n1) x). Die Flächeninhalte der Rechtecke sind also f(a + 0 x) x, f(a + 1 x) x,..., f(a + (n1) x) x. Wenn man alle diese Flächeninhalte aufsummiert, erhält man U n. b) Weil f smz ist, ist im ersten Streifen f(a + 1 x) der größte Funktionswert, im zweiten Streifen f(a + x) usw., im letzten f(a + n x). Die Flächeninhalte der Rechtecke sind also f(a + 1 x) x, f(a + x) x,..., f(a + n x) x. Wenn man alle diese Flächeninhalte aufsummiert, erhält man O n. 69/4 Man vertauscht die beiden Formeln einfach (weil nun jeweils der größte Funktionswert am linken Rand der Streifen ist und der kleinste am rechten Rand): U n = ( + ) und O n = ( + ) 69/5 U 5 4,79; O 5 6,58 69/6 a) (vgl. a!) G f ist sms in ] ; ], smf in [ ; [ O n =... = + ; U n =... = b) G g ist sms in ] ; 0,5], smf in [ 0,5; [ O n =... = + ; U n =... = 69/7 b) O 4 1,979; U 4 1,74 b) Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 7/5 a) Nullstellen von f: x 1 = ; x = 3; ExP = TiP = S(0,5 6,5) Graph: nächste Seite F(0) = () = 0 ==> Nullstelle x 1 = 0 mit G f folgt: weitere Nullstellen x < ; x 3 > 3 b) aus VZ von f folgt: G F ist sms in ] ; ] und [3; [, smf in [; 3] ==> HoP bei ; TiP bei 3 aus Monotonie von G f folgt: G F ist linksgekrümmt in ] ; 0,5], rechtsgekrümmt in [0,5; [ ==> WeP bei 0,5
10 zu 5 a) 7/6 a) Nullstellen von f: x 1 = 0; x = 3; x 3 = 6 TiP( ,73 5,0); HoP(3 3 1,7 5,0) F(3) = () = 0 ==> Nullstelle x 1, = 3 (weil auch einf. Nst. von f ==> doppelt) mit G f folgt: weitere Nullstellen x 3 < ; x 4 > 6 b) aus VZ von f folgt: G F ist sms in [0; 3] und [6; [, smf in ] ; 0] und [; 6] ==> HoP bei 3 (==> Nullstelle 3 ist doppelt!); TiP bei 0 und bei 6 aus Monotonie von G f folgt: G F ist linksgekrümmt in ] ; 3 3] und [3 + 3; [, rechtsgekrümmt in [3 3; 3 + 3] ==> WeP bei 3 3 und bei /8 a) D F = ] 1; [ F(0) = () = 0 ==> Nullstelle x 1, = 0 (weil auch einf. Nst. von f ==> doppelt) einzige Nullstelle! aus VZ von f folgt: G F ist sms in ] 1; 0], smf in [0; [ ==> HoP bei 0 F(0) = 0 (Nullstelle, s.o.) ==> HoP(0 0) aus Monotonie von G f folgt: G F ist rechtsgekrümmt in ] ; 1], linksgekrümmt in [1; [ ==> WeP bei 1 aus Zeichnung: F(1) = Flächeninhalt zwischen 0 und 1 ==> WeP(0 )
11 73/30 a) D f = ]1; [; Nullstelle: x 1, = G f ist sms in ]1; ], smf in [; [; HoP( 0) b) aus Monotonie und HoP in (a) folgt: f(x) 0 ==> G F ist smf in ]1; ] und in [; [ ==> keine ExP (aber TeP bei ) F() = () = 0 ==> Nullstelle x 1,,3 = (dreifach, weil dort TeP) wg. Monotonie: einzige Nullstelle aus Monotonie von G f folgt: G F ist linksgekrümmt in ] 1; ], rechtsgekrümmt in [; [ ==> WeP bei (= TeP) 73/31 a) Zähler von f a 0 ==> f a hat keine Nullstellen; G fa ist smf in b) f a (x) > 0 ==> G F ist sms in F(0) = () = 0 ==> Nullstelle x 1 = 0; wg. Monotonie: einzige Nullstelle aus Monotonie von G f folgt: G F ist rechtsgekrümmt in ==> keine WeP 117/15 d) aus (c): f(x) > 0 ==> G F ist sms in F(x) = () = ( ) (G 1 symmetrisch zur y-achse ==> f 1 (t) = f 1 (t) ) = [ ( )] (F ist Stammfunktion zu f 1 ; Regel für Stammfunktion von f(ax+b)!) = F(x)) + F(0) = F(x) und D F symmetrisch zu 0 ==> G F ist symmetrisch zum Ursprung e) G 1 hat genau einen ExP bei 0 ==> G F hat genau einen WeP bei 0 F(0) = () = 0 ==> WeP(0 0) F'(0) = f 1 (0) = 1 ==> w: y = x f) F(b) ist der Inhalt der Fläche zwischen G 1 und der x-achse zwischen x = 0 und x = b. Da G 1 für x > 0 smf ist, liegt ein Rechteck von x = 0 bis x = b mit Höhe f 1 (b) sicher unter dem Graph, also ist sein Flächeninhalt b f 1 (b) sicher kleiner als F(b). da F(0) = 0 und f 1 (0) = 1 ==> f 1 (0) > F(0) mit gegebener Formel folgt: F(1) > 1 f 1 (1), also f 1 (1) F(1) ==> d(x) := f 1 (x) F(x) hat in [0;1] also einen VZW; stetig ==> mind. eine Nullstelle da in [0;1] G 1 smf ist und G F sms ==> G d ist in [0;1] smf ==> genau eine Nullstelle ==> genau ein Schnittpunkt von G 1 und G F c) Berechnung von Integralen 69/8 a) 1,5x b) x + 5x c) x3 d) e) x x f) x 5 + g) 70/9 h) a) 3 b) + c) sin(5 3) d) cos(3 ) 70/10 a) x 3 x + 7x + C b) x + C c) cos x + 3 sin x + C d) cos x + x + C
12 7/5 c) F(x) = x3 x 6x Nullstellen: x 1 = 0; x,3 = ± ==> x 5,06; x 3 3,56 HoP( ); TiP(3 13,5); WeP(0,5 3 ) 7/6 c) F(x) = (x4 1x x 81) Nullstellen: x 1, = 3; x 3,4 = 3±3 ==> x 7,3; x 3 1,3 HoP(3 0); TiP 1 (0 10,15); TiP (6 10,15); WeP 1, (3± 3 5,65) 94/1 a) x3 + x + C h) + C o) ex + C b) cos + + C i) + C p) () + C c) sin + x + C j) ln x C d) tan x + C k) ln ln x + C l) ln cos x + C f) + C m) e x + C g) ln 4x C n) + C u) + D
13 96/11 a) 0,5 ln 4x 1 + C d) 0,5 ln x 6x C g) ln (x 3) C b) ln 3x + C e) ln 3x + 3x C h) ln 4x3 + 3x C c) 1,5 ln 1 x + C f) ) C i) ln 4x4 + 3x 5 + C d) Anwendungen 70/11 a) x 1 = 5; x = ; A = 57 b) x 1 = ; x = 1,5; A = c) x 1 = ; x = 7; A = 11,5 d) x 1 = 1; x = 5; A = 18 e) x 1 = 3; x = ; A = f) x 1 = ; x = 4; A = 10 g) x 1 = 1; x = 0; x 3 = 3; A = 11 h) x 1,,3 = ; es wird keine Fläche eingeschlossen! i) x 1, = 1; x 3 = 5; A = 1,6 j) x 1 = ; x,3 = 5; A = 1,35 k) x 1 = 5; x = 1; x 3 = 1; A = 7, l) x 1 3,568; es wird keine Fläche eingeschlossen! m) x 1 = 3; x = ; x 3 = 1; A = 5 n) x 1 = 1; x = ; x 3 = 4; A = 10 o) x 1 = 8; x = ; x 3 = 1; A = 81 p) x 1 = 3; x = 0; x 3,4 = ; A = 15 q) x 1, = ±3; x 3,4 = ±; A = 3 r) x 1 = ±6; x = ± 3; A = 44,8 3 8,8 48,80 s) x 1, = ±; A = 19, t) x 1 = ± 5; A = 5,99 70/1 70/13 a) 11 ; Verhältnis 30:49 0,61 b) 1; Verhältnis 5:153 0,34 70/14 a) jeweils: Graph von f grün, Graph von g schwarz a = :
14 a = 4: b) A(a) = 1 + c) a 0,53 oder a 50,94 70/15 a = ±4 71/0 (Anmerkung: Der Graph von f ist symmetrisch zu t = 30!) s 11,85 km; x 6,53 km 71/1 a) 4,48 J b) 5,6 J c) W = () = 71/ v(t) =... = 3t 3 16t + 187t () = 0,75T 4 54T ,5T 0,75T 4 54T ,5T = durch Probieren: T = 4 (Graph skizzieren ==> nur eine Lösung) = = 7f/7 a) A gesamt = F(7) F(1) 7,6; A links = F(4) F(1),6 ==> A rechts 5 ==> Verhältnis 1: b) B = F(6) F(3) 4,5 c) G'(x) =... = f(x) (a) A gesamt = G(7) G(1) = ln 7 7,6; A links = G(4) G(1) = ln 4,54; A rechts = G(7) G(4) = ln 7 4 ln 4 5,08 ==> Verhältnis: 0,501 1: (b) B = G(6) G(3) = ln 6 3 ln 3 4,45 113/3 Lösungen 0.6 mit Falz: A(r) = (r + 0,75) + r + 1; A(r) für r und für r 0 mit Newton-Verfahren: absolut minimal für r 3,9 ==> h 10,35; A 417 ohne Falz: A(r) = r r + ; A(r) für r und für r 0 absolut minimal für r 4,30 ==> h 8,61; A 349 ( 16% weniger Verbrauch!)
15 113/4 Abwurf im Ursprung: x(t) = v 0 cos( t; y(t) = 0,5 g t + v 0 sin( t ==> y = 0,5 g + tan() x Hang: y = x Schnitt ==> (x 1 = 0; ) x() = (tan cos cos ) = (sin( cos( 1) maximal für = 0,375 = 67,5 x() 0 für und ==> absolutes Maximum allgemein: Bei einem Hang der Steigung m erhält man die größte Wurfweite, wenn für den Abwurfwinkel tan( = 1/m gilt. Dabei muss arctan(m) sein. 113f/5 a) Grundseite = x; Höhe = g(x) ==> F(x) =... b) F'(x) = () () () () c) x 3,4; F 0,78 117/17 D P = [0; [; P'(R) =... = () = 3 () ( ) () () () =... Nenner ist in D P positiv; Zähler beschreibt fallende Gerade mit Nullstelle bei R = R i ==> P' hat VZW bei R = R i von + nach ==> P hat dort ein relatives Maximum P(R) 0 für R 0 und für R ==> absolutes Maximum von P bei R = R i 117/18 Gleichgewichtslage: y = 0 ==> t = 0,5; Umkehrpunkt: = 0 ==> t = 1
16 118/19 a) g(x) = 3x b) zunehmend für 0 < t < 3 und 9 < t < 1, abnehmend für 3 < t < 9 c) bei t = 0 und t = 1 d) bei t = 6± 3 (,54 und 9,46) 118/0 a) u(t) = e 0,1t (0,05 sin(100t) + 50 cos(100t) ) (u in V) b) absolutes Maximum bei t 0,005, darauffolgendes bei 0,015 zweites Maximum um etwa 0,% kleiner als erstes (absolutes) 118/1 vgl. Buch 1. Klasse T 35/8 und Prüfung T1 1999! Graph ist symmetrisch zu x = L/! a) Nullstellen: x 1 = 0; x = 0,8 (x 3,4 = 0,4± 0,8 D) TiP(0,4 0,18) ( HoP bei x,3 = 0,4± 0,48 D) ( WeP 1 (0 0); WeP (0,8 0) Randextrema von f '!) b) f minimal bei x = L/; einziges Extremum in D ==> absolutes Minimum 118/ Maxima für t = (arctan 40 + k ) / 8 0,193 + k / 8 (k ); abs. Max. für k = 0 118/3 Aufgabenstellung unklar! falls die Ausdehnung in y-richtung gemeint ist: max. 19, min. 5 71/19 Koordinatensystem: y-achse in der Mitte der Rückwand a) ursprüngliche Decke:... d(x) = 0,15 x + 15; Zwischendecke:... z(x) = a x 100 a (() ()) = 10 ==>... a = 0,09 b) eingesparte Heizkosten pro Jahr: etwa 6680 ==> knapp 3 Jahre c) z(9) 1,71 (m) d) d(x) = 7,5 ==> x = ±5 7,05; V = 50 (() 7,5) = 500 d(1),85 71/3 13 m 7/4 a) verwende z. B. den y-achsenabschnitt ==> blau: G f ; rot: G g b) Brücken: 100 m und 300 m; Fußweg gesamt: 600 m; nicht auf Brücken: 00 m c) Vom Fußweg ist das Nordufer maximal 180 m entfernt (bei x = 0), von der rechten Brücke maximal etwa 8 m. d) y = 0,55x 4,375; von Zugangsstraße zu Fußweg etwa 941 m; P F (8 0); P Z(0 4,375)
Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate
Mathematik-Lexikon HM00 Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Aufstellen von Funktionstermen Gesucht: Ganzrationale Funktion n-ten Grades: ƒ(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n- +... +
MehrMathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila
Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila 1.Analysis 1.1 Grundlagen: Ableitung f (u) ist Steigung in Punkt P (u/f(u)) auf K f(x) = a * x r f (x) = a * r * x r-1 Tangentengleichung: y= f (u) * (x-u)
MehrAufgaben zu den ganzrationalen Funktionen
Aufgaben zu den ganzrationalen Funktionen. Bestimmen Sie die Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. a) y x + x 6 b) y x x + x c) y (x + )(x + x ) d) y x 5x + e) y x + x x + 0 f) y x x 5x +50x
MehrZuammenfassung: Reelle Funktionen
Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,
Mehr)e2 (3 x2 ) a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie das Verhalten von f für x.
Analysis Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern GK (abgeändert). Gegeben ist die Funktion f(x) = ( x )e ( x ). a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen
MehrKurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen
Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 9. August 0 Inhaltsverzeichnis Ganzrationale Funktion Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c 8. Aufgaben...................................................
MehrDifferenzialrechnung
Mathe Differenzialrechnung Differenzialrechnung 1. Grenzwerte von Funktionen Idee: Gegeben eine Funktion: Gesucht: y = f(x) lim f(x) = g s = Wert gegen den die Funktion streben soll (meist 0 oder ) g =
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=
MehrDas Mathematikabitur. Abiturvorbereitung Infini. Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1
Das Mathematikabitur Abiturvorbereitung Infini Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1 Gliederung Was ist eine Funktion? Welche Funktionen kennen wir? Welche Eigenschaften von Funktionen sind
Mehr5.3. Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen
.. Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen Aufgabe : Kurvendiskussion Untersuche die folgenden Funktionen auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Etrem- und Wendepunkte und zeichne ein Schaubild
MehrDiese Funktion ist mein Typ!
Diese Funktion ist mein Typ! Überblick über die wichtigsten Funktionstypen der 10.Jgst.: Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochen-rationale Funktionen Trigonometrische
MehrInhalt. Vorwort Mittelwertsatz der Integralrechnung... 31
Inhalt Vorwort... 5 1 Stammfunktionen... 7 1.1 Erklärung der Stammfunktionen........................................... 7 1.2 Eigenschaften der Stammfunktionen.................................... 10 1.3
Mehr1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11
Inhalt A Differenzialrechnung 8 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 2 Ableitungsregeln 2 Potenzregel 2 Konstantenregel 3 Summenregel 4 Produktregel 4 Quotientenregel
MehrLösungsvorschlag - Zusatzaufgaben (2)
HOCHSCHULE KARLSRUHE Sommersemester 014 Elektrotechnik - Sensorik Übung Mathematik I B.Sc. Paul Schnäbele Lösungsvorschlag - Zusatzaufgaben ) a) x ) fx) = D = R \ { } x + Es liegt keine gängige Symmetrie
MehrDemo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002
Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von
MehrFormelsammlung Analysis
Formelsammlung Analysis http://www.fersch.de Klemens Fersch. August 0 Inhaltsverzeichnis Analysis. Grenzwert - Stetigkeit.............................................. Grenzwert von f(x) für x gegen x0...................................
Mehrf : x 2 x f : x 1 Exponentialfunktion zur Basis a. Für alle Exponentialfunktionen gelten die Gleichungen (1) a x a y = a x+y (2) ax a y = ax y
5. Die natürliche Exponentialfunktion und natürliche Logarithmusfunktion ================================================================== 5.1 Die natürliche Exponentialfunktion f : x 2 x f : x 1 2 x
Mehre-funktionen f(x) = e x2
e-funktionen f(x) = e x. Smmetrie: Der Graph ist achsensmmetrisch, da f( x) = f(x).. Nullstellen: Bed.: f(x) = 0 Es sind keine Nullstellen vorhanden, da e x stets positiv ist. 3. Extrema: notw. Bed.: f
MehrUrs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2
Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4
Mehr1 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung
Schülerbuchseite 5 5 Lösungen vorläuig VI Natürliche Eponential- und Logarithmusunktion Die natürliche Eponentialunktion und ihre Ableitung S. 5 Durch Ausprobieren erkennt man, dass < a
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaften I Wintersemester 2015/16 Universität Leipzig. Lösungvorschläge Präsenzaufgaben Serien 1-10
Mathematik für Wirtschaftswissenschaften I Wintersemester 05/6 Universität Leipzig Lösungvorschläge Präsenzaufgaben Serien -0 Inhaltsverzeichnis Serie Serie 5 3 Serie 8 4 Serie 9 5 Serie 3 6 Serie 6 7
MehrUntersuchungen von Funktionen 1
Untersuchungen von Funktionen 1 Führen Sie für die Funktionen diese Untersuchungen durch : Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte im Unendlichen. Bestimmen
Mehr1 Analysis Kurvendiskussion
1 Analysis Kurvendiskussion 1.1 Allgemeingültige Betrachtungen Die folgenden aufgezeigten Betrachtungen und Rechenschritte gelten für alle Arten von Funktionen. Funktion (z.b. Polynom n-ten Grades) Schreibweise
Mehr1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel:
1. Zahlenmengen Wissensgrundlage Aufgabenbeispiele Gib die jeweils kleinstmögliche Zahlenmenge an, welche die Zahl enthält? R Q Q oder All diejenigen Zahlen, die sich nicht mehr durch Brüche darstellen
MehrLineare Funktion Aufgaben und Lösungen
Lineare Funktion Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch. November 0 Inhaltsverzeichnis Ursprungsgerade. y = m x...................................................... Aufgaben.................................................
MehrAusführliche Lösungen
Bohner Ihlenburg Ott Deusch Mathematik für berufliche Gmnasien Jahrgangsstufen und Analsis und Stochastik Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab 5. Auflage 05 ISBN 978--80-8- Das
Mehrα π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel
Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! Tipps zum Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10 Folgende Begriffe und Aufgaben solltest Du nach der 10. Klasse kennen und können: (Falls Du Lücken entdeckst,
MehrDie Kugel Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10. Definitionen und Regeln. Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π. Kugelvolumen: - 1 -
10.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Die Kugel Beispiele Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π r Kugelvolumen: V Kugel = 4 3 r³ π - 1 - 10. Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Kreissektor
MehrZusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius
Zusammenfassung Mathematik Claudia Fabricius Funktion: Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y eines Wertebereiches W zu. Polynom: f(x = a n x n + a n- x n-
MehrDifferenzialrechnung
Mathematik bla Differenzialrechnung Ort - Zeit - Geschwindigkeit E:\1_GYMER\_Unterricht\AUFGABEN\0_3 Differenzialrechnung\00_differenzialrechnung.docx 1 Das Weg-Zeit-Diagramm und die Geschwindigkeit Ordne
MehrÜbungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 203/4 Blatt 20.0.204 Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag 4. a) Für a R betrachten wir die Funktion
MehrVorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker
Vorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker Übungsblatt Musterlösung Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Wintersemester 06/7 Aufgabe (Definitionsbereiche) Bestimme
MehrF u n k t i o n e n Quadratische Funktionen
F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen Eine Parabolantenne bündelt Radio- und Mikrowellen in einem Brennpunkt. Dort wird die Strahlung detektiert. Die Form einer Parabolantenne entsteht durch die
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen
Mehrx A, x / A x ist (nicht) Element von A. A B, A B A ist (nicht) Teilmenge von B. A B, A B A ist (nicht) echte Teilmenge von B.
SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das Lernen mit Lernkarten
Mehr+ 2. Bruchgleichungen
Bruchgleichungen Gleichungen mit einer Lösungsvariablen im Nenner eines Bruchs heißen Bruchgleichungen. Definitionsmenge: Nenner 0 Lösungsweg: 1. Multiplikation mit dem Hauptnenner 2. Äquivalenzumformungen
MehrGrundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α
Grundwissen 0. Berechnungen an Kreis und Kugel a) Bogenmaß Beispiel: Gegeben ist ein Winkel α=50 ; dann gilt: b = b = π 50 0,8766 r r 360 Die (reelle) Zahl ist geeignet, die Größe eines Winkels anzugeben.
MehrFormelsammlung Mathematik 9
I Lineare Funktionen... 9.) Funktionen... 9.) Proportionale Funktionen... 9.) Lineare Funktionen... 9.4) Bestimmung von linearen Funktionen:... II) Systeme linearer Gleichungen... 9.5) Lineare Gleichungen
MehrBayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I
Bayern FOS BOS Fachabiturprüfung 05 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I.0 Nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen G f ' der ersten Ableitungsfunktion einer in ganz 0 definierten
MehrDefinition: Differenzierbare Funktionen
Definition: Differenzierbare Funktionen 1/12 Definition. Sei f :]a, b[ R eine Funktion. Sie heißt an der Stelle ξ ]a, b[ differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert. f(ξ + h) f(ξ) lim h 0 h = lim x ξ
Mehr( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der
ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 05 Mathematik I (Analysis) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Graphen der Funktionen f(x) x 4x + x + 5 und g(x) x x + 5 im Schnittpunkt mit der
MehrApril (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil
April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten
Mehrf : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1
III. Funktionen und Gleichungen ================================================================== 3.1. Lineare Funktionen Eine Funktion mit der Zuordnungvorschrift f : x y = mx + t und m, t R heißt lineare
MehrGrundwissen Mathematik JS 11
GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math-naturw u neusprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 957 PEGNITZ FERNRUF 94/48 FAX 94/564 Grundwissen Mathematik JS Was versteht man allgemein unter einer
MehrGrundwissen 10. Klasse Mathematik. Berechne Umfang und Flächeninhalt des Spitzbogens mit Lösung: ( )
1.1 Der Kreis Der Kreis Umfang Flächeninhalt Der Kreissektor (Kreisausschnitt) mit Mittelpunktswinkel Bogenlänge Flächeninhalt Grundwissen 10. Klasse Mathematik Wie ändert sich der Flächeninhalt eines
MehrAufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite.0.0 Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen Drei unterschiedliche Punkte, die alle auf einer Parabel liegen sollen sind gegeben. Daraus soll
MehrExemplar für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Juni 2016 Mathematik Kompensationsprüfung 3 Angabe für Prüfer/innen Hinweise zur
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen
MehrBitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben.
Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur für alle gemeldeten Fachrichtungen außer Immobilientechnik und Immobilienwirtschaft am 9..9, 9... Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht
MehrInhaltsverzeichnis VB 2003
VB Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Die Integralrechnung Die Stammfunktion Wie kommt man zur Stammfunktion am Beispiel der Potenzfunktion Beispiele für Stammfunktionen: Beispiele mit Wurzelfunktionen
Mehr10. Klasse: Logarithmusfunktionen sind die Umkehrungen der Exponentialfunktionen. Umkehrungen beschreiben umgekehrte Zuordnungen.
IV Umkehrfunktion Umkehrbarkeit 0. Klasse: Logarithmusfunktionen sind die Umkehrungen der Eponentialfunktionen. Umkehrungen beschreiben umgekehrte Zuordnungen. f f -> 2 2 -> 2 -> - - -> 2 4 -> -> 4 Graphen
MehrMathematikaufgaben. Matura Session
Mathematikaufgaben Matura 05. Session Angaben 05. Session 05. Session Problemstellung Ein Telefonanbieter sieht für Auslandgespräche eine Figebühr von 0 Euro monatlich und zusätzlich 0 Cent pro Gesprächsminute
Mehrgebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind
Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl
Mehr9 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen
Übungsmaterial 9 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen Die trigonometrischen Funktionen sind die Sinus-, die Kosinus- und die Tangensfunktion. 9. Eigenschaften der trigonometrischen
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Computertechnik / Automatisierungstechnik Elektrotechnik
MehrDIFFERENTIALGLEICHUNGEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung
MehrCorinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. ausmultiplizieren. Anwenden von Potenzgesetzen, Wurzelgesetzen, Logarithmengesetzen
3. Algebraische Grundlagen 3.1. Termumformungen Begriff Term: mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen oder Klammern besteht Termumformungen dienen der Vereinfachung von komplexen
MehrAbiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)
Mehr2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0!
Klausur 25.02.2004 Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 06.08.2003 Aufgabe 5 Gegeben ist
MehrMathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Zwischenwertsatz Gegeben: f : [a, b] R stetig Dann gilt: f(a) < f(b) y [f(a), f(b)] x [a, b] mit f(x) = y 9.1. Grundbegriffe
MehrExtremwertaufgaben. 3. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung),
Extremwertaufgaben x. Ein Landwirt will an einer Mauer einen rechteckigen Hühnerhof mit Maschendraht abgrenzen. 0 Meter Maschendraht stehen zur Verfügung. Wie groß müssen die Rechteckseiten gewählt werden,
MehrSerie 13: Online Test
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 3 Dr. Ana Cannas Serie 3: Online Test Einsendeschluss: 3. Januar 4 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.
Mehr11 Üben X Affine Funktionen 1.01
Üben X Aine Funktionen.0 Zeichne die Graphen zu olgenden Funktionsgleichungen! + + d c b a Augabenkarte von MUED Lösung X Aine Funktionen.0 + + d c b a Üben X Aine Funktionen.0 Bestimme die Funktionsgleichung
MehrAbitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis
Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die
MehrFunktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion.
Tutorium Mathe 1 MT I Funktionen: Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion 1 Definitionsbereich/Wertebereich
MehrAbituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y
MehrLösung zu den Testaufgaben zur Mathematik für Chemiker II (Analysis)
Universität D U I S B U R G E S S E N Campus Essen, Mathematik PD Dr. L. Strüngmann Informationen zur Veranstaltung unter: http://www.uni-due.de/algebra-logic/struengmann.shtml SS 7 Lösung zu den Testaufgaben
Mehr4 Ganzrationale Funktionen
FOS, Jahrgangsstufe (technisch) 4 Ganzrationale Funktionen 4 Polynomfunktionen Eine Funktion, die man auf die Form f : x a n x n + a n x n + + a 2 x 2 + a x + a 0 mit x R bringen kann, heißt ganzrationale
MehrWirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Aufgabe 98 12.12.2012 Untersuchen Sie die Funktion f W R! R mit f.x/
MehrAbschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2013/2014
Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 0/04 Fach (A) Prüfungstag 9. Mai 04 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise
Mehr18 Höhere Ableitungen und Taylorformel
8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a
Mehr4.2. Aufgaben zu quadratischen Funktionen
.. Aufgaben zu quadratischen Funktionen Aufgabe : Stauchung und Streckung der Normalparabel a) Zeichne die Schaubilder der folgenden Funktionen in das Koordinatensstem. b) Vervollständige die darunter
MehrAufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung
ufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ) Geben ist die Funktion f(x) = -x + x. a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? b) Welche Fläche schließt der Graph
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.
MehrClasspad 300 / Classpad 330 (Casio) Der Taschenrechner CAS:
Der Taschenrechner CAS: Classpad 300 / Classpad 330 (Casio) Übersicht: 1. Katalog (wichtige Funktionen und wie man sie aufruft) 2. Funktionen definieren (einspeichern mit und ohne Parameter) 3. Nullstellen
MehrTeil I.2 Lösen von Bestimmungsgleichungen
Brückenkurs Mathematik Teil I.2 Lösen von Bestimmungsgleichungen Staatliche Studienakademie Leipzig Studienrichtung Informatik Dr. Susanne Schneider 12. September 2011 Bestimmungsgleichungen 1 Reelle Zahlen
MehrAnalysis I. 11. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 11. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden kursiv gedruckten) Begriffe. 1) Ein angeordneter Körper. ) Eine Folge in
MehrÜbungsaufgaben mit Lösungen
Priv. Doz. Dr. A. Wagner Aachen, 9. September 6 S. Bleß, M. Sc. Analysis Übungsaufgaben mit Lösungen im Vorkurs Mathematik 6, RWTH Aachen University Intervalle, Supremum und Infimum Für a, b R, a < b nennen
MehrGebrochenrationale Funktionen Ü bungsaufgaben vor Kurzarbeit
Gebrochenrationale Funktionen Ü bungsaufgaben vor Kurzarbeit Diskutieren Sie die Funktionen: a.) f(x) = 1 + x 5 x 2 1 b.) f(x) = x 4 + 5 x+2 c.) f(x) = x3 +2x 2 +x+2 x+2 Lösung: a.) An der Summenform des
MehrParabeln. x y Um die Beziehung von x und y aufzudecken, teilen wir die y-werte durch 5.
c) = (x a) Parabeln Wir stellen uns vor, einen Stein von einem hohen Gebäude fallen zu lassen und interessieren uns für den Zusammenhang von verstrichener Zeit x (in Sekunden) und zurückgelegter Fallstrecke
MehrThemenbereich 1: Proportionalitätszuordnungen. Proportionale Zuordnungen. y bzw. Umgekehrt proportionale Zuordnungen. 6000g
Themenbereich : Proportionalitätszuordnungen Benzinmenge in Abhängigkeit von dem Preis: Proportionale Zuordnungen Wenn eine Größe verdoppelt wird, führt dies zur Verdoppelung der Anderen Die Zuordnungsvorschrift
MehrAufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:
Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an
MehrHauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 04 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com
MehrBaden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre
Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre Lösungshinweise und Tipps Die Lösungshinweise beziehen sich auf die konkrete Aufgabenstellung, während die von Fall zu Fall beigefügten
MehrLösungen zu delta 11. Fit für die Oberstufe Lösungen zu den Seiten 6 und 7
Lösungen zu delta Fit für die Oberstufe Lösungen zu den Seiten 6 und 7. a) 4 = ; 9 = 4; = 6 X G; L = { 6} b) ( 4) + 8 = ( + 4); 8 + 8 = 4; + 0 = ; 4 = ; = =, X G; L = {,} 4 c) + 7 = 0; + 7 = 0; = 7 G;
MehrEinstieg. Bogenmaß. Allgemeine Formeln
2 Einstieg Differenzialrechnung * Integralrechnung * Geometrie Stochastik * Zusatzthemen * Prüfungsaufgaben Wiederholung einiger Formeln Aufgaben aus dem Pflichtteil Schaubilder und Funktionsterme Streckung
Mehra n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n
Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen
Mehr6 Trigonometrische Funktionen
6 Trigonometrische Funktionen 6. Definition Die Trigonometrischen Funktionen (oder Winkelfunktionen) Sinus-, Kosinusund Tangensfunktion stellen den Zusammenhang zwischen Winkel und Seitenverhältnis dar.
MehrBestimmung ganzrationaler Funktionen
Bestimmung ganzrationaler Funktionen 30 0 0-50 -40-30 -0-0 0 0 30 40 50 x. Eine Brücke ist 30 m hoch und hat eine Spannweite von 00 m. Welche Parabel beschreibt die Krümmung des Stützbogens? Wir führen
MehrEinführungsphase Mathematik. Thema: Quadratische Funktionen. quadratische Gleichungen
Thema: Quadratische Funktionen quadratische Gleichungen Normalform einer linearen Funktion Normalform einer quadratischen Funktion Handelt es sich um quadratische Funktionen??? Ja, denn a = 3, b = 0, c
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus:
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Grundlagen der Integralrechnung: Übungsaufgaben zur Berechnung unbestimmter und bestimmter Integrale Das komplette Material finden
MehrInhaltsverzeichnis Mathematik
1. Mengenlehre 1.1 Begriff der Menge 1.2 Beziehungen zwischen Mengen 1.3 Verknüpfungen von Mengen (Mengenoperationen) 1.4 Übungen 1.5 Übungen (alte BM-Prüfungen) 1.6 Zahlenmengen 1.7 Grundmenge (Bezugsmenge)
MehrMathematik 3 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4
MehrDirekt und indirekt proportionale Größen
8.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 8 Direkt und indirekt proportionale Größen Direkte Proportionalität x und y sind direkt proportional, wenn zum doppelten, dreifachen,, n-fachen Wert für x der
MehrBeispiele zur Kurvendiskussion (Gebrochen rationale Funktionen)
Beispiele zur Kurvendiskussion (Gebrochen rationale Funktionen) Beispiel 1 Diskutiere die durch f(x) = x2 3x 4 x + 2 gegebene Funktion f. a) Definitionsbereich: Der Nenner eines Bruches darf nicht gleich
MehrMatura2016-Lösung. Problemstellung 1
Matura-Lösung Problemstellung. Die Funktion f( = + 9k + müsste bei = den Wert annehmen, also gilt + 9k + = k =. Wir betrachten den Bereich mit positiven Werten. Dann gilt: f ( = 8 + 8 = = ; = Bei liegt
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)
MehrFunktionale Abhängigkeiten
Funktionale Abhängigkeiten Lehrplan Die Lehrpläne für die allgemein bildenden Schulen finden Sie online unter: http://www.bmukk.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_abs.xml 5. Klasse (Funktionen) Beschreiben
MehrAnwendungsaufgaben zu den gebrochenrationalen Funktionen
Anwendungsaufgaben zu den gebrochenrationalen Funktionen 1.0 Zur Unterstützung der Stromversorgung einer Gemeinde wird in der Zeit von 12.00 Uhr bis 18.00 Uhr ein kleines Wasserkraftwerk zugeschaltet.
Mehr