8. Statistische Methoden in der Hydrologie 8.1 Begriffe der Statistik Menge aller möglichen Beobachtungswerte. Sie ist zahlenmäßig nicht begrenzt.

Transkript

1 8. Statistische Methoden in der Hydrologie 8.1 Begriffe der Statistik Grundgesamtheit: Menge aller möglichen Beobachtungswerte. Sie ist zahlenmäßig nicht begrenzt. Stichprobe: Zufällige Auswahl von N Beobachtungswerten aus der Grundgesamtheit. Alle Elemente der Grundgesamtheit haben die gleiche Chance, in die Stichprobe ausgewählt zu werden. Beobachtungsintervall t: Zeitabstände zwischen den regelmäßig erfolgenden Beobachtungen. Umfang: Zeitraum, über den beobachtet wurde. t e - t 0 = N t (8.1a) Stichprobenumfang, Beobachtungsanzahl N: Gesamtzahl der Beobachtungen innerhalb des Umfangs N = (t e - t 0 ) / t (8.1b) Ausdehnung, Spannweite: Spanne, innerhalb der die Beobachtungswerte liegen. Spannweite = x max - x min (8.2) Abb. 8.1: Statistische Definitionen für eine Zeitreihe Klasse: Ganzzahliger Teil der Ausdehnung. Die k Klassen entstehen durch eine Einteilung der Ausdehnung in eine ganzzahlige Anzahl k von Intervallen gleicher Intervallbreite bzw. Klassenbreite x. Der Zweck der Klasseneinteilung ist die Beschaffung von Werten für FG Geohydraulik und Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 8.1

2 die Verteilungsdichte (siehe nächstes Blatt). Die Zahl k der Intervalle, in die die Stichprobe einzuteilen ist, muß sich nach dem Stichprobenumfang N richten, denn sie sollte so gewählt werden, daß in jede Klasse eine ausreichende Anzahl von Werten fällt. Gleichzeitig sollte k größer als 5 sein, um die Form von Dichte- oder Verteilungsfunktion erkennen zu lassen. erforderliche Anzahl der Klassen: k 5 log N; oder k 1 + 3,32 log N k 5 Klassenbreite: x = (x max - x min ) / k (8.3) 8.2 Häufigkeiten und Verteilungen Häufigkeitsmaße Nach der Zuordnung der Beobachtungswerte in die Klassen erhält man für jede Klasse eine Zahl, die angibt, wieviele Beobachtungswerte innerhalb der Klassengrenzen liegen. absolute Häufigkeit n i : Häufigkeit des Auftretens der diskreten Variablen x (Beobachtungswerte) innerhalb der i-ten Klasse Die Summe aller absoluten Häufigkeiten n muß dem Stichprobenumfang entsprechen: k N n i i1 (8.4) Abb. 8.2: Aufteilung einer Zeitreihe in Häufigkeitsklassen FG Geohydraulik und Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 8.2

3 relative Häufigkeit f i : Bezieht man die absolute Auftretenshäufigkeit n i einer Klasse auf die Gesamt-zahl der Beobachtungen, erhält man die relative Häufigkeit, d.h. die relative Häufigkeit des Auftretens in der i-ten Klasse. f i n i k n i i1 (8.5) Damit gilt: k f i 1 und 0f i <1 i1 (8.6) Häufigkeitsaussagen beziehen sich immer auf Stichproben, Wahrscheinlichkeitsaussagen immer auf die Grundgesamtheit Relative Häufigkeit und Dichtefunktion Die mit Hilfe der Zuordnung der Beobachtungswerte in die Klassen gewonnenen Häufigkeitszahlen lassen sich über der Ausdehnung (x max - x min ) auftragen. Es entsteht ein Histogramm der absoluten bzw. relativen Häufigkeiten. Dividiert man die relativen Häufigkeiten durch die Intervallbreite x, erhält man die diskrete Verteilung der Häufigkeitsdichte. Abb. 8.3: Relative Häufigkeit und Dichtefunktion FG Geohydraulik und Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 8.3

4 Die Dichtefunktion p(x) ist eine kontinuierliche Darstellung der auf eine gegen Null gehende Klassenbreite (x 0) bezogene relative Häufigkeit p(x) n i Nx i n = Häufigkeit in der Klasse i (8.7) Die Fläche unter der Dichtefunktion hat ebenso wie die Fläche unter der diskreten relativen Häufigkeitsdichte (Histogramm) den Wert 1. k 1 x f i x 1 i1 p(x)dx 1 (8.8) Summenhäufigkeit und Verteilungsfunktion Den Anteil h (x < x1) aller Beobachtungen, die einen bestimmten Wert x 1 unterschreiten, erhält man durch Addieren der relativen Häufigkeiten in allen Klassen, die kleiner sind als x 1. Die Zunahme dieses Anteils für ansteigendes x 1 wird dargestellt durch die relative Summenhäufigkeit. Die Treppenkurve der Summenhäufigkeit entsteht demnach durch Addition der Blöcke aus dem Histogramm der relativen Häufigkeit. In kontinuierlicher Darstellung bedeutet diese analog die Integration der Dichtefunktion zu einer Verteilungsfunktion P(x). Die Verteilungsfunktion gibt für einen beliebigen Wert x 1 jeweils an, welcher Anteil der Daten diesen Wert unterschreiten. Dies ist gleichbedeutend mit der Wahrscheinlichkeit der Unterschreitung dieses Grenzwertes. Es gilt also: P(x i ) x 1 x p(x) dx (8.9) ist die Wahrscheinlichkeit P(x < x i ) (Unterschreitungswahrscheinlichkeit). Für die komplementäre Wahrscheinlichkeit (Überschreitungswahrscheinlichkeit) W(x) = P(x >x i ) gilt dann wegen P(x < ) = 1: FG Geohydraulik und Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 8.4

5 Abb. 8.4: Verteilungsfunktion und Summenhäufigkeit Statistische Parameter von Verteilungen Diskrete Verteilungen Die wichtigsten Parameter zur Beschreibung der statistischen Eigenschaften von diskreten Verteilungen sind: Zentralmaße: Mittelwerte: arithmetisches Mittel: x 1 n i1 x i (8.10) geometrisches Mittel: x g n x 1 x 2...x n (8.11) harmonisches Mittel: x h n n i1 1 x i (8.12) Es gilt: x h x g x FG Geohydraulik und Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 8.5

6 Median: Wert, der genauso oft über- wie unterschritten wird (50% kleiner, 50% größer). Teilt die Dichtefunktion in zwei flächengleiche Hälften. Modalwert: Das Dichtemittel (Modalwert D) kennzeichnet denjenigen Wert, bei dem die Dichtefunktion ihr Maximum aufweist. Streuungsmaß: Als Maß der Streubreite der Werte um den Mittelwert wird üblicherweise die Standardabweichung s oder die Varianz s 2 verwendet. Standardabweichung der Stichprobe: s (x i x) 2 N1 s x 2 (x) 2 /N N1 (8.13) Standardabweichung der Grundgesamtheit: (x i x) 2 N (8.14) Variationskoeffizient: Bezieht man die Standardabweichung auf den Mittelwert der Daten, resultiert der Variationskoeffizient C v : C v s x x 0 (8.15) Schiefe: Die Abweichung der Dichtefunktion von einer symmetrischen Form wird durch die Schiefe beschrieben. Die Schiefe drückt sich in einem Auseinanderwandern von Mittelwert und Modalwert aus. Meist wird der Schiefekoeffizient C S verwendet: Schiefe: (x i x) 3 (N1)(N2) ; C s s 3 N (8.16) Schiefekoeffizient: C s N (x i x) 3 (N1)(N2)s 3; C s N s 3 (8.17) FG Geohydraulik und Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 8.6

7 Berechnungsformel: N x 3 i 3x i x 2 i 2(x i ) 3 /N N (N1)(N2) (8.18) Kontinuierliche Verteilungen Im Falle von kontinuierlichen Verteilungen mit Dichtefunktionen p(x) ergibt sich für den Mittelwert x - : x x p(x) dx (8.19) die Varianz 2 2 (xx) 2 p(x)dx (8.20) den Schiefekoeffizienten C s C s 1 3 (xx) 3 p(x)dx (8.21) Normalverteilung (Gauss-Verteilung) Die Streuung zufallsbeeinflußter additiv zusammengesetzter Größen um einen Mittelwert wird durch die Normalverteilung (auch Gauss-Verteilung) beschrieben. Dichtefunktion p(x) 1 2 exp (xx)2 2 2 (8.22) Bezeichnet man die als Vielfache der Standardabweichung ausgedrückte Differenz zwischen dem x-wert und dem Mittelwert m als z z (xx) (8.23) FG Geohydraulik und Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 8.7

8 lautet die Dichtefunktion der Normalverteilung in normierter Form: p(z) 1 exp z (8.24) Abb. 8.5: Dichtefunktion der Normalverteilung Die zugehörige Summenhäufigkeits- (Verteilungs) Funktion P(z) 1 z 2 exp 2 2 d (8.25) ist nicht analytisch angehbar und daher tabelliert. Häufiger als die Unterschreitungswahrscheinlichkeit P(x) wird in der Hydrologie die Überschreitungswahrscheinlichkeit W(x) = 1- P(x) betrachtet. Letzere ist in der Tabelle auf dem folgenden Blatt für die normierte Darstellung angegeben. Die Normalverteilung ist 2-parametrig und symmetrisch. Der Schiefekoeffizient C S ist deshalb gleich null. FG Geohydraulik und Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 8.8

9 Tab. 8.1: Tabelle der standardisierten Normalverteilung W(x) = 1 - P(x) Dabei ist in der Tabelle der normierte Abszissenwert z (xx) (8.26) FG Geohydraulik und Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 8.9

10 8.3 Empirische Wahrscheinlichkeiten für hydrologische Vorhersagen Die relative Häufigkeitsverteilung aus gemessenen oder real vorgegebenen Werten (Stichproben) ist für die direkte Ermittlung von Über- (W(x)) oder Unterschreitungs (P(x)) - wahrscheinlichkeiten nicht geeignet, da sie für die Kleinst- bzw. Größtwerte die Über- bzw. Unterschreitungs-wahrscheinlichkeiten 1 liefert. Es werden deshalb sogenannte "Empirische P(x) bzw. W(x) mc N12c (8.27) Wahrscheinlichkeiten" verwendet, bei denen die Unterschreitungswahrscheinlichkeit oder Überschreitungs-wahrscheinlichkeit für Stichproben wie folgt berechnet wird: m = Rangfolgen-Nummer, wobei gilt: (a) Bekommt der Größtwert den Rang 1 erhält man die Überschreitungswahrscheinlichkeit W(x), (b) Bekommt der Größtwert den Rang N, erhält man die Unterschreitungswahrscheinlichkeit P(x) N = Stichprobenumfang (Zahl der Werte) c = Parameter (siehe unten) P = Unterschreitungswahrscheinlichkeit W = Überschreitungswahrscheinlichkeit Für den Parameter c werden von verschiedenen Autoren folgende Werte vorgeschlagen: (Quelle: Maniak, 1992) Wert c Autor Anwendung bei c = 0 c.= 0,5 c = 0,3 c = 0,4 c = 0,44 c = Weibull Hazen Chegodayev Young Gringorten Blom Hochwasser (= HQ), C S 0 unbekannter Verteilung, HQ unbekannter Verteilung, HQ Niedrigwasser (=NQ), C S ~ 0 Hochwasser bei Gumbell-Papier Normalverteilung (HQ, NQ) Häufig wird nach Weibull der Parameter c vernachlässigt (c = 0). FG Geohydraulik und Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 8.10

11 Häufiger als die Unterschreitungswahrscheinlichkeit P(x) wird in der Hydrologie die Überschreitungswahrscheinlichkeit W(x) betrachtet. Als Maßzahl für die Überschreitungshäufigkeit wird oft die Jährlichkeit oder auch die Wiederkehrzeit T bzw. das Wiederkehrintervall WKI benutzt. W(x) 1P(x) T 1 W(x) (8.28) Dabei gilt: Ein hundertjährliches Jahreshochwasser (HQ 100 ) hat danach zum Beispiel eine mittlere Kehrzeit von 100 Jahren (T = WKI = 100 a) oder eine Überschreitungshäufigkeit W von 0,01 bzw. 1%. Beispiel 8.1: Erstellung einer Wahrscheinlichkeitskurve für ein 25-jähriges Hochwasser nach Weibull Abb. 8.6: Überschreitungwahrscheinlichkeit und Wiederkehrzeit für ein 25-jähriges Hochwasser FG Geohydraulik und Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 8.11

12 Beispiel 8.2: Erstellung einer Wahrscheinlichkeitskurve für den jährlichen Niederschlag in Los Angeles und Richmond (Virginia). (1) Die Daten sind in Tab. 8.2 enthalten; (2) Die Rangordnungen m und die Überschreitungswahrscheinlichkeit W(x) (in %) sind in Tab. 8.3 enthalten; (3) Die Plots für W(x) und P(x) sind in Abb. 8.7 dargestellt. Die Verteilungen sind in diesem Fall auf spezielles Wahrscheinlichkeitspapier aufgetragen. Man erhält dann i.a. eine Gerade. Tab.8.2: Jährlicher Niederschlag für drei ausgewählte Städte in den USA (Viessman and Lewis, 1996) ANNUAL RAINFALL FOR SELECTED CITIES Year Anniston, AL Los Angeles, CA Richmond, VA FG Geohydraulik und Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 8.12

13 Tab.8.3: Rangordnungen und Überschreitungswahrscheinlichkeit W(x) für Station Richmond und Los Angeles (Viessman and Lewis, 1996) m Richmond Los Angeles 100m / (n+1) ,2 8,3 12,5 16,7 20,8 25,0 29,2 33,3 37,5 41,7 45,8 50,0 54,7 58,3 62,5 66,7 70,8 75,0 79,7 83,3 87,5 91,7 95,8 FG Geohydraulik und Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 8.13

14 Abb. 8.7: Überschreitungs- und Unterschreitungswahrscheinlichkeiten für die Station Los Angeles (unten ) und Richmond (oben) (Viessman and Lewis, 1996) FG Geohydraulik und Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 8.14

15 8.4 Wasserwirtschaftliche Hauptwerte Für einige der aus einer statistischen Auswertung resultierenden Parameter insbesondere für Wasserstände und Abflüsse wurden feste abgekürzte Bezeichnungsweisen eingeführt, die in der Norm DIN 4049 Teil 1 festgelegt sind (Abb. 8.8): Bezeichnungen: N M H Niedrig Mittel Hoch In einer Zeitreihe von 1a MN MH Mittel von N, H über mehrjährigen Zeitraum Diese Abkürzungen werden gekoppelt mit den hydraulischen/hydrologischen Größen kombiniert. W Wasserstand Q Abfluß q spezifischer Abfluß h N Niederschlagshöhe Beispiele: NNQ niedrigster je beobachteter Abfluß HHW höchster je beobachteter Wasserstand MNQ mittleres Jährliches Niedrigwasser HW (1989) größter Hochwasserstand in 1989 Kennzeichnung von Hoch- bzw. Niedrigwasserereignissen einer bestimmten Wiederkehrzeit: HQ m Jährlichkeit bzw. Wiederkehrzeit Beispiele: HQ 100 NW 10 = 100-jährliches Hochwasser = Niedrigwasserstand, der im Mittel nur einmal in 10 Jahren erreicht oder unterschritten wird. FG Geohydraulik und Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 8.15

16 Abb. 8.8: Auszug: DIN 4049 Teil 1, Entwurf 1989 FG Geohydraulik und Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 8.16