Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem

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1 Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Dipl-Math. Wolfgang Kinzner

2 Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Matching und Matchingproblem Flussalgorithmus für bipartite Graphen Augmentierende Wege und Hopcroft-Karp-Algorithmus Metrisches TSP-Problem MST- und Christofides-Heuristik für metrisches TSP

3 Definition Matching, Matchingproblem Sei G = (V, E) ein Graph. Eine Menge M E heißt Matching, falls für alle e e E gilt e e =. Matchingproblem: Suche nach einem Matching in einem Graphen mit möglichst vielen Kanten. Gewichtetes Machtchingproblem: Suche nach einem Matching in einem gewichtetem Graphen mit möglichst großem Gesamtgewicht.

4 Übung 21 (Matchings) Gegeben sei ein gerichteter, kreisfreier Graph G = (V, A) auf n Knoten. Ausgehend von G wird der Graph G = (V out V in, A ) definiert mit V out V in A = {v V : v hat positiven Aus-Grad}, = {v V : v hat positiven Ein-Grad}, = {(u, v) V out V in : (u, v) A}. Zeigen sie, dass G genau dann ein Matching der Größe k hat, wenn n k knotendisjunkte Wege in G existieren, so dass jeder Knoten in G von mindestens einem Weg überdeckt wird. Dabei gilt ein einzelner Knoten als Weg der Länge 0.

5 Flussalgorithmus in bipartiten Graphen Überführe den bipartiten Graphen G = (V 1 V 2, E) in ein Netzwerk N = (V 1 V 2 {s, t}, A, s, t, c) mit A = {(s, v) : v V 1} {(w, t) : w V 2} { (v,w) : { v,w } E, v V 1, w V 2}. Dann gilt s c = 1. V 1 c = 1 max val(f) = max M. f Fluss in N M Matching in G. c = 1 V 2 Berechne nun mit Ford-Fulkerson oder Edmonds-Karp einen maximalen Fluss f in N. Es ist M = {e E (A B) : f(e) = 1} ein größtes Matching von G. t

6 Übung 22 (Flussalgorithmus) Bestimmen Sie mit Hilfe des Flussalgorithmus ein maximales Matching im folgenden Graphen:

7 M-augmentierende Wege Sei G = (V, E) ein Graph und M E ein Matching. Ein M-augmentierender Weg ist ein Weg in G, der abwechselnd Kanten aus M und E \ M benutzt (d.h. M-alternierend ist) und Anfangs- und Endknoten nicht von Kanten aus M berührt werden. l(m) bezeichnet die Länge eines kürzesten M-augmentierenden Weges. Es gilt: Ist M ein weiteres Matching in G mit M > M, dann existieren mindestens M M knotendisjunkte M-augmentierende Wege in G.

8 Algorithmus von Edmonds/Hopcroft-Karp Input: Graph G = (V, E) Output: Matching M Edmonds(G = (V, E)) (1) M := (2) while M-augmentierenden Weg P (3) augmentiere M entlang P. Hopcroft-Karp: Algorithmus von Edmonds lässt sich so modifizieren, dass er in der Laufzeit O( nm) ein maximales Matching in G findet. ( Grundidee: Verwende eine Tiefenoder Breitensuche zum finden aller M-augmentierenden Wege in jedem Durchgang und augmentiere entlang dieser Wege gleichzeitig.)

9 Übung 23 (Hopcroft-Karp-Algorithmus) Gegeben sei der folgende Graph: (a) Gibt es eine Möglichkeit für den Hopkroft-Karp-Algorithmus, nach einer Augmentationsphase ein größtes Matching in G gefunden zu haben? (b) Gibt es eine Möglichkeit für den Hopkroft-Karp-Algorithmus, mehere Augmentationsphasen zu brauchen, um in G ein größtes Matching zu finden?

10 Komplexität von Matchingproblemen Machtchingproblem P Gewichtetes Machtchingproblem P Kleinstes inklusionsmaximales Matchingproblem ist NP-schwer Matchingproblem für 3-uniforme Hypergraphen ist NP-schwer

11 Metrisches TSP-Problem Gegeben: ( Vollständiger Graph G = [n], ( [n]) ) 2 mit Kostenfunktion c : ( [n]) 2 R 0, die die Dreiecksungleichung c({x, z}) c({x, y}) + c({y, z}) x, y, z [n] erfüllt. Gesucht: Tour π = (v 1,..., v n ) mit minimalen Kosten L(π) = n 1 i=1 c({v i, v i+1 })+c({v 1, v n }). Problem: Metrisches TSP ist NP-vollständig. Aber: Approximation der Lösung möglich.

12 Approximationsalgorithmus, Approximationsgüte Ein Approximationsalgorithmus für das TSP mit Approximationsgüte r R 0 ist ein Algorithmus A, der zu jeder TSP-Eingabe (G, c) eine TSP-Tour π A berechnet, so dass L(π A ) L(π opt ) r.

13 MST-Heuristik Eine optimale TSP-Tour in (K n, c) ist mindestens so lang wie ein minimal spannender Baum in (K n, c). Input: Metrisches TSP (K n, c) Output: TSP-Tour δ MST-Heuristik(K n, c) (1) Berechne MST B in (K n, c) (2) Verdoppele alle Kanten in B und erhalte Multigraph B (3) Berechne Euler Tour δ in B (4) while es Knoten v gibt, der durch δ mehrfach besucht wird ersetze konsekutive Kanten {a, v}, {v, b} durch {a, b} MST-Heuristik ist polynomialer Approximationsalgorithmus mit Approximationsgüte 2.

14 Beispiel MST-Heuristik Folie 13

15 Christofides-Heuristik Idee: Verdopple in (2) nicht alle Kanten, sondern füge lediglich Matching-Kanten zwischen Knoten ungeraden Grades in B ein. Input: Metrisches TSP G = (K n, c) Output: TSP-Tour δ Christofides-Heuristik(K n, c) (1) Berechne MST B in (K n, c) (2 ) Sei U die Menge aller Knoten ungeraden Grades in B. Berechne ein leichtestes perfektes Matching M in (K n [U], c) und setze B = B M (3) Berechne Euler Tour δ in B (4) while es Knoten v gibt, der durch δ mehrfach besucht wird ersetze konsekutive Kanten {a, v}, {v, b} durch {a, b} Christofides-Heuristik ist polynomialer Approximationsalgorithmus mit Approximationsgüte 3 2.

16 Beispiel Christofides-Heuristik Folie 14

17 Übung 24 (TSP-Approximation) Konstruiere Beispiele, die zeigen, dass die Approximationsgüte der MST- bzw. Christofides-Heuristik (genau) 2 bzw. 3 2 ist.

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