1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0.

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1 1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem Folg. 2 Sei (Ω, E, P) W.-raum. Seien A, B,A 1,...,A n Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen: 1. P(A) = 1 P(A). 2. Für das unmögliche Ereignis gilt: P( ) = Es seien A, B E zwei Ereignisse mit A B. Dann gilt: (a) B \ A E; (b) P(B \ A) = P(B) P(A) (Subtraktivität); (c) P(A) P(B) (Monotonie der Wahrscheinlichkeit). 26 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

2 4. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), P(A B) P(A) + P(B). Sind A und B unvereinbar, so gilt die Gleichheit. 5. Es sei {A n : n N} eine Folge von Ereignissen mit der Eigenschaft A n A n+1, n N. Dann gilt: ( ) P lim A n = lim P(A n ). Wir sprechen von der Stetigkeit von unten bzw. der Stetigkeit von P für eine wachsende Folge von Ereignissen. 6. Es sei {A n : n N} eine Folge von Ereignissen mit der Eigenschaft A n A n+1, n N. Dann gilt: ( ) P lim A n = lim P(A n ). Wir sprechen hier von der Stetigkeit von oben bzw. von der Stetigkeit von P für eine fallende Folge von Ereignissen. Beweis: 27 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

3 1. Es gilt: Ω = A (Ω \ A) = A A, für alle A E. Wegen A A = folgt: 1 = P(Ω) = P(A A) = P(A) + P(A) Wir stellen um und erhalten: P(A) = 1 P(A). 2. Wegen = Ω \ Ω = Ω folgt aus Aussage 1: P( ) = 1 P(Ω) = Es seien A, B E zwei Ereignisse mit A B. Wir zeigen die drei Aussagen: (a) Es gilt: B \ A = B A. Wegen B E und A E folgt nach Def. 1.4.(2.), daß auch die Menge B \A Element der Menge E ist. (b) Aus B = A (B \A) und A (B \A) = folgt: P(B) = P(A (B \ A)) = P(A) + P(B \ A) 28 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

4 Wir stellen um und erhalten: P(B) P(A) = P(B \ A). 4. trivial (c) Wenn wir die Subtraktivitätsgleichung etwas umstellen, erhalten wir: P(B) = P(A) + P(B \ A). Wegen Definition 1.6.(1.) folgt daraus sofort: P(A) P(B). 5. Es sei nun {A n : n N} eine Folge von Ereignissen mit der Eigenschaft A n A n+1, n N. Nach Definition der Ereignisfolge (A n ) gilt: lim A n = A k. Wir definieren: B 1 := A 1 B 2 := A 2 \ A 1. B n := A n \ A n 1 usw. 29 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

5 Offenbar gilt für alle i,j N mit i j: Weiterhin gilt: B i B j =. A k = B k. Daraus ergibt sich die folgende Gleichungskette: ( ( ) ) ( P lim A ) n = P A k = P B k = P(B k ) (Definition 1.6.(3.)) = P(A 1 ) + P(A k \ A k 1 ) k=2 = P(A 1 ) + lim ( = lim Das ist die Aussage. P(A 1 ) + = lim P(A n ) n P(A k \ A k 1 ) k=2 ) n (P(A k ) P(A k 1 )) k=2 30 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

6 6. Es sei nun {A n : n N} eine Folge von Ereignissen mit der Eigenschaft A n A n+1, n N. Dann gilt: lim A n = A k. Unter Anwendung der DE MORGAN schen Regeln erhalten wir: lim A n = A k. Außerdem gilt: A k A k+1. Dann können wir die folgende Gleichungskette ableiten: ( ( ) ) P lim A n = P A k ( ) = 1 P A k (Aussage 1) ( ) = 1 P lim A n = 1 lim P(A n ) (Aussage 4) = 1 lim (1 P(A n )) = lim P(A n ) 31 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

7 32 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

8 Folg. 3 (Subadditivität von P) Seien A 1, A 2,... Ereignisse. Dann gilt: P( A i ) Beweis: B 1 := A 1 B 2 := A 2 \ A 1 P(A i ) B 3 := A 3 \ (A 1 A 2 )... B i := A i \ ( j<i A j ) usw. Ereignisse B i sind paarweise disjunkt. B i A i. i 1 B i = i 1 A i P( A i ) = P( B i ) = P(B i ) P(A i ) (3. Axiom) (Monotonie der Wkt.) 33 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

9 Folg. 4 (Siebformel) Seien A 1,...,A n Ereignisse. Dann gilt: n P( A i ) = = A i ) I {1,...,n},I ( 1) I 1 P( i I n P(A i ) i<j ( 1) n+1 i 1 <i 2 < <i n P( P(A i A j ) +... n A iν ) ν=1 Siebformel, Prinzip von Inklusion und Exklusion Formel von Poincare-Sylvester (Montmort: Briefwechsel mit Bernoulli) Beweis: (Induktion nach n) 34 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

10 1. IA n = 1 trivial, (n = 2 : Subtraktivität) P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A 1 A 2 ) 2 = P(A i ) P(A i A j ) = I={1,2} I {1,...,n},I ( 1) I 1 P( i I A i ) 2. IS: Aussage der Folgerung gelte für n. Dann n+1 n n P( A i ) = P( A i ) + P(A n+1 ) P( (A i A n+1 )) wegen Subtraktivität. Auf den ersten und dritten Summanden wird jeweils die IV angewendet. Der dritte Summand ist gleich n P( (A i A n+1 )) = = J {1,...,n},J ( 1) J 1 P( i J (A i A n+1 )) {n+1} J {1,...,n+1},J {n+1}( 1) J 1 P( i J A i ). 35 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

11 1. Summe: alle nichtleeren Teilmengen von {1,...,n} 3. Summe: alle nichtleeren Teilmengen von {1,...,n + 1}, die das Element n + 1 enthalten 2. Summe: das Element n W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

12 Bsp. 1.5 (Rencontre-Problem) n Studenten sollen schriftlich von einer Änderung des Vorlesungstermins benachrichtigt werden. Im irrtümlichen Glauben, daß jeder der n Briefe den gleichen Inhalt aufweist, verteilt eine Sekretärin die Briefe willkürlich in die verschiedenen Umschläge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens ein Brief in den richtigen Umschlag gelangt? Welchen Wert erhält man für n? Hinweis: Sei A das Ereignis: mindestens ein Brief im richtigen Umschlag und A i das Ereignis: Brief i kommt in den richtigen Umschlag. Wenden Sie auf P(A) = P( n A i) das Prinzip von Inklusion und Exklusion (Siebformel) an. 37 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

13 Sortierprobleme geg.: Feld der Länge n Daten zufällig angeordnet, gleichverteilt mit Wkt. 1 n!. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens ein Feldelement schon an der richtigen Stelle liegt.? Welchen Wert erhält man für n? das ist dasselbe wie beim Rencontre-Problem. Wie groß ist die Wkt., daß genau k Elemente bereits am richtigen Platz stehen? Übung 38 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

14 Bem. 1 (Bonferroni-Ungleichungen) Die Ungleichung P(A B) P(A) + P(B) heißt Bonferroni-Ungleichung. Weitere (Bonferroni)- Ungleichungen erhält man durch Abbruch der Siebformel nach Gliedern mit positivem ( ) bzw. negativem ( ) Vorzeichen. Bsp. 1.6 P(A B C) P(A) + P(B) + P(C) (n = 1) P(A B C) P(A) + P(B) + P(C) (n = 2) P(A B) P(A C) P(B C) P(A B C) P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) +P(A B C) (n=3, es gilt hier sogar Gleichheit) 39 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

15 1.6 Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Wir betrachten für ein zufälliges Experiment die Menge der Elementarereignisse Ω = {ω 1,...,ω N }. Sei E = P(Ω) und jedes Elementarereignis habe die gleiche Wahrscheinlichkeit (d.h. P({ω i }) = 1, i = 1,...,N). N Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A: P(A) = = #{ω: ω A} N = n(a) N # der für das Eintreten von A günstigen Ereignisse # der möglichen Ereignisse 40 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

16 Paradoxon von DE MÉRÉ Es wird ein Experiment mit drei Würfeln durchgeführt, wobei die Würfel gleichzeitig geworfen werden. Folgende Ereignisse werden betrachtet: A = Es fallen 11 Augen. B = Es fallen 12 Augen. Frage: P(A), P(B)? Die Menge der Elementarereignisse ist Ω = {(i,j, k): 1 i,j, k 6}. Anzahl der Elementarereignisse N := 6 3 = 216. P((i,j,k)) = Sehen wir uns nun die beiden Ereignisse A und B an. Dabei geben wir in der ersten Spalte an, welche Ziffernkombinationen auftreten können. In der zweiten Spalte steht jeweils die Anzahl der 41 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

17 Möglichkeiten für die Anordnung der jeweiligen Zifferntrios. A B Ereignisse # Ereignisse # Also: n(a)=27 n(b)=25 P(A) = > = P(B). Folglich ist das Werfen von 11 Augen wahrscheinlicher als das Werfen von 12 Augen! 42 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

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