Aufgabe 4. Signal Processing and Speech Communication Lab. Graz University of Technology

Transkript

1 Signal Processing and Speech Communication Lab. Graz University of Technology Aufgabe 4 Senden Sie die Hausübung bis spätestens mittels an hw1.spsc@tugraz.at. Verwenden Sie MatrikelNummer1 MatrikelNummer2 als Betreff. Eine vollständige Abgabe besteht aus den von Ihnen erstellten Octave Dateien (*.m) und einem Simulationsprotokoll (PDF). Komprimieren Sie alle Dateien in eine zip-datei mit Dateinamen YourMatrNo YourColleaguesMatrNo.zip und hängen Sie diese an die an. Zusätzlich zur müssen Sie die ausgedruckten Simulationsprotokolle und die Lösungen für die analytischen Aufgaben in unseren Briefkasten in der Inffeldgasse 16c, Erdgeschoß, einwerfen (am Wochenende ist der Zugang zum Briefkasten nicht möglich). Drucken Sie dazu für jede Teilaufgabe den Angabezettel separat aus und klammern Sie ihn mit der jeweiligen Lösung/dem jeweiligen Simulationsprotokoll zusammen. Fügen Sie Ihre(n) Namen und Ihre Matrikelnummer(n) auf jedem Angabezettel ein. Wenn Sie Ihre Lösungen in L A TEX erstellen, können Sie bis zu zwei Bonuspunkte erhalten. Bei handschriftlichen Lösungen analytischer Beispiele bitten wir Sie, diese ordentlich, gut strukturiert und leserlich zu verfassen. Ansonsten werden fünf Punkte abgezogen.

2 Analytische Aufgabe 4.1 (10 Punkte) Gegeben sei ein kausales LTI-System mit Systemfunktion H(z) = 2z2 5z 6 z 2 5z (a) [1 Punkt(e)] Zeichnen Sie das Pol-/Nullstellen-Diagramm von H(z). Ist das System stabil? Ist das System minimalphasig? (b) [2 Punkt(e)] Finden Sie die Impulsantwort h[n] des Systems. Hinweis: Verwenden Sie Partialbruchzerlegung und Formelsammlung. (c) [2 Punkt(e)] Geben Sie die Differenzengleichung des Systems an. (d) [2 Punkt(e)] Zeichnen Sie die Blockschaltbilder der Implementierung des Systems in Direktform I und Direktform II. Wie wird im Allgemeinen Direktform II aus Direktform I gewonnen? (e) [1 Punkt(e)] Betrachten Sie weiter Direktform II. Nehmen Sie an, dass bei allen Multiplikationen (außer bei Multiplikationen mit 1 bzw. 1) weißes Rundungsrauschen mit einer Varianz von σ 2 auftritt. Zeichnen Sie sämtliche Rauschquellen im Blockschaltbild ein. (f) [2 Punkt(e)] Nehmen Sie nun das lineare Rauschmodell an. Fassen Sie die Rauschquellen zu möglichst wenigen Rauschquellen zusammen. Wie setzt sich das Rauschen am Ausgang des Systems zusammen? Wie groß ist die Rauschvarianz am Ausgang? Hinweis: Der noise-gain eines LTI Systems mit Impulsantwort h[n] ist gegeben als G N = n= h[n] 2. Eine weiße Rauschquelle mitvarianzσ 2 ameingangerzeugt amausgangrauschenmitdervarianzσ 2 G N.

3 Analytische Aufgabe 4.2 (8 Punkte) x c (t) x[n] x u [l] x f [l] C/D L H(e jθ ) M y[m] f s = 1 T s X c (jω) ω c ω c ω Gegeben sei ein zeitkontinuierliches Signal x c (t) mit einer Bandbreite f = 16kHz, dessen Fourier-Transformierte X c (jω) oben dargestellt ist. Dieses Signal wird mit einer Frequenz von f s = 48 khz abgetastet. (a) [2 Punkt(e)] Skizzieren Sie die DTFT von x[n] für mindestens zwei Perioden (z.b. von θ = 2π bis θ = 2π). (b) [1 Punkt(e)] Wählen Sie L und M so, dass eine Umwandlung von 48 ksamples/s für x[n] auf 32 ksamples/s für y[m] erreicht wird. Tritt hierbei Aliasing auf? Begründen Sie. (c) [3 Punkt(e)] Nehmen Sie nun an, dass H(e jθ ) ein ideales Tiefpassfilter mit Grenzfrequenz θ L = 0.15π ist. Skizzieren Sie den Betragsfrequenzgang des Filters. Angenommen Sie wollen die Signalkomponenten von x c (t) mit Kreisfrequenzen betragsmäßig kleiner als ω c = 28.8πkHz extrahieren. Wie müssen Sie L und M wählen, um diese Signalkomponenten zu bekommen? (d) [2 Punkt(e)] Skizzieren Sie für diese Wahl von L und M die DTFTs X u (e jθ ), X f (e jθ ) und Y(e jθ ) der Signale x u [l], x f [l] und y[m]. Zeichnen Sie wiederum mindestens zwei Perioden der jeweiligen DTFT.

4 Octave Aufgabe 4.3 (7 Punkte) Gegeben ist eine einkanalige Aufnahme, auf der eine Mischung von einer Sprecherin und einem Sprecher zu hören ist. Unser Ziel ist es, diese Aufnahme in zwei Aufnahmen zu trennen, auf denen die beiden Sprecher individuell zu hören sind. Dieses Problem, das single-channel source separation problem, ist im Allgemeinen nicht lösbar. Glücklicherweise haben wir jedoch zusätzlich von beiden Sprechern jeweils ein Wörterbuch mit typischen Kurzzeitbetragsspektren zur Verfügung. 1 Diese Zusatzinformation erlaubt es uns, unser Problem annähernd zu lösen. Entpacken sie dazu SCSS.zip von der Kursseite in einen Ordner. Legen Sie in diesem Ordner ein Skript source_separation.m an, und setzen sie folgenden Punkte um. Beantworten Sie die zugehörigen Fragen. (a) [1 Punkt(e)] Definieren Sie die Variablen fs = 16000; framelen = 1024; numoverlap = 512; und erstellen Sie ein Fenster win = hamming(framelen). Laden Sie die Datei mixture.wav mittels der Funktion wavread in einen Vektor x. Verwenden sie die Funktion buffer, um x in überlappende Teilsignale der Länge framelen Samples zu zerteilen; verwenden sie dabei eine Überlappung von numoverlap Samples. Welche Länge haben die Teilsignale bei einer Samplingfrequenz von fs=16000 Hz? Benennen sie die aus buffer resultierende Matrix mit x_frames. Hinweis: Das erste Teilsignal soll mit Samples 1:frameLen von x übereinstimmen. Verwenden sie daher buffer mit der nodelay-option! Hinweis: Das letzte Teilsignal wird durch buffer mit Nullen aufgefüllt, damit es ebenfalls eine Länge von framelen Samples hat; das ist für unsere Zwecke in Ordnung. (b) [1 Punkt(e)] Erstellen Sie eine Matrix X von der gleichen Größe wie x_frames, wobei die k-te Spalte von X die fft des k-ten Teilsignals sein soll. Fenstern Sie die Teilsignale vor der fft mit dem Fenster win. Stellen Sie die den Logarithmus (log) des Betrags (abs) der Matrix flipud(x(1:513,:)) mittels der Funktion imagesc als Bild dar. Welche Interpretation haben die x- und y-achsen dieser Darstellung? (c) [2 Punkt(e)] Laden Sie mittels load die Datei MagFreqDict.mat. Diese Datei enthält die Wörterbücher für die Sprecherin (dict_f) und den Sprecher (dict_m), welche als Matrizen repräsentiert sind. Beide Wörterbücher beinhalten also 100 für den jeweiligen Sprecher typische Kurzzeitbetragsspektren. Stellen sie den log von den beiden Wörterbüchern mit imagesc dar. Legen Sie nun mit zeros zwei Matrizen f_frames und m_frames von der gleichen Größe wie x_frames an, und iterieren Sie in einer for-schleife über die Spalten von X. Verwenden Sie dabei t als Zählvariable. In der Schleife sollen folgende Schritte passieren: 1 Diese Wörterbücher wurden zuvor aus reinem Sprachmaterial mittels k-means clustering extrahiert.

5 Rufen Sie [MXhat_f, MXhat_m] = approxmagspectra(abs(x(:,t)), dict_f, dict_m); auf. Was macht die Funktion approxmagspectra? Hinweis: help slash gibt ihnen Hinweise zum Backslash-Operator \. Erstellen Sie einen Vektor M = MXhat_f.^2./ (MXhat_f.^2 + MXhat_m.^2); Führen Sie die Befehle f_temp = ifft(x(:,t).* M) und m_temp = ifft(x(:,t).* (1-M)) aus. Was bewirken diese zwei Befehle im Zeitbereich? Welche Interpretation hat dabei M? Speichern Sie f_temp in der t-ten Spalte von f_frames und m_temp in der t-ten Spalte von m_frames ab. (d) [2 Punkt(e)] Fügen Sie nach der for-schleife die Spalten von f_frames mittels Overlap- Add zu einem Signal f zusammen. Verwenden Sie dabei eine Überlappung von numoverlap Samples. Fügen Sie auf die gleiche Weise die Spalten von m_frames zu einem Signal m zusammen. Schneiden Sie f und m auf die Länge von x zurück. (e)[1 Punkt(e)] Hören Sie sich die Signale f und m mittels soundsc bei einer Samplingfrequenz von fs an (Achtung Lautstärke vorsichtshalber zurückdrehen!). Alternativ können Sie die Signale auch mittels wavwrite in.wav-files schreiben und mit einem beliebigen Player anhören. Laden Sie die Dateien speaker_female.wav und speaker_male.wav jeweils in die Vektoren f_true und m_true. Diese Signale sind die ground truth, d.h. die Signale die für die Mischung verwendet worden sind. Plotten und vergleichen Sie f, f_true, m und m_true. Definieren Sie für f_true die Fehlersignale e_ff = f_true-f; e_fx = f_true-x; und für m_true die Fehlersignale e_mm = m_true-m; e_mx = m_true-x; Geben Sie die dazugehörigen Signal-to-Noise Ratios (SNRs) an. Für ein beliebiges Signal x[n] und ein Fehlersignal e[n] ist der SNR definiert als SNR = 10 log 10 nx[n]2 n e[n]2. Was sagen die berechneten SNRs aus?