Der Kern einer Matrix

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1 Die elementaren Zeilenoperationen p. 1 Der Kern einer Matrix Multipliziert man eine Matrix mit den Spaltenvektoren s 1,..., s m von rechts mit einem Spaltenvektor v := (λ 1,..., λ m ) T, dann ist das Ergebnis gerade die Linearkombination der Matrixspalten. λ 1 s 1 + λ 2 s λ m s m Sollte dies der Nullvektor sein, dann liegt der Vektor v im Kern der Matrix: ker A := {v T Av T = 0}.

2 Die elementaren Zeilenoperationen p. 2 Die elementaren Zeilenoperationen Elementare Zeilenoperationen 1. Ersetze eine Zeile durch die Summe dieser Zeile mit einem Vielfachen einer anderen Zeile. 2. Vertausche zwei Zeilen. 3. Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar, der ungleich Null ist. Hilfssatz 1 Elementare Zeilenoperationen ändern den Kern einer Matrix nicht.

3 Die elementaren Zeilenoperationen p. 3 Zeilenäquivalenz Die elementaren Zeilenoperationen sind umkehrbar. Kann man eine Matrix A durch das Ausführen solcher Operationen in die Matrix B verwandeln, dann geht das auch umgekehrt. Zwei Matrizen, die durch elementare Zeilenoperationen ineinander überführt werden können, nennt man zeilenäquivalent.

4 Die elementaren Zeilenoperationen p. 4 Zeilenführer Man kann die elementaren Zeilenoperationen gezielt anwenden, um eine gegebene Matrix in eine Normalform zu bringen. Eine Nullzeile ist eine Zeile, in der nur Nullen stehen, die anderen Zeilen sind Nichtnullzeilen. Das erste von Null verschiedene Element einer Nichtnullzeile nennen wir den Zeilenführer dieser Zeile.

5 Die elementaren Zeilenoperationen p. 5 Zeilenstufenform Eine Matrix ist in Zeilenstufenform, falls gilt: 1. Alle Nichtnullzeilen stehen oberhalb aller Nullzeilen. 2. Ein Zeilenführer steht stets in einer Spalte rechts vom Führer der Zeile darüber. 3. Alle Einträge unterhalb Zeilenführers sind gleich Null.

6 Die elementaren Zeilenoperationen p. 6 reduzierte Zeilenstufenform Eine Matrix in Zeilenstufenform ist in reduzierter Zeilenstufenform, wenn sie zusätzlich die folgenden Bedingungen erfüllt: 4. Jeder Zeilenführer hat den Wert Jeder Zeilenführer ist der einzige Eintrag in seiner Spalte, der nicht gleich Null ist. Satz 1 Jede Matrix ist zu genau einer Matrix in reduzierter Zeilenstufenform zeilenäquivalent.

7 Die elementaren Zeilenoperationen p. 7 Reduzierte Zeilenstufenform Eine Matrix ist in reduzierter Zeilenstufenform, falls gilt: 1. Alle Nichtnullzeilen stehen oberhalb aller Nullzeilen. 2. Ein Zeilenführer steht stets in einer Spalte rechts vom Führer der Zeile darüber. 3. Alle Einträge unterhalb Zeilenführers sind gleich Null. 4. Jeder Zeilenführer hat den Wert Jeder Zeilenführer ist der einzige Eintrag in seiner Spalte, der nicht gleich Null ist.

8 Die elementaren Zeilenoperationen p. 8 Der Rang einer Matrix Die Spalten einer Matrix A, aufgefasst als Vektoren, erzeugen einen Vektorraum, den man den Spaltenraum dieser Matrix nennt. Entsprechend ist der Zeilenraum der von den Zeilen der Matrix erzeugte Raum. Die Dimension des Spaltenraumes heißt der Rang der Matrix, im Zeichen rang(a). Man kann beweisen, dass der Zeilenraum die gleiche Dimension hat ( Zeilenrang gleich Spaltenrang ).

9 Die elementaren Zeilenoperationen p. 9 Rang und Zeilenoperationen Satz 2 Elementare Zeilenoperationen ändern den Rang einer Matrix nicht.

10 Die elementaren Zeilenoperationen p. 10 Rang und Zeilenstufenform Weil man den Rang einer Matrix in Zeilenstufenform ganz einfach ablesen kann, haben wir nun ein Mittel gefunden, den Rang von Matrizen zu bestimmen. Hilfssatz 2 Der Rang einer Matrix in Zeilenstufenform ist die Anzahl ihrer Nichtnullzeilen.

11 Die elementaren Zeilenoperationen p. 11 Bestimmung des Rangs Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, tut man folgendes: 1. Bringe die Matrix in Zeilenstufenform. 2. Der Rang ist die Anzahl der Nichtnullzeilen.

12 Die elementaren Zeilenoperationen p. 12 Dimension des Kerns Hilfssatz 3 Der Kern einer z s Matrix A ist ein Vektorraum der Dimension s rang(a).

13 Die elementaren Zeilenoperationen p. 13 Eine Basis des Kerns (1) Wir nehmen an, dass die Matrix in reduzierter Zeilenstufenform ist. Wir bezeichnen die Spaltenvektoren, in denen diese Zeilenführer stehen, mit s j1,..., s jr. Die Zahl r ist der Rang der Matrix. Diese Spalten sind linear unabhängig, sie bilden eine Basis des Spaltenraumes.

14 Die elementaren Zeilenoperationen p. 14 Eine Basis des Kerns (2) Jede andere Spalte a i ist davon linear abhängig, und es gibt eindeutig bestimmte Skalare α i j k, k = 1,..., r, mit s i + α i j 1 s j1 + α i j 2 s j α i j r s jr = 0. Das Tupel (c 1,..., c s ) T mit den Einträgen c i := 1, c j1 := α j1,..., c jr := α jr und c l := 0 für alle l / {i, j 1,..., j r } gehört deshalb zum Kern der Matrix.

15 Die elementaren Zeilenoperationen p. 15 Eine Basis des Kerns (3) Man erhält ein solches Tupel für jedes i / {j 1,..., j r }. Es zeigt sich, dass diese Vektoren linear unabhängig sind und eine Basis des erns bilden.

16 Die elementaren Zeilenoperationen p. 16 Lineare Gleichungssysteme Ein besonders wichtiges Anwendungsgebiet der Linearen Algebra ist das Lösen linearer Gleichungssysteme. So ein Gleichungssystem hat die folgende Gestalt a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,s x s = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,s x s = b a z,1 x 1 + a z,2 x a z,s x s = b z, dabei sind die a i,j und die b k vorgegebene Skalare und die x l Variablen.

17 Die elementaren Zeilenoperationen p. 17 Elegante Schreibweise Mit A := a 1,1 a 1,2... a 1,s 1 a 1,s a 2,1 a 2,2... a 2,s 1 a 2,s , x := x 1 x 2. a z,1 a z,2... a z,s 1 a z,s x s und b := b 1 b 2. b z

18 Die elementaren Zeilenoperationen p. 18 schreibt man das obige Gleichungssystem in der Kurzform Ax = b.

19 Die elementaren Zeilenoperationen p. 19 Homogene Gleichungssysteme Wir behandeln zunächst den Spezialfall b := 0; also Ax = 0. Man spricht dann von einem homogenen Gleichungssystem. Die Aufgabe lautet in diesem Fall offenbar, den Kern der Matrix A zu bestimmen.

20 Die elementaren Zeilenoperationen p. 20 Inhomogene Gleichungssysteme Nun betrachten wir den inhomogenen Fall, bei dem b = 0 nicht vorausgesetzt wird. Die folgende einfache Überlegung ist hilfreich: Sind u, v und w Spaltenvektoren mit Au = Av = b und Aw = 0, dann gilt A(v + w) = Av + Aw = b + 0 = b und A(u v) = 0. In Worte gefasst besagt dies:

21 Die elementaren Zeilenoperationen p. 21 Hilfssatz 4 Die Summe einer Lösung des inhomogenen Gleichungssystems mit einer Lösung des homogenen Gleichungssystems ist wieder eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. Je zwei Lösungen des inhomogenen Gleichungssystems unterscheiden sich um eine Lösung des homogenen Gleichungssystems.

22 Die elementaren Zeilenoperationen p. 22 Affine Teilräume Ist U ein Untervektorraum eines Vektorraumes V und v V ein beliebiger Vektor, dann ist v + U := {v + u u U}. Vorsicht: v + U muss kein Untervektorraum mehr sein! Solche Teilmengen, die durch das Verschieben von Untervektorräumen entstehen, nennt man die affinen Teilräume von V. Außerdem wird auch die leere Menge als affiner Teilraum von V verstanden.

23 Die elementaren Zeilenoperationen p. 23 Die Struktur von v + U Die Anzahl der Vektoren in U und in v + U ist die gleiche. Ein nichtleerer affiner Teilraum hat also ebensoviele Elemente wie ein Untervektorraum. Ein affiner Teilraum hat deshalb entweder 0 Elemente, genau 1 Element oder mindestens soviele Elemente, wie es Skalare gibt.

24 Die elementaren Zeilenoperationen p. 24 Satz 3 Ist v eine Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b, dann ist die Menge aller Lösungen dieses linearen Gleichungssystems v + ker A. Ist v eine Lösung und ist c 1,..., c s r eine Basis von ker A, dann ist die Lösungsmenge gleich {v + λ 1 c 1 + λ 2 c λ z s c z s λ 1,..., λ z s K}.

25 Die elementaren Zeilenoperationen p. 25 Den vorigen Satz formulieren wir noch einmal: Satz 4 Ist v eine Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = B, bei dem A eine z s-matrix vom Rang r ist, und ist C eine Matrix, deren Spalten eine Basis von ker A bilden, dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems gegeben durch {v + Cw w K s r }. Man benötigt also eine Lösung, um alle zu bestimmen.

26 Die elementaren Zeilenoperationen p. 26 Hilfssatz 5 Das lineare Gleichungssystem Ax = b hat genau dann eine Lösung, wenn der Vektor b eine Linearkombination der Spalten von A ist. Das ist klar, aber wie finden wir heraus, ob das der Fall ist?

27 Die elementaren Zeilenoperationen p. 27 Wir vergleichen den Spaltenraum von A, also den Vektorraum, der von den Spalten der Matrix A erzeugt wird, mit dem Raum, der von b und den Spalten von A aufgespannt wird, also dem Spaltenraum der erweiterten Matrix (A b), die entsteht, wenn man die Matrix A um eine Spalte, nämlich um b erweitert. Wenn b im Spaltenraum von A liegt, dann ändert sich nichts, die Spaltenräume der beiden Matrizen sind gleich. Insbesondere haben sie die gleiche Dimension und die beiden Matrizen den gleichen Rang. Wenn aber b nicht im Spaltenraum von A liegt, dann hat der Spaltenraum von (A b) eine größere Dimension als der von A.

28 Die elementaren Zeilenoperationen p. 28 Satz 5 Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn rang A = rang (A b).

29 Die elementaren Zeilenoperationen p. 29 Der Gaußsche Algorithmus zum Lösen eines linearen Gleichungssystems Ax = b. 1. Bringe die erweiterte Matrix (A b) in Zeilenstufenform. 2. Wenn die letzte Spalte einen Zeilenführer enthält, ist das Gleichungssystem unlösbar. Dann stopp. Anderenfalls kann man eine Lösung v anhand der Zeilenstufenform ausrechnen.

30 Die elementaren Zeilenoperationen p Es sei {j 1,..., j s r } die Menge der Indizes von Spalten von A, die keinen Zeilenführer enthalten. Dann kann zu jedem k {1,..., s r} ein Spaltenvektor c k := (c k 1,..., ck s) t K s bestimmt werden mit c k j l = 0 für l k und c k j l = 1 für l = k, der im Kern von A liegt (also Ac k = 0 erfüllt). Dies geschieht leichter mit Hilfe der reduzierten Zeilenstufenform der Matrix A. Diese Vektoren bilden eine Basis des Kerns von A. 4. Die Lösungsmenge ist dann {v + λ 1 c λ s r c s r λ 1,..., λ s r K}.

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