Seite 2. Seite 4. Seite 5. Seite 7. Lösungen Mathematik-Dossier Grundoperationen in Q. Teilbarkeit. Primfaktorzerlegung.

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1 Seite kgv kleinstes gemeinsames Vielfaches Seite ggt grösster gemeinsamer Teiler Seite Teiler und Primfaktorzerlegung Seite Teilbarkeit Zahl Überprüfungsart / Notizen: Teilbar durch 9 0 Quersumme, letzte Ziffer: QS9 letzte Ziffer:, QS: 0 QS:, letzte Ziffern: :, letzte Ziffern: : QS:0, letzte Ziffern: ; letzte:; alt. QS0 QS: 0; letzte Ziff: :. 0 QS:, letzte Ziff: :, letzte Ziffer: 0 9 QS:, altqs: QS:, letzte Ziff: : Bemerkung: Durch teilbar: Zahl ist durch und durch teilbar Durch teilbar: Zahl ist durch und durch teilbar Die Kürzel bedeuten: QS: Quersumme (brauchen wir für Teilbarkeit durch oder durch 9) altqs: alternierende Quersumme (für die Teilbarkeit durch ) letzte Ziffern: : (Die Zahl aus den letzten beiden Ziffern ist durch teilbar) letzte Ziffern: : (Die Zahl aus den letzten drei Ziffern ist durch teilbar) letzte Ziffer: (die letzte Ziffer, entweder durch teilbar oder oder 0 (Teilbarkeit durch, rsp. 0)) a) Teiler von {,,,,, 9,,,,,, } (gelöst mit der Methode der komplementären Teiler) Teiler von {,,,,,,,,,,, } (gelöst mit der Methode der komplementären Teiler) Teiler von {,, 9, } (gelöst mit der Methode der komplementären Teiler) Teiler von {,,,,, } (gelöst mit der Methode der komplementären Teiler) Teiler von {,,,,,,,,,,,,,,, } (gelöst mit der Methode der komplementären Teiler) a) 9 Die Überlegung beginnt mit dem Gedanken des ZERTEILENS der beiden Kuchen. Es entstehen gleich grosse Stücke. Entsprechend suchen wir also von den beiden Zahlen und 0 den grössten gemeinsamen Teiler: 0 ggt (, 0) (wir nehmen die GEMEINSAMEN Primfaktoren). Die Stücke werden also cm dick. a) ggt (, ) ggt (, ) ggt (, ) ggt (, ) ggt (, ) ggt (, ) ggt (, ) ggt (, ) ggt (, ) ggt (, ) Die Überlegung beginnt mit dem Gedanken des WIEDERERREICHENS des Ausgangszustandes (gleiche Höhe der Treppen). Entsprechend suchen wir also von den beiden Zahlen und das kleinste gemeinsame Vielfache. kgv (, ) 90 (alle Primfaktoren der kleineren Zahl und die zusätzlichen Primfaktoren der grösseren Z.) Man steht also auf 90 cm Höhe. Auf der ersten Treppe steht man auf der.stufe, auf der zweiten Treppe auf der. Stufe. a) kgv (, ) kgv (, ) kgv (, ) kgv (, ) 0 kgv (, ) kgv (, ) kgv (, ) kgv (, ) kgv (, 0) 0 kgv (, 0) 0 LösungenRepetitionsdossierGrundoperationeninQ.doc A. Räz /..0 Seite

2 Seite Bruchteile vom Ganzen Seite / 9 ggt und kgv Gemischte Aufgen ggt kgv Grund: a) Rasenfläche mit quadratischen Platten belegen. Wie gross kann diese Rasenfläche muss aufgeteilt werden in quadratische Platte maximal sein. quadratische (gleich Stücke Lampen blinken in verschiedenem Abstand. Wann blinken sie Wiederholung eines Ausgangszustandes. gleichzeitig? (Wieder gleichzeitiges Blinken) Zwei verschieden grosse Räder drehen sich. Wann sind sie das erste Wiederholung eines Ausgangszustandes. Mal wieder in der Ausgangsposition? (Räder wieder in gleicher Postition) Ein Quader mit verschiedener Kantenlänge soll mit Würfelchen Quader wird in gleich grösse Würfelchen ausgefüllt werden. Maximale Länge der Würfelkante? (Teil zerteilt. Verschiedene Treppen mit unterschiedlicher Stufenhöhe. Wann ist Wiederholung eines Ausgangszustandes man das erste Mal wieder auf gleicher Höhe? (Treppenstufen wieder auf gleicher Höh Rund um ein Schwimmbad soll ein Weg aus quadratischen Platten Weg wird in gleiche Stücke (Quadrat gelegt werden. Wie gross dürfen die maximal sein? geteilt. Ein rechteckiges Rasenfeld soll mit möglichst wenigen Schnitten von Rasenmäher teilt den Rasen in gleiche einem Rasenmäher gemäht werden. Wie breit kann dieser Streifen. Rasenmäher höchstens sein? a) kgv (, 0, ) kgv, weil Wiederholung des Ausgangszustandes (alle 0 fahren gleichzeiti kgv 0 Es dauert 0 min (. kgv (, 0, ) kgv, weil Wiederholung eines Ausgangszustandes (alle sind 0 wieder auf gleicher Lini kgv 0 Es dauert 0 s ( Minuten). ggt (0,, ) 0 ggt, weil Latten in Stücke ZERTEILT werden. Zudem : alles in gleiche Einheiten (hier in cm verwandeln) Es gibt cm grosse Stücke ggt Also gibt es total + + Stücke. ggt (,,, ) ggt, weil Platten die Fläche in gleich grosse Stücke teilen. zudem: Alles in gleiche, kommalose Einheiten (hier dm) ggt Die Platten hen eine Kantenlänge von dm (0, m) 0 alle Zahlen müssen beinhalten (, ) durch teilbar: Die Primfaktoren von sind enthalten. somit: kleinste Zahl: durch teilbar: Die Primfaktoren von sind enthalten. zweite Zahl: 0 die kleinste Zahl muss also mindestens sein. dritte Zahl: Nachher: Die zusätzlichen Primfaktoren zuteilen. kgv (,, ) kgv, weil Wiederherstellung eines Ausgangszustandes (alle tropfen wieder gleichzeiti kgv Es dauert Sekunden. a) : 9 9 : 0 Bruch als Division darstellen, dann : : mit Operatorkonzept umstellen. : : (von ) : 9 9 : 0 : : a). Die gesuchte Zahl heisst. Achte darauf, WAS genau gegeben : :. Die gesuchte Zahl heisst. ist. Wie viele Teile vom Ganzen sind :. Die gesuchte Zahl heisst. bekannt? : : 9. Die gesuchte Zahl heisst. a) von Stunden von 0 Minuten : 0 0 : [Minuten] von Minute von 0 Sekunden : 0 0 : 0 0 [Sekunden] von m von 000 dm : : 0 [dm ] 0 von ha von 00 a : : [a] 0 LösungenRepetitionsdossierGrundoperationeninQ.doc A. Räz /..0 Seite

3 Seite Erweitern von Brüchen Seite Brüche - Einführung Seite Bruchteile vom Ganzen a) a) 0 oder (denn 0 sind gesund, das Ganze beträgt (ganze Klass ) oder (denn sind krank, das Ganze beträgt (ganze Klass ) 0 oder (denn sind krank, das Ganze beträgt 0 (gesunde Schüler) ) sind Frauen, das sind also: : 0 Frauen. Total Männer sind : : Männer. von sind. Von den Männern sind also anwesend ( ) Total Frauen sind 0. Davon sind krank, also. Anwesend sind somit. Total sind also + 0 Sänger anwesend. a) : 0. (d + 0) : d : + 0 : d : + : e : (e+) : (e + ) : (e + ) (e+) : f Achtung, Klammern zwingend nötig (d -! : ( + a) (-) (-) ( ) (-) ( ) (-) ( ) ( ) ( ) ( ) (-) ( ) a) (f ) : f : : f f f + + oder - - oder + (Reihenfolge entscheiden - + oder - + oder - (Reihenfolge entscheiden + oder - - (Reihenfolge entscheiden (b : (a a) b : a b a (f : : (e f : e f f e e [ (-) (-) ] : [ + (-)] : (-) Gleichwertig sind A und C. a) (-)- (-) (-) (-) (-) +(-)-(-) (-)- +(-) (-) (-) (-) (-) +(-)+9 9 (-) (- ) a) Erweitern mit Bruch (-) (-) 9 a+ b+ a+ a- (a+) a+ (b+) b+ 9 9 (a+) (a-) a+ a- 9 0 (a+) a+ (b+) b+ (a+) a+ (a-) a- (-0) (-0) (-) (-) (-0) (-)(a+) (-0) (-a) - (-)(b+) (- - 0 (-) (-) (-)(a+) (-)(a-) (-a)-0 (-a)+0 (-) (-) (-) (-) (-) (-)(a+) (-) (-a) - (-)(b+) (-- (-) (-) (-)(a+) (-)(a-) (-a)- (-a) + LösungenRepetitionsdossierGrundoperationeninQ.doc A. Räz /..0 Seite

4 Seite / Kürzen von Brüchen Seite Erweitern von Brüchen a) (-) (-) (-) (-)(a-) (-) (-a)+ 9 Bruch erweitert mit neuer Bruch a) b b a b b b a) 0 a kürzen mit (ggt) i) kürzen mit (ggt) j) kürzen mit 9 (ggt) k) kürzen mit (ggt) l) a b a c ef g kürzen mit (ggt) kürzen mit b (gemeinsamer Faktor) kürzen mit fg (gemeinsame Faktoren) kürzen mit (m + n) Gemeinsamer Faktor kürzen mit (ggt) m) (r + s) kürzen mit (r + s) Gemeinsamer Faktor kürzen mit (ggt) n) kürzen mit (ggt) o) kürzen mit (ggt) p) a kürzen mit c. y kürzen mit (e+ Gemeinsame Faktoren (Achtung, nach Kommutativgesetz ist f+e e+ kürzen mit xz (Gemeinsame Faktoren) a) 9 0 i) a) + 0 x - xy x ( - y) a - ay a( - y) x a (-) + (-) (-) 0c-0d 0c 0(c- 0c c-d c (-) + - (-) (-) x + 0 (x + ) x m + (m + ) i) m + (-)+ -(+) (-)+ - j) x + (x + ) x + LösungenRepetitionsdossierGrundoperationeninQ.doc A. Räz /..0 Seite

5 Seiten 9/0 Addition und Subtraktion von Bruchtermen Seite Ordnen und Vergleichen von Brüchen Seite Ordnen und Vergleichen von Brüchen a) 90 < 9 < < < < 0 < 9 < Regel bei gleichen Zählern: Je grösser der Nenner, desto kleiner die Zahl < < < < < < 9 < Regel bei gleichen Nennern: Je kleiner der Zähler, desto kleiner die Zahl a) > > 9 > 9 > > (- 0 )> (- ) Regel bei gleichen Zählern: Je kleiner der Nenner, desto grösser die Zahl > > > (- ) > (- 9 ) > (- ) Regel bei gleichen Nennern: Je grösser der Zähler, desto grösser die Zahl a) (-) (-) (- ) (- 9 ) > (Ergänzen auf (-)!) (- ) (- 9 ) > (-) (-) (Ergänzen auf!) (-) 9 (-) 9 > 9 > (Wieviel über?) (-) (-) > (-) > (Ergänzen auf (-)!) a) a) a) a) i) k) l) m) a ; a - a HN: 0 kgv (,, ) 0 ; (a - ) 0 ; 0 oder a - 0 ; ; HN: kgv (,, ) ; ; 90 > 90 > 90 > 0 90 > > 0 > 9 90 > 0 90 > 0 90 > (- 90 ) > (- 90 ) > > > (- ) > (- 9 ) ; bc HN ; bc x- a, x+ b(x-) HN b, a(x+) a x, HN x x, x f-r x ef ; e+r f-r HN ef ef ef ; f(e+r) ef ; c HN c bc c ; a e-t c b ; e+k (e-t) HN b b b ; b(e+k) b a+ ; b- a+ HN ; b- x - ; x- (x-) HN ; x- a+b+a-b a a HN: b - a a-b + b (-a) + b b - a oder a - b + b a b c + a c - c a +b - c i i + i 0i 0 - i 0 + i (-) 0 p - q - ( p + q ) + a b a b - 0 p - q - p - q 0i - i + i i 0 0 HN: HN: HN: c HN: ( ) HN: 0 (-q) HN: HN: a b ax a x - 9a a x ax-9a a x a(x-) a x (x-) HN: a ax x x (x-y) - y+x (x-y) 0 (x-) + (x-) x - y - x x - y (x-y) (x-y) - (x-) 0+- (x-) (x-) x x-y - y x (x-y) (x-y) - y (x-y) x-y (x-y) n) ( a - b + c ) ( a + b - c ) a -b + c - a - b + c (- + c (-b + HN: (x y) HN: (x ) HN: (x y) HN: LösungenRepetitionsdossierGrundoperationeninQ.doc A. Räz /..0 Seite

6 Seite Gleichungen mit Bruchtermen (ohne Satzaufgen) Seite Gemischte Operationen mit Bruchtermen Seite Multiplikation und Division von Bruchtermen a) x i) j) k) (-) cbd c (-) ( -) bd a (- x (-a x x x l) (c- a a c c-d c x x m) (a+ x x (a+ 0x (a+ x (a (-) (-) p) n) o) : x y w (-z) x w y (-z) wx (-yz) pq 9x x 9q r x pq 9x r x 9q x pr x a) (e+ - (e+ (e+ x - 0x - x - x - - (e+ x - x - x - x 9 - (e+ - (e+ e + f 0x - 0x - x x - x - 9 x x 9 + x - x + x - x ( - 9x) - 9x x - x 0x - x x 0 0 x 0 x - (x 0 + ) x - x 0 - x - x - x - x - 0 x - 0 (x - 0) a) 0x - x HN () 0 x x V x : x L { } x - x HN () x - 9x - x (- ) x L { - } x x HN () 0 x 90 0x + 0x 0 + x 90-0 x 0 : x L { } x+ - x+ HN () x + (x+) V x + 0x V x + 0 0x +0x x x : x L { } LösungenRepetitionsdossierGrundoperationeninQ.doc A. Räz /..0 Seite

7 Seite (Teil ) Gleichungen mit Bruchtermen (Satzaufgen) a) Zustand jetzt: Veränderung Vergleich Vater 9 Jahre Sohn Jahre beide werden x Jahre älter, also Vater 9 + x Jahre Sohn + x Jahre Vater ist dann doppelt so alt wie der Sohn Vater Sohn Gleichung aufstellen 9 + x (+x ) V Gleichung lösen 9 + x + x -x Antwortsatz: Situation: 9 + x - x In Jahren ist der Vater doppelt so alt wie der Sohn. Tiere. Schweine und Hühner. Es hat also: x Schweine mit je Füssen x Füsse x Hühner mit je Beine (-x) Beine Vergleich: 0 Hühnerbeine mehr als der Schweinefüsse. Schweinefüsse + 0 Hühnerbeine Gleichung aufstellen x + 0 ( x) V x x HN () x x + x 0x x 0 :0 X Antwortsatz: Es hat Schweine und Hühner auf dem Hof (da x Anzahl Schwein LösungenRepetitionsdossierGrundoperationeninQ.doc A. Räz /..0 Seite

8 Seite (Teil ) Gleichungen mit Bruchtermen (Satzaufgen) Zustand jetzt: Veränderung: Flughöhe von A: der Flughöhe von B x Flughöhe von B: x beide fliegen 0 Meter höher, also A: x + 0 B: x + 0 Vergleich: Dann fährt A auf einer Flughöhe von A fährt neu auf von B von A (neue Flughöhen verglichen!) Gleichung aufstellen: Gleichung lösen: Antwortsatz: x + 0 (x + 0) V x x HN () x + 0 x x 0 x x : 0 x B hat eine Flughöhe von 0 m, A eine solche von 0 m Bemerkung: (x ist definiert als Höhe von B, A hat eine Höhe von x, also von 0 0) Situation: Veränderung: Lift A in m Höhe Lift B in m Höhe Jeder Lift steigt um x Meter, also Lift A: + x Lift B: + x Vergleich: Lift A hat eine neue Höhe von der Höhe von Lift B (neue Höhen verglichen) Lift A ist auf von Lift B Gleichung aufstellen + x ( + x) V Antwortsatz: + x + x + x + x -x HN () + x - x : X Beide Lifte müssen um Meter steigen. (x ist die Veränderung der Höhe!) LösungenRepetitionsdossierGrundoperationeninQ.doc A. Räz /..0 Seite