Beweistechniken. Beweistechniken. Vorsemesterkurs Informatik Theoretischer Teil Wintersemester 2013/ Oktober Vorsemesterkurs WS 2013/1

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1 Beweistechniken Beweistechniken Vorsemesterkurs Informatik Theoretischer Teil Wintersemester 2013/14 7. Oktober 2013

2 Beweistechniken > Motivation Wozu Beweise in der Informatik?... um Aussagen wie 1 Das Programm erfüllt die gewünschte Aufgabe. 2 Das Programm führt zu keiner Endlosschleife. 3 Zur Lösung dieser Art von Problemen gibt es kein Patentrezept. auf ihren Wahrheitsgehalt zu prüfen, wenn unsere Intuition versagt.

3 Beweistechniken > Motivation Drei neue Beweistechniken Wir kennen bereits Beweise durch Induktion. Im Folgenden lernen wir die drei Herangehensweisen 1 direkter Beweis 2 Beweis durch Kontraposition 3 Beweis durch Widerspruch kennen.

4 Beweistechniken > Direkter Beweis Übersicht direkter Beweis Beweis durch Kontraposition Beweis durch Widerspruch

5 Beweistechniken > Direkter Beweis Direkter Beweis Behauptungen wie Wenn eine Zahl durch 10 teilbar ist, dann auch durch 5. Jede Primzahl außer der 2 ist ungerade. Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist.... lassen sich durch die Methode des direkten Beweises zeigen.

6 Beweistechniken > Direkter Beweis Vorgehensweise beim direkten Beweis Unter Benutzung von Definitionen, bereits bekannten Ergebnissen und ggf. weiteren Voraussetzungen, die wir annehmen können, leiten wir sukzessive in logisch nachvollziehbaren Schritten die Behauptung her. Beispiel Jede Primzahl außer der 2 ist ungerade. Was ist wesentlich, um diese Behauptung zu beweisen?

7 Beweistechniken > Direkter Beweis Beispiel für einen direkten Beweis I Beispiel Wenn eine Zahl durch 10 teilbar ist, dann auch durch 5. Wir benötigen noch die Teilbarkeitsdefinition: Definition (Teilbarkeit) Eine Zahl a ist durch b 0 teilbar, wenn es eine ganze Zahl k gibt mit a = b k Erster Schritt im Beweis: Angenommen, wir haben eine durch 10 teilbare Zahl x. Dann hat x die Form 10k für eine ganze Zahl k.

8 Beweistechniken > Direkter Beweis Beispiel für einen direkten Beweis II Angenommen, wir haben eine durch 10 teilbare Zahl x. = x = 10k für eine ganze Zahl k = x = 2 5 k für eine ganze Zahl k = x = 5 2 k für eine ganze Zahl k = x = 5 k, wobei k = 2k für eine ganze Zahl k = x ist durch 5 teilbar, da 2k eine ganze Zahl ist, wenn k eine ganze Zahl ist.

9 Beweistechniken > Direkter Beweis Noch ein Beispiel für einen direkten Beweis I Satz Seien X und Y Mengen. Dann gilt: X = Y X Y und Y X. Was benötigen wir für den Beweis? Beweis: Zu zeigen: Wenn X = Y, dann auch X Y und Y X. Angenommen, es gilt X = Y. Dann enthalten X und Y dieselben Elemente. D.h. jedes Element von X ist auch Element von Y, also X Y. Entsprechend ergibt sich Y X.

10 Beweistechniken > Direkter Beweis Noch ein Beispiel für einen direkten Beweis III Satz Seien X und Y Mengen. Dann gilt: X = Y X Y und Y X. Zu zeigen: Wenn X Y und Y X, dann auch X = Y. Angenommen, es gelten X Y und Y X. Dann ist jedes Element von X auch ein Element von Y und jedes Element von Y ist auch ein Element von X. Also enthalten X und Y dieselben Elemente, und somit X = Y.

11 Beweistechniken > Beweis durch Kontraposition Übersicht direkter Beweis Beweis durch Kontraposition Beweis durch Widerspruch

12 Beweistechniken > Beweis durch Kontraposition Beweis durch Kontraposition Beispiel Wenn a 2 ungerade ist, dann ist a ungerade. Problem: Es bietet sich kein direkter Beweis an. Lösung: Beweis durch Kontraposition

13 Beweistechniken > Beweis durch Kontraposition Zurück zur Wahrheitstafel... p q p q p q q p Fazit p q q p Beispiel Wenn es regnet, ist die Straße nass. Wenn die Straße nicht nass ist, regnet es auch nicht.

14 Beweistechniken > Beweis durch Kontraposition Beispiel für einen Beweis durch Kontraposition I Beispiel Wenn a 2 ungerade ist, dann ist a ungerade. Aussage Negation a 2 ist eine ungerade Zahl. a 2 ist eine gerade Zahl. a ist eine ungerade Zahl. a ist eine gerade Zahl. Wir zeigen also: Satz Wenn a gerade ist, ist auch a 2 gerade.

15 Beweistechniken > Beweis durch Kontraposition Beispiel für einen Beweis durch Kontraposition II Satz Wenn a gerade ist, ist auch a 2 gerade. Beweis: Sei a eine beliebige gerade Zahl. = a = 2k für eine ganze Zahl k = a 2 = 2 2 k 2 für eine ganze Zahl k = a 2 = 2 2 k 2 für eine ganze Zahl k = a 2 = 2 k mit k = 2 k 2 für eine ganze Zahl k = a 2 = 2 k für eine ganze Zahl k = a 2 ist durch 2 teilbar, d.h. a 2 ist gerade.

16 Beweistechniken > Beweis durch Widerspruch Übersicht direkter Beweis Beweis durch Kontraposition Beweis durch Widerspruch

17 Beweistechniken > Beweis durch Widerspruch Beispiel für einen Beweis durch Widerspruch I Beispiel 3 ist irrational. Problem: Weder ein direkter noch ein Beweis durch Kontraposition bieten sich an. Lösung: Angenommen, 3 ist rational. Wir wollen zeigen, dass das zu einem Widerspruch führt.

18 Beweistechniken > Beweis durch Widerspruch Beispiel für einen Beweis durch Widerspruch II Beispiel 3 ist irrational. Angenommen, 3 ist rational. = 3 = p q, wobei p und q teilerfremd sind, d.h. ggt(p, q) = 1 = 3q 2 = p 2 = Widerspruch, da in der Primfaktorzerlegung links die 3 ungerade oft auftritt, rechts aber gerade oft = 3 ist irrational

19 Beweistechniken > Schluss Worauf man beim Beweisen achten sollte Angabe der Beweistechnik am Anfang hilft dem Leser die Idee zu verstehen. keine Gedankensprünge im Beweis, nur leicht nachvollziehbare Schlussfolgerungen Kennzeichnung am Ende eines Beweises (z.b. durch ) Bei längeren Beweisen ist zum Schluss ein kurzer Satz, was gezeigt wurde, hilfreich.

20 Beweistechniken > Schluss Noch Fragen? Quelle Bild:

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

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