Inhalt s Verzeichnis. Einleitung 1
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- Josef Gärtner
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1 Inhalt s Verzeichnis Einleitung 1 I Vier motivierende Probleme - ein Schnupperkurs 5 1 Sicherheit in der Apotheke 5 2 Verblüffende Summendarstellungen 9 3 Ein ungelöstes Problem 13 4 Primzahlen - eine überraschende Entdeckung 15 5 Einige weitere Problemstellungen 17 II Teilbarkeitsrelation 21 1 Definition 21 2 Eigenschaften 24 3 Teilermengen 27 4 Die Teilbarkeitsrelation als Ordnungsrelation/Hassediagramme Übungsaufgaben 31 III Primzahlen 33 1 Primzahlen - unterschiedliche Gesichter 33 2 Primzahlen - Anzahl 35 3 Jagd nach Primzahlrekorden 39 4 Sieb des Eratosthenes 41 5 Primzahlzwillinge und Primzahlliicken 46 6 Primzahlsatz 50 7 Primzahlformeln 50 8 Einige offene Primzahlprobleme 53 9 Übungsaufgaben 54 IV Primzahlen Bausteine der natürlichen Zahlen 59 1 Problematisierung 59 2 Existenz 61 3 Eindeutigkeit/Hauptsatz 63 4 Folgerungen Teilermengen Typisierung von Hassediagrammen Primzahlkriterium/Lemma von Euklid 70 5 Übungsaufgaben 71 Bibliografische Informationen digitalisiert durch
2 VI Inhaltsverzeichnis V ggt und kgv 75 1 ggt und Teilermengen 76 2 ggt und Primfaktorzerlegung 79 3 ggt und Euklidischer Algorithmus Division mit Rest Euklidischer Algorithmus 83 4 Vielfachenmenge des ggt (a,b) und Linearkombinationen 87 5 Lineare diophantische Gleichungen 90 6 kgv und Vielfachenmengen 92 7 kgv und Primfaktorzerlegung.'" Zusammenhang zwischen ggt (a,b) und kgv (a,b) 98 9 Hassediagramme und ggt- bzw. kgv-bestimmung Übungsaufgaben 103 VI Kongruenzen/Restklassen Kongruenzrelation - verschiedene Einführungswege Eigenschaften Rechnen mit Kongruenzen Aquivalenzrelation Restklassen Restklassenmengen R m Rechnen mit Restklassen Algebraische Strukturen der Restklassenmengen R m Sätze von Euler und Fermat Chinesischer Restsatz Die Fermat'sehe Vermutung - eine abenteuerliche Geschichte Übungsaufgaben 137 VII Stellenwertsysteme/Schriftliche Rechenverfahren Bündelung und Stellenwert Ein kurzer Blick in die Geschichte Die römische Zahlschrift Das dezimale Stellenwertsystem Nichtdezimale Stellenwertsysteme Zählen und Größenvergleich Übersetzungen Schriftliche Rechenverfahren Addition Subtraktion 152
3 Inhaltsverzeichnis VII 4.3 Multiplikation Division Übungsaufgaben 156 VIII Teilbarkeitsregeln/Rechenproben Grundlagen Endstellenregeln Endstellenregeln erster Ordnung Dezimales Stellenwertsystem Nichtdezimale Stellenwertsysteme Endstellenregeln zweiter Ordnung Dezimales Stellenwertsystem Nichtdezimale Stellenwertsysteme Mögliche Vereinfachung von Teilbarkeitsregeln Endstellenregeln dritter Ordnung Dezimales Stellenwertsystem Nichtdezimale Stellenwertsysteme Quersummenregem Dezimales Stellenwertsystem Nichtdezimale Stellenwertsysteme Alternierende Quersummenregeln Dezimales Stellenwertsytem Nichtdezimale Stellenwertsysteme Teilbarkeitsregeln in Stellenwertsystemen - Zusammenfassung und Konsequenzen Vorteile unseres Zugangsweges zu Teilbarkeitsregeln Teilbarkeitsregeln für beliebige Primzahlen Teilbarkeitsregel für Teilbarkeitsregel für Verallgemeinerung Rechenproben Übungsaufgaben 186 IX Dezimalbrüche/Systembrüche/ Kettenbrüche Umformung gemeiner Brüche in Dezimalbrüche Endliche Dezimalbrüche Reinperiodische Dezimalbrüche/Periodenlänge Gemischtperiodische Dezimalbrüche Verallgemeinerungen 209
4 VIII Inhaltsverzeichnis 6 Kettenbrüche Übungsaufgaben 219 X Vollkommene Zahlen/Fibonacci-Zahlen Vollkommene Zahlen Fibonacci-Zahlen Übungsaufgaben 234 XI Rationalisierung und Sicherheit im Handel Europäische Artikelnummer EAN Aufbau und Zielsetzung EAN-Prüfziffer Sicherheit des EAN-Prüfziffernsystems Eingabe einer falschen Ziffer Eingabe zweier falscher Ziffern Vertausclmng zweier Nachbarziffern (Drehfehler) Drehfehler nicht benachbarter Ziffern Vertauschung zweier unmittelbar benachbarter Zweierblöcke Strichcode der EAN Zusammenfassung Internationale Standardbuchnummer ISBN Aufbau und Zielsetzung ISBN-Prüfziffer Sicherheit des ISBN-Prüfziffernverfahrens Eingabe einer falschen Ziffer Eingabe zweier falscher Ziffern Vertauschung zweier Ziffern (Drehfehler) Vertauschung zweier unmittelbar benachbarter Zweierblöcke Zusammenfassung ISBN Pharmazentralnummer PZN bei Arzneimitteln Übungsaufgaben 255 XII Kryptographie Vorbemerkungen Cäsars Codierung/Monoalphabetische Substitution Polyalphabetische Substitution RSA-Versclilüsselungssystem 264
5 Inhaltsverzeichnis IX 4.1 RSA-Algorithmus Authentizität Sicherheit Realitätsnahes Beispiel Ausblick Übungsaufgaben 277 Lösungshinweise zu den Aufgaben 279 Literaturverzeichnis 293 Symbolverzeichnis 299 Index 301
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