Kapitel 11 Beweisführung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254

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1 Kapitel 11 Beweisführung Kapitel 11 Beweisführung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254

2 Kapitel 11 Beweisführung Grundsätzlich: ein mathematischer Satz ist eine Aussage der Form wenn... gilt, dann gilt..., d.h. aus gewissen Aussagen - den sog. Voraussetzungen - wird eine andere Aussage - die sog. Behauptung - logisch deduziert. Bezeichnung dieses Vorganges: Beweis. Kurzschreibweise: A =) B, A: Voraussetzung, B: Behauptung, Bezeichnung: Implikation Aufgabe des Beweises: Nachweis der Gültigkeit einer Implikation mit Mitteln der Logik (und nur diesen) A =) B und B =) A: A () B Äquivalenz von Aussagen. 2 Aussagen: Hin- und Rückrichtung. Zum Nachweis einer Implikation gibt es verschiedene Mechanismen, wir nennen sie Beweisprinzipien, auchbeweismethoden. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 126 / 254

3 Kapitel 11 Beweisführung Direkter Beweis: Bei dieser Beweisform versuchen wir, aus einer Voraussetzung A durch eine Kette von Implikationen eine Behauptung B nachzuweisen: A =) A 1, A 1 =) A 2,..., A n 1 =) A n, A n =) B. Kurz schreiben wir dafür: A =) A 1 =)...=) A n =) B. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 127 / 254

4 Kapitel 11 Beweisführung Beispiel: Teilbarkeitsregel für n =3: A: 3istTeilerderQuersummeq einer Zahl n 2 =) B: 3 ist Teiler von n. Die Zahl n bestehe aus den m +1Zi ern a m a m 1...a 1 a 0.Dannist n = a a a m a m = (a 0 + a 1 + a a m ) +9 a {z } a (10 m {z 1) a } m, =q {z m Neunen } =s also ist n Summe aus der eigenen Quersumme q und einer durch 3 teilbaren Restsumme s. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 128 / 254

5 Kapitel 11 Beweisführung A: 3istTeilerderQuersummeq einer Zahl n = q + s 2 + A 1 : n ist Summe zweier durch 3 teilbarer Zahlen + B: 3 ist Teiler von n. Es ist nicht ungewöhnlich, dass man viel Arbeit in die Umformulierung der Ausgangsaussage(n) A steckt. Die Beweiskette als solche kann dann (wie hier) recht kurz sein. Aufgabe: Welche Modifikationen sind notwendig, um die Teilbarkeitsregel für die Zahl 9 zu beweisen? Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 129 / 254

6 Kapitel 11 Beweisführung Beweis durch Kontraposition Man nutzt zum Beweis der Implikation A =) B eine äquivalente Formulierung aus: Ist die Aussage B nicht richtig, dann kann A auch nicht richtig sein. Kurz schreiben wir: B =) A. heißtdabeinegation. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 130 / 254

7 Kapitel 11 Beweisführung Wir behaupten, dass für eine Zahl p 2 gilt: A : p 2 ist eine gerade Zahl =) B : p ist eine gerade Zahl. Beweis: Wir zeigen B =) A: B : p ist eine ungerade Zahl =) A 1 : Es ex. eine Zahl n 2 so, dass gilt: p =2n 1 =) A 2 : p 2 =4n 2 4n +1=2m +1, m =2n 2 2n 2 =) A : p 2 ist eine ungerade Zahl Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 131 / 254

8 Kapitel 11 Beweisführung Wir behaupten, dass für beliebige Zahlen x, y 2 gilt: A : x 2 + y 2 =0() B : x =0^ y =0. (=: O enbaristfür x = y =0auch x 2 + y 2 =0. =): StattA =) B zeigen wir: B =) A. Dann gilt: B : x 6= 0_ y 6= 0.Istx 6= 0,dannistx 2 > 0. Isty 6= 0,dannisty 2 > 0. In beiden Fällen ist x 2 + y 2 > 0, alsox 2 + y 2 6=0, was gerade Aussage A entspricht. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 132 / 254

9 Kapitel 11 Beweisführung Widerspruchsbeweis, indirekter Beweis Prinzip eines Widerspruchsbeweises zum Nachweis von A =) B: Annahme: Aussage A gilt, aber die Aussage B nicht. Daraus folgert man so lange weitere Aussagen, bis man auf eine Aussage stößt, von der man definitiv weiß, dass sie falsch ist (0 > 1, 1=0etc.) Da die Voraussetzung A richtig war, kann somit die zweite Voraussetzung B nicht richtig gewesen sein, also gilt sowohl A als auch B. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 133 / 254

10 Kapitel 11 Beweisführung Wir behaupten: B: p 2 ist nicht rational, d.h. es existieren keine teilerfremden Zahlen p, q 2 mit p 2=p/q, d.h. A : p, q sind beliebige teilerfremde Zahlen aus =) B : p q 6= p 2 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 134 / 254

11 Kapitel 11 Beweisführung Wir nehmen an, es gelten A und B, also: A ^ B : p 2=p/q mit teilerfremden Zahlen p, q 2 =) A 1 : p 2 =2q 2 =) A 2 : p 2 ist eine gerade Zahl =) A 3 : p ist eine gerade Zahl, p =2 m, m 2 =) A 4 : p 2 =4 m 2 =) A 5 : p 2 =4 k =2 q 2, q 2 =2 k =) A 6 : q 2 ist eine gerade Zahl =) A 7 : q ist eine gerade Zahl, q =2 m, m 2 =) A 8 : p und q sind durch 2 teilbar, also nicht teilerfremd! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 135 / 254

12 Kapitel 12 Vollständige Induktion Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 136 / 254

13 Wir betrachten Aussagen A(n), d.h. Aussagen, die von einer Zahl n 2 N abhängen, wie etwa: 1 n 3 n ist für alle n 2 N durch 3 teilbar. P 2 n k=1 k = n (n+1) 2,n2 N. 3 (1 + x) n (1 + x) n, R 3 x 1, n2 N 0. Für jedes zugelassene n liefert A(n) stets eine andere Aussage. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 137 / 254

14 Überlegung Nehmen wir an, A(n) erweise sich als richtig für irgendein (erstes) n 0 2 N 0. Kann man dann allgemein mit einer unserer bekannten Beweismethoden zeigen, dass die Aussage A(n) stets die Aussage A(n + 1) impliziert, so hätten wir insgesamt folgende Implikationskette: A(n 0 )=) A(n 0 + 1) =) A(n 0 + 2) =)... Also gilt die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n 0,n 0 +1,n 0 +2,... Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 138 / 254

15 Beweisprinzip Prinzip der vollständigen Induktion 1 Induktionsanfang, Induktionsverankerung: Es gibt ein n 0 2 N 0 so, dass A(n 0 ) wahr ist 2 Induktionsvoraussetzung: Annahme: A(n) ist wahr (n n 0 ) 3 Induktionsschluss: Zeige: A(n) =) A(n + 1) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 139 / 254

16 Warum ist ein solches formales Beweisverfahren überhaupt wichtig? (1) Betrachten wir den Ausdruck n 2 + n + 41 (n 2 N 0 ) und notieren die Ergebnisse für n =0,...,35: n n 2 + n Das Ergebnis ist stets eine Primzahl. Wir vermuten, dass der Ausdruck für alle n 2 N 0 eine Primzahl ergibt und formulieren die Aussage: Für n 2 N 0 liefert der Ausdruck n 2 + n + 41 stets eine Primzahl! Aber: Die Aussage ist falsch. Tatsächlich liefert n 2 + n + 41 nur für n =0,...,39 eine Primzahl. Für n = 40 ist = 41 2, also keine Primzahl. Für n = 41 ist die Teilbarkeit durch 41 ohnehin klar! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 140 / 254

17 (2) Die Behauptung, dass der Ausdruck 2 p 1 1 für Primzahlen p nicht durch p 2 teilbar ist, bestätigte sich tatsächlich schnell für p<1000. Erst für p = 1093 erweist sie sich als falsch! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 141 / 254

18 Wir behaupten, es gilt für alle n 2 N: nx k = k=1 n(n + 1). 2 Induktionsanfang: O enbar ist A(1) wahr: P 1 k=1 k =1! = Wir setzen nun A(n) als wahr voraus (Induktionsvoraussetzung). Dann ist zu zeigen (Induktionsschluss): A(n + 1) ist wahr, d.h. n+1 X k = k=1 (n + 1)(n + 2). 2 Dies beweisen wir nun unter Verwendung von A(n): n+1 X k = n +1+ k=1 nx k=1 k A(n) n(n + 1) = n n (n + 1) 2 +1 = = (n + 1)(n + 2). 2 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 142 / 254

19 Bemerkung (1) Technisch betrachtet liegt die Kunst des Beweisverfahrens darin, die zu beweisende Aussage A(n + 1) so umzuformulieren, dass die Voraussetzung A(n) angewendet werden kann. Einfach fällt dies im Falle von Aussagen über Summen, da in P n+1 k=1 ( ) stets die Summe P n k=1 ( ) enthalten ist, auf die dann die Voraussetzung angewendet wird. Im allgemeinen Fall muss man in die Umformulierung von A(n + 1) u. U. viel Arbeit hineinstecken, damit A(n) angewendet werden kann. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 143 / 254

20 Bemerkung (2) Beim Induktionsanfang handelt es sich häufig um eine Trivialität, und die eigentliche Rechen- und gedankliche, kreative Leistung steckt im Induktionsschluss. Der Induktionsanfang ist dennoch sehr wichtig und darf nicht vergessen werden, sonst ist es möglich, falsche Aussagen zu beweisen. Beispiel A(n): Jedenatürliche Zahl ist gleich ihrem Nachfolger, d.h. n = n +1 (Beh.) Induktionsschluss: A(n): n = n +1=) A(n + 1): n +1! = n +2. Aus n = n +1erhält man durch Addition von 1 auf jeder Seite A(n + 1) : n +1=n +2. Aber: A(1), d.h. die Aussage 1=1+1,ist(zumGlück) nicht nachweisbar! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 144 / 254

21 Beispiel Die (häufig benutzte) Bernoullische Ungleichung lautet: (1 + x) n 1+n x, x 1, n2 N 0. I-Anfang: Für n =0ist (1 + x) 0 =1 1+0 x. I-Schluss: z.z.: A(n) =) A(n + 1) : (1 + x) n+1 1+(n + 1) x. (1 + x) n+1 = (1+x) n (1 + x) x 1 (1 + n x)(1+x) = 1+(n + 1) x + n x 2 {z } 0 1+(n + 1) x. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 145 / 254

22 Behauptung: Für n 2 N ist der Ausdruck n 3 n stets durch 3 teilbar. (Bem.: Es ist auch n 5 n durch 5 und n 7 n durch 7 teilbar. Aber die Vermutung, für ungerades k ist n k n stets durch k teilbar, ist falsch, denn = 510 ist nicht durch 9 teilbar. Leibniz, 17. Jh.) I-Anfang: Für n =1ist 1 3 1=0und somit (ohne Rest) durch 3 teilbar. I-Schluss: z.z.: A(n) =) A(n + 1) : (n + 1) 3 (n + 1) ist durch 3 teilbar. (n + 1) 3 (n + 1) = n 3 +3n 2 +3n +1 n 1=(n 3 n)+3n 2 +3n. Also ist gemäß Induktionsvoraussetzung (n + 1) 3 (n + 1) Summe von drei durch 3 teilbaren Ausdrücken, also durch 3 teilbar. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 146 / 254

23 Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n 2,d.h. nx (2i 1) = n 2. i=1 I-Anfang: Es gilt für n =1: P 1 i=1 (2i 1) = 1 = 12. P I-Schluss: z.z.: A(n) =) A(n + 1) : n+1 i=1 (2i 1) = (n + 1)2 n+1 X (2i 1) = i=1 nx (2i 1) + 2(n + 1) 1=n 2 +2n +1=(n + 1) 2. i=1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 147 / 254

24 Die folgenden Aussagen sind typisch für einen Induktionsbeweis. Beispiele 12.2 (Summen, Gleichungen) 1. Für alle n 2 0 gilt 2. Für alle n 2 0 gilt 3. Für alle n 2 0 gilt 4. Für alle n 2 0 gilt 5. Es gilt (x + y) n = nx k = k=0 nx k=0 n(n + 1) 2 q k = qn+1 1 q 1. nx k 2 = k=0 k=0. n(n + 1)(2n + 1). 6 nx k 3 = n2 (n + 1) 2. 4 k=0 nx n x k y n k für alle n 2 0. k Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 148 / 254

25 Beispiele 12.3 (Ungleichungen) 6. Es sei x> 1 eine feste reelle Zahl. Dann gilt: Für alle n 2 ist (1 + x) n 1+nx 7. Ist x 6= 0so gilt 6. mit > für alle n Es sei p 2. Dann gilt: Für alle n 2 ist p n n. 9. Es sei p 3. Dann gilt: Für alle n 2 ist p n n Für alle n 2 5 gilt 2 n >n Für alle n 2 ist n 1 2n apple 1 p 3n+1. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 149 / 254

26 Beispiele 12.4 (Teilbarkeit) teilt 13 n +2für alle n teilt 2 2n+1 +1für alle n teilt n 3 n für alle n 2 0. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 150 / 254

27 Beispiele 12.5 (Ableitungen) 15. Es ist f(x) = x 1 x.dannistf (n) (x) = n! (1 x) n+1 für alle n Für alle n 2 0 gilt: Ist f(x) =x n,dannistf 0 (x) =nx n Es sei f(x) =e x2. Dann gilt: Für alle n 2 0 gibt es ein Polynom p n vom Grad n, sodassf (n) (x) =p n (x)e x Es sei f(x) := 1 ax + b.dannistf(n) (x) = ( 1)n n!a n für alle (ax + b) n+1 n Es sei f(x) =sin(ax) + cos(bx). Dannistfür alle n 2 0 f (n) (x) =a n sin ax + n 2 + b n cos bx + n 2 Z. 20. Es sei f n (x) =x n.dannist f n (x) dx = x n +1 f n(x)+c für alle n 2 0. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 151 / 254

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