SBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c.

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1 SBP Mthe Grundkurs 2 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert nur wenn die Inhlte bereits einml verstnden worden sind. Ich wrne dvor diese Lernkrten nur stur uswendig zu lernen. SBP Mthe Grundkurs 2 Diese und ndere Lernkrten können von heruntergelden werden. Viel Erfolg bei der SBP Mthe Grundkurs 2 Prüfung! Clifford Wolf <clifford@clifford.t> Diese Lernkrten stehen unter der CC BY-NC-SA Lizenz. SBP Mthe Grundkurs 2 # 1 by Clifford Wolf # 1 Antwort Der Differentilquotient ist die Änderungsrte von f(x) n einem Punkt. Differentilquotient f (x) = lim z x f(z) f(x) z x f(x + x) f(x) = lim x 0 x Ds heisst f (x) ist die Steigung der Tngente des Funktionsgrphen von f n der Stelle x. Bestimmen der Ableitung: Einsetzen in die obige Definition und umformen, so dss beim Gleichsetzen von z = x (bzw. x = 0) nicht mehr durch 0 dividiert wird. SBP Mthe Grundkurs 2 # 2 by Clifford Wolf # 2 Antwort f f(z) f(x) f(x+ x) f(x) (x) = lim z x z x = lim x 0 x Nmen und Schreibweisen für Differentilquotienten f = Ableitung von f = Differentilquotient f = 2. Ableitung von f Leibniz sche Schreibweise: f (x) = df dx = df(x) dx = d dx f(x) f = f = df(x) dx, f = f = d2 f(x) dx 2 SBP Mthe Grundkurs 2 # 3 by Clifford Wolf # 3 Antwort Ableitung von f(x) = c f(x) = c (konstnte Funktion) = f (x) = 0

2 SBP Mthe Grundkurs 2 # 4 by Clifford Wolf # 4 Antwort Ableitung von f(x) = kx + d f(x) = kx + d = f (x) = k SBP Mthe Grundkurs 2 # 5 by Clifford Wolf # 5 Antwort Ableitung von f(x) = x n f(x) = x n = f (x) = n x n 1 SBP Mthe Grundkurs 2 # 6 by Clifford Wolf # 6 Antwort Ableitung von Funktionen mit konstnten Fktoren f(x) = c g(x) = f (x) = c g (x) SBP Mthe Grundkurs 2 # 7 by Clifford Wolf # 7 Antwort Ableitung von f(x) = g(x) + h(x) f(x) = g(x) + h(x) = f (x) = g (x) + h (x) Kurze Schreibweise: (g + h) = g + h

3 SBP Mthe Grundkurs 2 # 8 by Clifford Wolf # 8 Antwort f : A R, f die Ableitung von f, I A ein Intervll: Stz von der Intervllmonotonie f (x) > 0 fuer lle inneren Stellen x von I = f ist streng monoton wchsend in I f (x) < 0 fuer lle inneren Stellen x von I = f ist streng monoton bnehmend in I SBP Mthe Grundkurs 2 # 9 by Clifford Wolf # 9 Antwort f : A R, f die Ableitung von f, I A ein Intervll: Stz vom Ableitungsvorzeichen Besitzt f keine Nullstelle in I, so ist entweder f (x) > 0 für lle x I oder f (x) < 0 für lle x I Ds heisst zwischen 2 Nullstellen von f bleibt ds Vorzeichen von f und dmit ds Monotonieverhlten von f unverändert. Vorussetzung: f (x) ist in gnz I definiert und stetig. SBP Mthe Grundkurs 2 # 10 by Clifford Wolf # 10 Antwort f : A R, M A: Definition: Mximumund Minimumstelle p M = Mximumstelle von f in M wenn x M: f(x) f(p) p M = Minimumstelle von f in M wenn x M: f(x) f(p) SBP Mthe Grundkurs 2 # 11 by Clifford Wolf # 11 Antwort R, ɛ R + : Definition: Umgebung ] ɛ; + ɛ[ = Umgebung von (mit dem Rdius ɛ)

4 SBP Mthe Grundkurs 2 # 12 by Clifford Wolf # 12 Antwort f : A R, p A: Definition: Lokle Mximumund Minimumstelle p = lokle Mximumstelle von f wenn es ein ɛ R + gibt, so dss x ]p ɛ; p + ɛ[: f(x) f(p) p = lokle Minimumstelle von f wenn es ein ɛ R + gibt, so dss x ]p ɛ; p + ɛ[: f(x) f(p) SBP Mthe Grundkurs 2 # 13 by Clifford Wolf # 13 Antwort Definition: Extremstelle Extremstelle = Mximumstelle oder Minimumstelle SBP Mthe Grundkurs 2 # 14 by Clifford Wolf # 14 Antwort Sei f eine Polynomfunktion: Potentielle lokle Extremstellen von Polynomfunktionen p eine lokle Extremstelle von f f (p) = 0 (Jede Extremstelle von f ist eine Nullstelle von f ) Aber: Nicht jede Nullstelle von f ist uch eine Extremstelle von f. SBP Mthe Grundkurs 2 # 15 by Clifford Wolf # 15 Antwort f : A R, I A ein Intervll: Definition: links- und rechtsgekrümmt f ist linksgekrümmt in I wenn: f in I streng monoton wchsend ist d.h. wenn f (x) > 0 für lle inneren Stellen x von I f ist rechtsgekrümmt in I wenn: f in I streng monoton bnehmend ist d.h. wenn f (x) < 0 für lle inneren Stellen x von I

5 SBP Mthe Grundkurs 2 # 16 by Clifford Wolf # 16 Antwort Definition: Wendestelle (Wendepunkt) Eine Stelle, n der sich ds Krümmungsverhlten einer Funktion ändert, nennt mn Wendestelle oder Wendepunkt. SBP Mthe Grundkurs 2 # 17 by Clifford Wolf # 17 Antwort Sei f eine Polynomfunktion: Lokle Mximum- und Minimumstellen von Polynomfunktionen x ist eine lokle Mximumstelle von f wenn: f (x) = 0 f (x) < 0 x ist eine lokle Minimumstelle von f wenn: f (x) = 0 f (x) > 0 Aber: Nicht lle Extremstellen hben ein f 0. Beispiel: x 4 bei x = 0: erst die 4. Ableitung ist 0! SBP Mthe Grundkurs 2 # 18 by Clifford Wolf # 18 Antwort Zum finden ller loklen Mximum- und Minimumstellen der Polynomfunktion f ist wie folgt vorzugehen: Alle Nullstellen von f finden. Alle loklen Mximum- und Minimumstellen von Polynomfunktionen Die Werte von f n llen Nullstellen von f ermitteln. Zwei beliebige Werte von f links und rechts von llen Nullstellen von f ermitteln. Aus den ermittelten f-werten ds Monotonieverhlten von f zwischen den Nullstellen von f blesen. Jede Nullstelle von f ist ein Extremwert, wenn sich ds Monotonieverhlten von f n der Stelle ändert. SBP Mthe Grundkurs 2 # 19 by Clifford Wolf # 19 Antwort Ableitung von f(x) = u(x) v(x) f(x) = u(x) v(x) = f (x) = v(x)u (x) u(x)v (x) (v(x)) 2 Kurze Schreibweise: ( ) u v = vu uv v 2

6 SBP Mthe Grundkurs 2 # 20 by Clifford Wolf # 20 Antwort Ableitung von f(x) = u(x) v(x) f(x) = u(x) v(x) = f (x) = v(x)u (x) + u(x)v (x) Kurze Schreibweise: (u v) = vu + uv SBP Mthe Grundkurs 2 # 21 by Clifford Wolf # 21 Antwort Ableitung von f(x) = n x f(x) = n x = x 1 n = f (x) = 1 n x 1 n 1 1 = n n x n 1 SBP Mthe Grundkurs 2 # 22 by Clifford Wolf # 22 Antwort Ableitung von f(x) = h(g(x)) (Kettenregel) f(x) = h(g(x)) = f (x) = h (g(x)) g (x) Kurze Schreibweise: (h g) = (h g) g SBP Mthe Grundkurs 2 # 23 by Clifford Wolf # 23 Antwort Ableitung der Exponentilfunktion f(x) = e x f(x) = e x = f (x) = e x Für die Exponentilfunktion f(x) = e x gilt lso f = f.

7 SBP Mthe Grundkurs 2 # 24 by Clifford Wolf # 24 Antwort g(x) = λx, h(y) = e y Ableitung von f(x) = e λx = f(x) = e λx = h(g(x)) = f (x) = h (g(x)) g (x) = e λx λ SBP Mthe Grundkurs 2 # 25 by Clifford Wolf # 25 Antwort Ableitung von f(x) = x f(x) = x = e ln() x = f (x) = e ln() x ln() = x ln() SBP Mthe Grundkurs 2 # 26 by Clifford Wolf # 26 Antwort Ableitung von f(x) = ln(x) f(x) = ln(x) = f (x) = 1 x SBP Mthe Grundkurs 2 # 27 by Clifford Wolf # 27 Antwort Ableitung von f(x) = log (x) f(x) = log (x) = f (x) = 1 x ln()

8 SBP Mthe Grundkurs 2 # 28 by Clifford Wolf # 28 Antwort sin x = cos x Ableitung von Sinus, Cosinus und Tngens ( π ) cos x = sin 2 x cos x = sin x tn x = sin x cos x tn x = 1 cos 2 x = 1 + tn2 x SBP Mthe Grundkurs 2 # 29 by Clifford Wolf # 29 Antwort f(g(x)) = x, g ist beknnt, f ist gesucht: Ableitung von Umkehrfunktionen f(g(x)) = x = f (x) = 1 g (f(x)) SBP Mthe Grundkurs 2 # 30 by Clifford Wolf # 30 Antwort Ist f eine reelle Funktion, dnn heisst eine reelle Funktion F eine Stmmfunktion von f, wenn F = f gilt. Definition: Stmmfunktion Ist F eine Stmmfunktion von f, so ist uch F +c eine Stmmfunktion von f. Schreibweise ls unbestimmtes Integrl: f = F bzw. f(x) dx = F (x) SBP Mthe Grundkurs 2 # 31 by Clifford Wolf # 31 Antwort Stmmfunktion von f : x k k dx = kx

9 SBP Mthe Grundkurs 2 # 32 by Clifford Wolf # 32 Antwort Stmmfunktion von f : x k g(x) k g(x) dx = k g(x) dx SBP Mthe Grundkurs 2 # 33 by Clifford Wolf # 33 Antwort Stmmfunktion von f : x g(x) + h(x) g(x) + h(x) dx = g(x) dx + h(x) dx SBP Mthe Grundkurs 2 # 34 by Clifford Wolf # 34 Antwort Stmmfunktion von f : x x n x n dx = Spezilfll n = -1: 1 n + 1 xn+1 = xn+1 n + 1 x -1 dx = 1 dx x = ln x SBP Mthe Grundkurs 2 # 35 by Clifford Wolf # 35 Antwort Ds (bestimmte) Integrl von f in den Grenzen und b: b f(x) dx = lim n i=1 n f(x i ) x Definition: (bestimmtes) Integrl Die Funktion wird in n jeweils x breite Intervlle unterteilt. x i bezeichnet dbei eine Stelle im i-ten Intervll. Bei lim n entspricht diese Summe von unendlich vielen jeweils unendlich schmlen Streifen dem Integrl. Bei durchgehend positiven Funktionswerten: Ds Integrl ist der Flächeninhlt der Fläche zwischen der 1. Achse und dem Funktionsgrphen.

10 SBP Mthe Grundkurs 2 # 36 by Clifford Wolf # 36 Antwort f : A R, F = f, [; b] A: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung b f(x) dx = F (b) F () = F (x) x=b x= SBP Mthe Grundkurs 2 # 37 by Clifford Wolf # 37 Antwort Volumen eines Rottionskörpers: Volumen eines Rottionskörpers V K = π b (f(x)) 2 dx (Denn V Z = πr 2 h ist ds Volumen eines Zylinders.) SBP Mthe Grundkurs 2 # 38 by Clifford Wolf # 38 Antwort Länge eines Grphen: Länge eines Grphen l = b 1 + (f (x)) 2 dx Begründung: Die Seknte des i-ten Teilbschnitts des Grphen mit der Länge x ht die Steigung f (x i ). Ds heisst die Länge des Teilbschnitts ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit den Ktheten x und f (x i ) x. Also ist die Länge des Teilbschnitts wegen 2 + b 2 = c 2 c = 2 + b 2 gleich 1 + (f (x)) 2 x. SBP Mthe Grundkurs 2 # 39 by Clifford Wolf # 39 Antwort Ein Bruch zweier Polynome (Nenner von höherem Grd ls Zähler) knn in eine Summe einfcher Brüche zerlegt werden: Prtilbruchzerlegung P 1 (x) P 2 (x) = 1 x α x α n x α n wobei α i die Nullstellen von P 2 (x) sind. Doppelte Nullstellen und komplexe Nullstellen können behndelt werden, ergeben ber Brüche mit einem nderen Aufbu. Zur Ermittlung der i wird die rechte Seite uf gemeinsmen Nenner gebrcht. Dnn können die i durch Koeffizientenvergleich der Zähler bestimmt werden.

11 SBP Mthe Grundkurs 2 # 40 by Clifford Wolf Prtielle Integrtion # 40 Antwort Die prtielle Integrtion ist ein Verfhren zur Integrtion mncher Produkte. Dbei wird ein Integrl in ein nderes umgewndelt. Ds Verfhren kommt dnn zur Anwendung, wenn ds neue Integrl leichter zu lösen ist. b x=b b f(x) g (x) dx = (f(x) g(x)) f (x) g(x) dx x= Zur Beurteilung, ob die prtielle Integrtion hilfreich ist, ist der Blick uf ds vereinfchte unbestimmte Integrl oft hilftreich: f g = ( ) f g Die prtielle Integrtion ist Umkehrung der Produktregel (u v) = uv vu. SBP Mthe Grundkurs 2 # 41 by Clifford Wolf # 41 Antwort Die Substitutionsmethode ist ein Verfhren um eine bestimmte Klsse komplizierter Integrle in einfchere Integrle umzuwndeln: b f(g(t)) g (t) dt = g(b) g() f(x) dx Substitutionsmethode Bei der Anwendung der Substitutionsmethode ist oft erst eine kretive Umformung des Integrls notwendig. Etw ds Einführen eines konstnten Fktors im Integrl und seines Kehrwerts usserhlb des Integrls, dmit ein g (t) entsteht. Zum Beispiel: b t f(t 2 ) dt = 1 2 b 2t f(t 2 ) dt = 1 2 b 2 2 f(x) dx Die Substitutionsmethode bsiert uf der Kettenregel.