Stroppel Musterlösung , 180min. Aufgabe 1 (7 Punkte) Gegeben seien folgende Potenzreihen: ( 2) n n xn,

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1 Stroppel Musterlösung , 80min Aufgabe 7 Punkte) Gegeben seien folgende Potenzreihen: ) n fx) = n xn, gx) = n= + ) n n x+) n. 3 n= a) Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius und den Entwicklungspunkt. b) Entscheiden Sie nun für jedes x R, ob die obigen Reihen jeweils konvergieren oder divergieren. a) Für die Reihe f ist der Entwicklungspunkt gleich 0, für die Reihe g gleich. Konvergenzradius für die Reihe f: Es ist lim ) n+ n n n+) ) n = lim n n n+ =, und damit ρ = n ). Die Berechnung über lim n n n ist ebenso möglich.) Konvergenzradius für die Reihe g: Der Grenzwert n + ) n n + ) n lim n = lim 3 n 3 existiert nicht. Die Teilfolge + )n strebt gegen + )n+, die Teilfolge strebt gegen 0. Es existiert daher der Limes superior n + ) n n + ) n lim n = lim = 3 n 3 3, und damit ist ρ = 3. b) Eine Potenzreihe n= a nx x 0 ) n mit Konvergenzradius ρ und Entwicklungspunkt x 0 konvergiert absolut, wenn x x 0 < ρ. Sie divergiert, falls x x 0 > ρ. Der Fall x x 0 = ρ muss für jedes solche x gesondert untersucht werden. Hier bedeutet das konkret: Für die Reihe f: absolute) Konvergenz für x <, Divergenz für x >. Auf dem Rand und x R): x = : Die alternierende harmonische Reihe n= x = : Die harmonische Reihe n= divergiert. n Für die Reihe g: ) n n absolute) Konvergenz für x+ < 3, Divergenz für x+ > 3. Seite von 4 konvergiert aber nicht absolut),

2 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Auf dem Rand und x R): x = + 3 = : + ) n n n 3 + = n= + ) n n. Die Folge + ) n n, falls n gerade = 0, falls n ungerade ist keine Nullfolge, folglich divergiert die Reihe + ) n n. n= x = 3 = 5: Die Folge + ) n n 5 ) n 3 + = n= + ) ) n n n = n= + ) ) n n n. n=, falls n gerade 0, falls n ungerade ist keine Nullfolge, folglich divergiert die Reihe + ) n n. n= )n Seite von 4

3 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Aufgabe 3 Punkte) Geben Sie eine reelle Matrix an, die den Eigenvektor und den Eigenvektor zum Eigenwert hat. zum Eigenwert 3 Alternative :Sei A = ist, heißt Ebenso bedeutet, dass a b eine reelle Matrix. Dass ein Eigenvektor von A zum Eigenwert 3 c d a b = 3. c d ein Eigenvektor von A zum Eigenwert ist, dass a b = ). c d Daraus ergibt sich das folgende inhomogene lineare Gleichungssystem: a+b = 3 c+d = 3 a+b = 4 c+d = 7 0 Das Lösen dieses Gleichungssystems liefert A =. 5 8 Alternative : Zu der gesuchten Matrix A betrachten wir die lineare Abbildung α : R R mit αv) = Av. Sei B : b =,b = die Basis, die aus den gegebenen Eigenvektoren besteht. 3 0 Dass diese aus Eigenvektoren besteht, bedeutet, dass B α B =. 0 Sei E die Standardbasis. Dann ist E α E = E id B Bα B Bid E und E id B = b,b ) =. Die Inverse zu E id B ist B id E, also B id E =. 7 0 Demnach ergibt sich E α E =. 5 8 Seite 3 von 4

4 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Aufgabe 3 3 Punkte) Der Graph der Funktion f : [,] R : x coshx) ist parametrisiert durch C : [,] R : t t,cosht) ). Berechnen Sie die Länge des Graphen von f. Die Länge des Graphen Γf) von f ergibt sich zu LΓf)) = Γf) ds = C t) dt =,sinht)) dt = +sinht) dt = cosht)dt = [sinht)] = sinh) sinh ) = e e. Seite 4 von 4

5 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Aufgabe 4 8 Punkte) Bestimmen Sie folgende Integrale: a) x lnx)dx b) c) e x+lnx)) ) dx x +7x+6 dx x +3x a) Mit dem Ansatz v := x, also v = 3 x3, und u := lnx), also u = x, bekommen wir durch partielle Integration x lnx)dx = uv dx = [uv] u vdx [ ] = 3 x3 lnx) 3 x dx [ = 3 x3 lnx) ] [ ] 9 x3 = 9 x3 3lnx) ) b) Mit der Substitution u = lnx) folgt du e dx = x und also x+lnx)) ) dx = 0 +u du = [arctanu)] 0 = arctan) arctan0) = π 4 c) Die Polynomdivision liefert x +7x+6 x +3x Mit Partialbruchzerlegung erhält man Somit gilt x +7x+6 x +3x dx = dx+ = + x+6 x +3x. x+6 x +3x = x x+3. x dx [ ] x+3 dx = x+ln x ln 3+x. Seite 5 von 4

6 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Aufgabe 5 9 Punkte) Gegeben sei die Quadrik Q := {x,x ) R x +8 3x x +3x = 5}. Bestimmen Sie euklidische Normalform und die Gestalt der Quadrik. Skizzieren Sie die Quadrik im Ausgangskoordinatensystem. Die Gleichung in Matrixschreibweise x Ax+a x+c = 0 lautet ) x 4 ) 3 x 4 x x = Das charakteristische Polynom von A ist χ A λ) = deta λe ) = λ 34λ+5. Die Eigenwerte von A sind also λ = 5 und λ = 9. Der Eigenraum zu λ ist der Lösungsraum Vλ ) des LGS [ ] ) Dieser Lösungsraum wird aufgespannt durch den normierten Eigenvektor v = 3. x Einen Eigenvektor v zu λ kann man analog durch Lösen des homogenen Gleichungssystems A λ E )x = 0 bestimmen. Alternativ kann man verwenden, dass A symmetrisch ist: Somit ) sind die Eigenräume zu λ und λ orthogonal.) Man erhält als normierten Eigenvektor v =. 3 Die Eigenvektoren brauchen wir wegen a = 0 nicht für die Transformation, aber später zum Zeichnen.) Die transformierte Gleichung lautet 5y +9y 5 = 0. Um die euklidische Normalform zu bestimmen, normiert man noch die Konstante: 9 y 5 y + = 0. Die Gleichung beschreibt eine Ellipse mit den Hauptachsenlängen 3 und 5. Da keine quadratische Ergänzung bei der Bestimmung der euklidischen Normalform nötig war, wurde die Quadrik beim Transformieren nicht verschoben. Die Achsen des neuen Koordinatensystem also Rv bzw. Rv ) sind die Symmetrieachsen der Ellipse. Dies liefert folgende Zeichnung der Quadrik: x Seite 6 von 4

7 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min x y 3v x - - 5v y Seite 7 von 4

8 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Aufgabe 6 4 Punkte) Sei f: [0,] R: x 9 x. Die Funktion f besitzt im Intervall [0, ] genau eine Nullstelle. Benutzen Sie die Intervallhalbierungsmethode, ausgehend von [a,b ] := [0,], um diese Nullstelle mit einer Genauigkeit von ε = 0,5 zu approximieren. Starte mit [a,b ] = [0,]. Es gilt also Setze demnach Weiter mit dem zweiten Schritt: also fa ) = 9 > 0, f a +b = f a +b fa ) f < 0. [a,b ] := fa ) = 9 > 0, f a +b [ a, a ] [ +b = 0, ]. ) = f a +b fa ) f > 0. = 9 4 = 5 36 < 0, = = 7 44 > 0, Setze [ ] [ a +b [a 3,b 3 ] :=,b = 4, ]. Die Nullstelle liegt im Intervall [, ] 4. Weil dieses die Länge ε hat, ist die geforderte Genauigkeit 4 erreicht. Seite 8 von 4

9 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Aufgabe 7 Punkte) Gegeben seien die folgenden Funktionen. f: R R: x,y) x +y ) g: R R: x,y) x + y Es ist fx,y) das Quadrat des Abstands des Punktes P := 0,) vom Punkt x,y). Die Menge E := {x,y) R gx,y) = 0} ist eine Ellipse. Bestimmen Sie die absoluten Minimalstellen und die absoluten Maximalstellen von fx, y) unter der Nebenbedingung gx, y) = 0. Bestimmen Sie den minimalen Abstand des Punktes P von einem Punkt der Ellipse E. Erste Variante: Multiplikatormethode nach Lagrange Die Multiplikatormethode nach Lagrange liefert kritische Stellen, an denen Extrema vorliegen könnten. Das Kriterium lautet: Es gibt ein λ R so, dass gilt: gradfx,y)+λgradgx,y) = 0 gx,y) = 0. Mit gradfx,y) = x y ) 4x ) gradgx,y) = y bedeutet das also x+4λx = 0 ) y )+λy = 0 ) x + y = 0 3) Aus ) erhält man x+λ) = 0. Dies ist für x = 0 oder für λ = erfüllt. Fall x = 0) Aus 3) erhält man y =. Daraus folgt, dass y = ±. Die Punkte P = 0, ) und P = 0, ) sind kritische Stellen der Funktion fx,y) auf der Ellipse gx,y) = 0. Seite 9 von 4

10 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Fall x 0) In diesem Fall muss λ = gelten. Aus ) folgt dann und damit auch 3 y =, y = 4 3. Dies in 3) eingesetzt ergibt Somit gilt Die Punkte P 3 = 3, 4 3 ) und P 4 = fx,y) auf der Ellipse gx,y) = 0. x = y = 6 8 = 9. x = ± 8 = ± 3, Auffinden der absoluten Extrema unter den kritischen Stellen Die Auswertung der Funktion fx, y) an den kritischen Stellen ergibt fp ) = ) = 3 fp ) = +) = 3+ sind weitere kritische Stellen der Funktion fp 3 ) = 6 fp 4 ) = 6 Wir sortieren nun diese Funktionswerte der Größe nach. Wir vergleichen als erstes fp ) mit fp 3 ) = fp 4 ). Dazu betrachten wir das Vorzeichen der Differenz fp ) fp 3 ) = 3 6 = 7 6, untersuchen also, ob 7 6 > oder 7 6 < gilt. Wegen der Monotonie des Quadrierens ist die erste dieser Ungleichungen äquivalent zu Dies ist korrekt, also gilt fp ) > fp 3 ) = fp 4 ). 7 6 = > = 8 = ). Wegen fp ) = 3 < 3 < 3+ = fp ) erhalten wir insgesamt fp ) > fp ) > fp 3 ) = fp 4 ). Seite 0 von 4

11 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Wegen der Kompaktheit der Ellipse besitzt die Funktion f auf der Ellipse sowohl ein absolutes Minimum als auch ein absolutes Maximum. Diese werden an kritischen Stellen angenommen. Die absoluten Minimalstellen von f auf der Ellipse E sind also P 3 = und P 4 = der minimale Funktionswert beträgt 6. 3, 4 3 3, 4 ; 3 Die absolute Maximalstelle von f auf der Ellipse E ist P = 0, ); der Funktionswert dort beträgt 3+. Der minimale Abstand des Punktes P von einem Punkt der Ellipse E beträgt somit 6. Zweite Variante: Parametrisierung der Ellipse mit trigonometrischen Funktionen Wir parametrisieren die Ellipse durch C: [0,π] R: ϕ cosϕ), ) sinϕ). Es sind also die absoluten Maximal- und Minimalstellen von h: [0,π] R: ϕ fcϕ)) zu finden. Es gilt hϕ) = + cosϕ)) +sinϕ)) sinϕ). Die erste Ableitung ist h ϕ) = cosϕ) +3sinϕ)), diese verschwindet im Intervall [0, π] genau dann, wenn einer ihrer Faktoren Null wird: a) Für cosϕ) = 0, das heißt für ϕ = π und für ϕ = 3π. Die Auswertung der Funktion hϕ) an diesen Stellen ergibt hϕ ) = 3 < 3+ = hϕ ). b) Für sinϕ) =, das heißt für ϕ 3 3 = arcsin ) und für ϕ 3 4 = π arcsin ). 3 Die Auswertung der Funktion hϕ) = + sinϕ)) )+sinϕ)) sinϕ) an diesen Stellen ergibt hϕ 3 ) = hϕ 4 ) = 6. An den Rändern des Parameter-Intervalls könnten auch noch Extrema vorliegen. Hier ergeben sich aber die Funktionswerte h0) = 3 = hπ). Es gilt 6 < 3 < 3 +, die Ränder kommen also für Extrema hier nicht in Frage. Es bleibt noch zu entscheiden, welcher der beiden Werte hϕ 3 ) = hϕ 4 ) = 6 und hϕ ) = 3 der größere ist. Dazu betrachten wir das Vorzeichen der Differenz 3 6 = 7 6, untersuchen also, ob 7 6 > oder 7 6 < gilt. Wegen der Monotonie des Quadrierens ist die erste dieser Ungleichungen äquivalent zu 7 < 3 = hϕ 6 ). = 89 > = 8 = ). Dies ist korrekt, also gilt hϕ 3 ) = hϕ 4 ) = Wegen der Kompaktheit des Parameter-Intervalls nimmt die Funktion h sowohl ein absolutes Minimum als auch ein absolutes Maximum an. Diese werden an kritischen Stellen angenommen: das Minimum bei ϕ 3 und ϕ 4, das Maximum bei ) ϕ. Die Funktion f nimmt ) ihr absolutes Minimum auf der Ellipse 6 an den Stellen Cϕ 3 ) = 3, 4 und Cϕ 3 4 ) = 3, 4 an, ihr absolutes Maximum 3+ an der 3 Stelle Cϕ ) = 0, ). Der minimale Abstand des Punktes P von einem Punkt der Ellipse E beträgt somit 6. Seite von 4

12 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Dritte Variante: Parametrisierung der Ellipse durch Wurzelterme Wir lösen die Gleichung gx,y) = 0 nach x auf, erhalten x = ± y und parametrisieren die Ellipse in zwei Teilen) durch C + : [, ) y ] R : y C + y) = y C : [, ) ] R y : y C y) = y Durch die Parametrisierung wird das Extremwertproblem transformiert in das folgende Problem: Bestimme die absoluten Minimalstellen und die absoluten Maximalstellen der beiden Funktionen h + : [, ] R: y fc + y)) = 3 4 y y + 3 h : [, ] R: y fc y)) = 3 4 y y + 3. und Die gesuchten absoluten Minimalstellen und Maximalstellen treten entweder an Nullstellen dieser Ableitungen oder am Rand des Intervalls [, ] auf. Es ist h +y) = 3 y, und es gilt h +y) = 0 y = 4 3 h y) = 0. Kandidaten für die absoluten Extremalstellen auf der Ellipse sind damit die Stellen C ) = 3, 4 3 ), C 4 3 ) = 3, 4 3 ) sowie die Stellen C + ) = C ) = 0, ) und C + ) = C ) = 0, ), die von den Rändern des Parameter-Intervalls herrühren. Die Auffinden der absoluten Extrema unter den kritischen Stellen und die Bestimmung des minimalen Abstands erfolgt nun genauso wie in der ersten Variante. Seite von 4

13 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe 8 6 Punkte) Gegeben seien die Ebene E = {x,y,z) R 3 y = } und die Punkte A =,0,3) und B = 3,,3). a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Geraden g durch A und B mit der Ebene E. S =,,3) b) Geben Sie einen Normalenvektor n von E an. n = 0,,0) c) Bestimmen Sie den Winkel zwischen g und n. α = π 4 oder 3π 4,jenachWahldesRichtungsvektorsfür g) d) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Ebene F, welche durch A, B und den Ursprung geht. 3x+3y+z 9 = 0 e) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des von A, B und dem Ursprung aufgespannten Dreiecks. 9 Aufgabe 9 4 Punkte) Es sei f: R R: x,y) x +xy +y. a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom T f,x,y),,)). T f,x,y),,)) = 4+3x )+3y ). b) Entwickeln Sie f nach Potenzen von x ) und y ), d.h. schreiben Sie f in der Form fx,y) = a+b 0 x )+b y )+ c j x ) j y ) j, mit a,b 0,b,c j R. j=0 a = 4, b 0 = 3, b = 3, c 0 = 0, c =, c =. Seite 3 von 4

14 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Aufgabe 0 5 Punkte) Gegeben sei die reelle Matrix A = Wir betrachten die lineare Abbildung α: R 3 R 3 : x αx) = Ax. a) Bestimmen Sie den Kern von α. Kernα) = L,,) ) b) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A. χ A λ) = λ 3 +λ c) Welche Eigenwerte hat A? λ = 0, λ = d) Geben Sie zu jedem Eigenwert seine algebraische und seine geometrische Vielfachheit an. Eigenwert algebraische Vielfachheit geometrische Vielfachheit λ λ Seite 4 von 4