56 ) Assoziativgesetz a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c Distributivgesetz a (b + c) = ab + ac a (b c) = ab ac e) 3.

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1 Grundwissen 7 Die Lösungen zum Grundwissen findest du im Anhng. Mit rtionlen Zhlen rechnen Berechne. ) ( 75,6) + ( 6,) ) 05,8 + ( 6,) c) ( 0,56) (,) d) ( 00,78) 78, e) ( 56 ) f) ( 7 8 ) ( 9 56 ) g) ( ) 56,5 + ( 56 ) ( 7) Üertrge die Multipliktionstelle (Additionstelle) ins Heft und fülle us. 78,5 0, ,65,75 Berechne und enutze die Rechengesetze, wenn es sinnvoll ist. Gi in dem Fll ds Gesetz n. ) 7 ) (0,5 +,57) +, c) ( 0,5 +,5) + ( 0,75 + _ ) d) 5 : ( 0,) Addition rtionler Zhlen Bei gleichen Vorzeichen der Summnden werden die Beträge ddiert; ds gemeinsme Vorzeichen leit. Beispiel: (,) + (,) = 5,6 Bei verschiedenen Vorzeichen der Summnden wird der kleinere Betrg vom größeren Betrg sutrhiert; ds Ergenis ht ds Vorzeichen des Summnden mit dem größeren Betrg. Beispiel: ( 6,) + (+,7) =,6 Sutrktion rtionler Zhlen Die Sutrktion einer rtionlen Zhl lässt sich stets durch die Addition ihrer Gegenzhl ersetzen. Multipliktion und Division rtionler Zhlen Zwei rtionle Zhlen werden multipliziert (dividiert), indem mn zunächst deren Beträge multi pliziert (dividiert). Hen eide Zhlen dssele Vorzeichen, so ist ds Ergenis positiv, ndernflls negtiv. Rechengesetze in (für lle,, c X ) Kommuttivgesetz + = + = Assozitivgesetz + ( + c) = ( + ) + c ( c) = ( ) c Distriutivgesetz ( + c) = + c ( c) = c e) ,5 + 0,8 + Potenzgesetze Schreie ds Produkt ls Potenz und erechne seinen Wert. ) ( ) ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) c) d) ( 0 ) ( 5 Fsse zusmmen und erechne. ) ( 7 ) ( 7 ) ),7 5,7 0 ) c) ( ) 8 : ( 0,75) d) ( ) ( 8) e) 0,5 5 : ( 0,5) 5 f) ( ( 5 ) ) ( 5 ) g) ( 0, ) 0, h) ( 9 ) 0 : ( 9 ) i) ( ) : ( 6 ) j) ( 0 ) : 0 = für lle X 0 = für lle X \{0} Werden Potenzen mit gleicher Bsis multipliziert (dividiert), leit die Bsis erhlten. Der Eponent ist die Summe (Differenz) der Eponenten. ( ) 5 ( ) = ( ) 5 + = ( ) 8 ( ) 5 : ( ) = ( ) 5 = ( ) Werden Potenzen mit demselen Eponenten multipliziert (dividiert), dnn leit der gemeinsme Eponent erhlten. Die Bsis ist dei ds Produkt (der Quotient) der einzelnen Bsen. ( 8) 5 5 = ( 8 ) 5 = ( 6) 5 ( 8) 5 : 5 = ( 8 : ) 5 = ( ) 5 Wird eine Potenz potenziert, werden die Eponenten multipliziert. Die Bsis leit erhlten. (7 ) 5 = 7 5 = 7 5

2 8 Grundwissen Linere Gleichungen 6 Bestimme die Lösungsmenge jeweils in, und. ) + 5 ( 6) = ) + 5 = + 8 c) 6 ( c + c + 6 ) = 8 d) (5 7) + 7 = 5 ( + 8) 7 Auf einem Teppich-Bsr wird gefeilscht. Schließlich einigt mn sich: Der Händler möchte 00 f und lässt % nch, der Käufer ietet 800 f und legt % zu. Berechne den Preis des Teppichs. Gleichungen, die die Vrile in der ersten Potenz enthlten, heißen linere Gleichungen. Die Grundmenge git n, welche Zhlen für die Vrile eingesetzt werden dürfen. Die Lösungsmenge git die Zhlen us n, die mn für die Vrile einsetzen knn, dmit eine whre Aussge entsteht. Die Lösungsmenge einer lineren Gleichung knn mn durch Äquivlenzumformungen erhlten. Zusmmenfssen und ordnen von Summnden mit Vrilen uf der einen Seite und Summnden ohne Vrilen uf der nderen Seite der Gleichung Durch den Koeffizienten der Vrilen dividieren liefert die Lösung Lösungsmenge ngeen Linere Gleichungsssteme 8 Löse zeichnerisch. ) I = ) I = + II 5 = II = ( 6) c) I = d) I 0,7 = II,8,9 = II +,5 = 6,5 9 Bestimme die Lösungsmenge mit einem rechnerischen Verfhren deiner Whl. ) I = 0 ) I = 5 7 II = 5 II = ( 9) c) I +,5 = 9 d) I 7 = II 8,5 = 0 II = 7 ( ) 0 Tnj knn sich zwischen diesen eiden Hndtrifen entscheiden: Grundgeühr: 0 f Verruchskosten: ct/min Grundgeühr: 8 f Verruchskosten: 9 ct/min Gi ihr eine Entscheidungshilfe, ei welchem Telefonierverhlten sie sich für welchen Trif entscheiden soll. Sollen Zhlenpre ( ) zwei linere Gleichungen gleichzeitig erfüllen, so spricht mn von einem lineren Gleichungssstem. Es git drei Fälle: genu keine unendlich viele eine Lösung Lösung Lösungen Rechnerische Verfhren: Einsetzungsverfhren Löst mn eine der Gleichungen nch einer Vrile (z. B. ) uf, dnn knn mn diesen Term in die ndere Gleichung einsetzen. Gleichsetzungsverfhren Löst mn eide Gleichungen nch einer Vrile (z. B. ) uf, dnn knn mn die Terme gleichsetzen. Additionsverfhren Mn ddiert eide Gleichungen, wenn vor einer Vrile etrgsgleiche Koeffizienten stehen, die ein unterschiedliches Vorzeichen hen.

3 9 Finde die zu T () = 8 0 äquivlenten Terme. T () = ( ) ( ) Mit Termen rechnen Gleiche Summnden knn mn zusmmenfssen. + 7z 7 + z = + 5z Wird eine Summe (Differenz) ddiert, dnn leien nch Auflösen der Klmmer die Vorzeichen in T () = 0 T () = der Klmmer gleich. + ( z) = + z T () = ( 5) + 5 ( 5) Wird eine Summe (Differenz) sutrhiert, dnn T 5 () = 0 + ( ) 0 kehren sich nch Auflösen der Klmmer die Vorzeichen in der Klmmer um. ( z) = + z Vervollständige die Additionsmuer. Wird eine Summe mit einem Fktor multipliziert, dnn wird jeder Summnd mit dem Fktor (us-) multipliziert. Die entstndenen Produkte werden mit ihren Vorzeichen ddiert. ( + ) = + ( 6) 5 Kommt in einer Summe von Produkten in jedem Summnden dersele Fktor vor, dnn knn dieser usgeklmmert werden. + = ( + ) Zuordnungen und Funktionen Üertrge die Telle in dein Heft und fülle sie us. Zeichne jeweils den zugehörigen Grphen. ) Die Zuordnung ist proportionl.,5 9 9 ) Die Zuordnung ist umgekehrt proportionl Wie viele Zutten musst du esorgen, wenn du den Gästen deiner Geurtstgsfeier Pizz cken möchtest? Zutten für Personen 500 g Pizzteigmischung 00 ml Wsser 800 g geschälte Tomten Scheien Slmi 00 g Pilze 0 g gerieener Käse 5 Eine Pflsterreit knn von 6 Areitern in 8 Stunden geschfft werden. Anzhl Areiter: Anzhl Stunden: ) Zeichne den Grph mit X {; ; }. ) Wie viele Areiter sind notwendig, wenn die Areit in genu 5 Stunden fertig sein soll? Wie sinnvoll ist ds genue Ergenis? Proportionle Zuordnung Zum Doppelten (zum Dreifchen,, zur Hälfte, ) der Ausgngsgröße gehört ds Doppelte (ds Dreifche,, die Hälfte, ) der zugeordneten Größe. Der Quotient us zugeordneter Größe und Ausgngsgröße ist stets gleich. Den Quotienten nennt mn Proportionlitätsfktor m. Die Punkte liegen uf einer Gerde durch den Ursprung. 0 0 Umgekehrt proportionle Zuordnung Zum Doppelten (zum Dreifchen,, zur Hälfte, ) der Ausgngsgröße gehört die Hälfte, (ein Drittel,, ds Doppelte, ) der zugeordneten Größe. Ds Produkt us zuge - ordneter Größe und Ausgngsgröße ist stets gleich. Die Punkte liegen uf einer Kurve, die Hper - 0 el heißt. 0 6

4 0 Grundwissen Linere Zuordnung 6 Entscheide, o die Zuordnung liner ist. Welche Zuordnungen sind sogr proportionl? ) Jeder Menge n Äpfeln wird ihr Preis zugeordnet. ) In eine Bdewnne wird gleichmäßig Wsser eingelssen. Nch jeder Minute wird die Höhe des Wsserstnds gemessen. c) Ein Telefonvertrg esteht us einer montlichen Grundgeühr und Kosten pro Gesprächsminute. Je nchdem, wie lnge im Mont telefoniert wurde, muss mn einen estimmten Preis ezhlen. Zu jedem zugeordneten Wert einer proportionlen Zuordnung wird ein fester Wert t ergänzt. Die Punkte der Zuordnung liegen uf einer Gerde. Der Grph ist gegenüer einer proportionlen + t + t Zuordnung um einen t + t festen Wert t entlng + t der -Achse verschoen. 0 0 linere Zuordnung proportionle Zuordnung Linere Funktionen 7 Lies jeweils die Gleichung der zugehörigen lineren Funktionen us den Grphen. d) c) ) e) ) 8 Begründe, o die Aussge whr oder flsch ist. ) Der Punkt A ( ) liegt uf dem Grph von =. ) Die Funktionsgrphen der Funktionen mit den Gleichungen = + und = + verlufen prllel zueinnder. c) Die Nullstelle der Funktion = + 8 ist N (8 0). Eine eindeutige Zuordnung nennt mn Funktion. Dei wird jedem -Wert (Argument) genu ein -Wert (Funktionswert) zugeordnet. Definitionsereich : Menge ller Argumente Werteereich : Menge ller Funktionswerte Die llgemeine linere Funktion wird durch eine Gleichung folgender Form eschrieen: = m + t (m, t X ) Steigung -Achsenschnitt Ihre Grphen sind Gerden. Die Steigung m einer Gerde lässt sich ls Quotient der Koordintendifferenzen zweier Gerdenpunkte P ( ) und P ( ) mit erechnen: m = = Δ Δ Die Nullstelle 0 einer Funktion ist diejenige Stelle, n der der Funktionsgrph die -Achse schneidet. An dieser Stelle gilt: = 0. Die Schnittpunkte mit den Koordintenchsen sind N ( 0 0) und P (0 t). 9 Zeichne den Grphen der Funktion =. Beschreie dein Vorgehen, wenn du keine Wertetelle erstellen möchtest.

5 Prozent- und Zinsrechnung 0 Üertrge und vervollständige die Telle. ) ) c) lter Preis 0 f 88 f Erhöhung %, % neuer Preis 8,7 f 06,7 f ) Herr Schlu ht eine Gehltserhöhung von 5 % ekommen. Jetzt verdient er 688 f. Wie viel htte er vorher verdient? ) Ein PC-Händler gewährt ei Brzhlung % Rtt. Der Computer kostet nun 9,50 f. Welcher Preis wr zuerst ngesetzt? c) Zu welchem Zinsstz muss ein Kpitl von f ngelegt werden, wenn es im ersten Jhr 55 f Zinsen erringen soll? Bei der Prozentrechnung git der Grundwert GW ds Gnze n, der Prozentwert PW den Teil vom Gnzen sowie der Prozentstz p die Anzhl der Hundertstel, die dem Prozentwert entsprechen. Es gilt: PW p = _ GW 00. Entspricht ein Grundwert einem Prozentstz von mehr ls 00 Teilen (weniger ls 00 Teilen), so spricht mn vom vermehrten (verminderten) Grundwert. Die Zinsrechnung ist ngewndte Prozentrechnung. Zinsrechnung Prozentrechnung Kpitl (K) Grundwert (GW) Zinsen (Z) Prozentwert (PW) Zinsstz (p) Prozentstz (p) Zusmmenhänge im Dreieck Berechne jeweils die fehlenden Winkelmße. ) C ) 76 C α β α 5α A B A B Konstruiere ds Dreieck ABC. ) = cm; =,8 cm; c = 6 cm ) c = 5, cm; α = 5 ; β = 0 c) = cm; c = 7 cm; γ = 90 Summe der Innenwinkel In jedem Dreieck eträgt die Summe der Innenwinkel stets 80. Kongruenzsätze für Dreiecke Dreiecke sind genu dnn kongruent, wenn sie in der Länge ller Seiten üereinstimmen (SSS). in der Länge zweier Seiten und dem Mß des eingeschlossenen Winkels üereinstimmen (SWS). in der Länge einer Seite und dem Mß eider nliegenden Winkel üereinstimmen (WSW). Stz des Thles Berechne jeweils die fehlenden Winkelmße. k γ C γ Stz des Thles Liegt der Punkt C eines Dreiecks ABC uf einem Hlkreis ( Thleskreis ) üer der Strecke [AB] (C [AB]), dnn ht ds Dreieck ei C einen rechten Winkel. C α δ 5 β A B M 5 Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Hpotenuse c = 8 cm und = cm und rechtem Winkel ei C. A M B

6 Grundwissen Flächeninhlte von eenen Figuren 6 Bestimme die Seitenlängen eines Rechtecks, ds einen Flächeninhlt von 5 cm ht und einen Umfng von 0 cm. Rechteck Qudrt 7 Ein Prllelogrmm ht einen Flächeninhlt von,8 cm, eine Höhe von 5, cm und einen Umfng von 6 cm. Zeige, dss es sich um eine Rute hndelt. 8 Die Schenkel eines Trpezes mit dem Umfng u = cm sind cm zw. 5 cm lng. Berechne die Höhe des Trpezes, wenn dessen Flächeninhlt A = 9, cm eträgt. 9 Ev, Lrs und Lis wollten den Flächeninhlt der Figur uf unterschiedliche Arten estimmt. Leider sind dei Fehler pssiert. Wessen Lösung ist richtig? Ws hen die nderen flsch gemcht? Ev: cm cm + cm + cm cm + cm cm = cm Lrs: cm cm + _ cm cm + cm cm = cm Lis: Kästchen + 6 Kästchen + 8 Kästchen = 8 Kästchen = cm Umfng: u R = + u Q = Flächeninhlt: A R = A Q = = Dreiecke Für den Flächeninhlt eines Dreiecks mit der Grundseite g und der dzugehörigen Höhe h gilt: A D = g h hier: A D = c h c u D = + + c Prllelogrmme Für den Flächeninhlt eines Prllelogrmms gilt: A P = Grundseite zugehörige Höhe A P = g h h hier: h A P = h oder A P = h u P = ( + ) Trpeze Der Flächeninhlt eines Trpezes lässt sich cmit folgender Formel erechnen: d A Tr = _ + c h = h ( + c) h u Tr = + + c + d h c c 0 Üertrge die Telle in dein Heft und estimme die fehlenden Größen. Runde geeignet. r d u A ) 0,8 m ) cm c) 5 m d), dm Kreise Für den Flächeninhlt eines Kreises gilt: A = π r u = π d zw. mit d = r u = π r M r Berechne Umfng und Flächeninhlt der Figuren. ) ) r = cm r =,5 dm

7 Rummessung Wndle in die Einheit in Klmmern um. ) 877 cm (dm ) ) m (l) c) 790,0 hl (cm ) d) 0,6 dm (ml) e) 60,005 cm (mm ) f) l (hl) Ordne die Volumenngen richtig zu. 800 l 5000 cm, hl 0 dm Als Mßeinheit für ds Volumen (Ruminhlt) verwendet mn Einheitswürfel mit der Kntenlänge mm, cm, dm, m oder km. Die Umwndlungszhl zwischen enchrten Volumeneinheiten ist mm cm dm m : 000 : 000 : 000 Hohlmße: l = dm ml = cm hl = 00 l Volumen von Qudern und Würfeln Bestimme die fehlenden Größen eines Quders. ) ) c) Länge m,5 dm Breite 6 m 50 cm Höhe,5 m 60 cm 6,5 dm Oerfläche,66 m Volumen 98,7 dm Quder Würfel c O Q = ( + c + c) O W = 6 V Q = c V W = = 5 Bestimme ds Volumen der Körper durch geschicktes Zerlegen oder Ergänzen. ) ) cm cm 0,5 m 0,5 m 0,5 m Wird ein Körper entlng seiner Knten ufgeschnitten, entsteht ein Körpernetz. 5 cm 8 cm 6 cm 6,5,5 m 0,5 m,5 m,5 Mit einem Schrägild können Körper nschulich drgestellt werden. Nch hinten lufende Knten werden unter 5 uf die Hälfte gekürzt. Nicht sichtre Knten werden gestrichelt. Höhe h in Originllänge ) Üertrge in dein Heft und ergänze jeweils zu einem vollständigen Würfel- zw. Qudernetz. ) Bestimme ds Volumen und die Oerfläche der Körper und zeichne Schrägilder. Breite in hler Länge Länge in Originllänge

8 Grundwissen Oerflächeninhlt und Volumen von Prismen und Zlindern 7 Gegeen sind die Grundfläche und die Höhe der Prismen. Berechne den Oerflächeninhlt und ds Volumen (Mße in cm). Prismen ) ) c) h hc Mntelfläche A M Umfng u h h c V Prism = h A O Prism = + A M 8 Berechne die fehlenden Größen eines Zlinders. ) ) c) Rdius r 6 cm cm Zlinderhöhe h 8 cm 6 cm 0 mm Grundflächen inhlt Mntelflächen inhlt A M 6,0 m Zlinder h h r u = π r Mntelfläche A M Oerflächen inhlt A O Volumen V Häufigkeiten r r V Zlinder = π r h u = π r A O Zlinder = + A M = π r + π r h = πr (r + h) 9 Beim Würfeln erhält Stefnie folgende Ergenisse: ; ; 6; 6; ; 5; ; ; ; ; ; 5; 6; ; ; 5; ; 6; 6; ; 5; ; ; ; ; ; 6; ; ; 5; ; ; 6; ; 5; 5; ; ; ; ; 6; ; ; ; ; ; 6; ; ; Bestimme die reltiven Häufigkeiten für jede Augenzhl ls Bruch und in Prozent. Die reltive Häufigkeit h git den Anteil n, mit dem die solute Häufigkeit H eines Ergenisses ei n-mliger Durchführung eines Zufllseperiments vorkommt: h = H n. Sttistische Kennwerte 0 Eine Messung erg folgende Dtenreihe:,55 m;,58 m;,8 m;,6 m;,5 m;,6 m;,8 m;,5 m;,87 m;,7 m ) Bestimme ds rithmetische Mittel. ) Ermittle die Spnnweite. Bei einer Dtenreihe estehend us fünf Werten ergit sich für den Zentrlwert 7, der Modlwert ist 8. Wie könnte die Dtenreihe luten? Lgemße und Streumße rithmetisches Mittel : _ = _ Summe ller Einzelwerte Anzhl der Einzelwerte Zentrlwert z: mittlerer Wert in einer der Größe nch geordneten Liste von Dten Modlwert m: Wert mit der größten soluten Häufigkeit Die Spnnweite z errechnet sich ls Differenz zwischen dem größten Wert einer Dtenmenge ( Mimum) und dem kleinsten Wert (Minimum).