Potenzautomat. Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) P(A) = (P(Z), I, D, {s 0 }, F P ) P(Z) = {S S Z}: Potenzmenge von Z; D : P(Z) I P(Z) mit

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1 1 Potenzutomt Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) P(A) = (P(Z), I, D, {s 0 }, F P ) P(Z) = {S S Z}: Potenzmenge von Z; D : P(Z) I P(Z) mit D(S, x) = d(s, x) s S für lle S P(Z), x I; F P = {S P(Z) S F }.

2 Potenzutomt 2 Beispiel:, b c s 0 s 1 s 2, b, c c b, c b, c, b, c s 0 s 0, s 2 s 0, s 1, s 2 s 0, s 1 b c b s 2 c c s 1, s 2 s 1, b, b

3 Potenzutomt 3 Ein optimierter Potenzutomt, b c s 0 s 1 s 2, b, c b, c, b, c s 0 s 0, s 1 c s 2 b c s 1, b (Alle Zustände, die von s 0 nicht erreichbr sind, wurden gestrichen.)

4 Potenzutomt 4 Äquivlenz von nichtdeterministischen und deterministischen endlichen Automten Stz (Äquivlenz) Sei A = (Z, I, d, s 0, F ) ein endlicher Automt. Dnn gilt L(A) = L(P(A)).

5 Potenzutomt 5 Schnelle Worterkennung Stz Für von endlichen Automten erknnte Sprchen ist ds Wortproblem in linerer Zeit lösbr.

6 Potenzutomt 6 Beweisskizze Sei A = (Z, I, d, s 0, F ) ein endlicher Automt. 1. Flls A nichtdeterministisch ist, A := P(A). (Dies muss höchstens einml durchgeführt werden.) 2. Sei w = 1 n ( i I, i = 1,..., n). Verrbeite w mit A: t 1 0 t 2 n 1 t n (Zeitverbruch: n Schritte, d Folgezustände eindeutig sind.) 3. J, flls t n F ; sonst nein.

7 Model-Checking (beispielhft) 7 Model-Checking (beispielhft) ußer Betrieb n us betriebsbereit 20 kleiner 20 heizen L(heting) : L forbidden : Menge ller möglichen Abläufe Alle verbotenen Abläufe

8 Model-Checking (beispielhft) 8 Heting ist korrekt bezüglich L forbidden, flls L(heting) L forbidden =. Knn mn einen endlichen Automten für den Schnitt konstruieren? Knn mn feststellen, ob ein beliebiger, gegebener endlicher Automt die leere Sprche erkennt?

9 Produktutomt (Prllelschltung zweier endlicher Automten) 9 Produktutomt (Prllelschltung zweier endlicher Automten) Gegeben: deterministische endliche Automten A 1 = (Z 1, I, d 1, s 01, F 1 ), A 2 = (Z 2, I, d 2, s 02, F 2 ) Produktutomt A 1 A 2 = (Z 1 Z 2, I, d, (s 01, s 02 ), F 1 F 2 ) mit d((s 1, s 2 ), x) = (d 1 (s 1, x), d 2 (s 2, x)) für lle (s 1, s 2 ) Z 1 Z 2 und x I.

10 Produktutomt (Prllelschltung zweier endlicher Automten) 10 Produktutomt erkennt Schnitt Stz Seien A 1 = (Z 1, I, d 1, s 01, F 1 ), A 2 = (Z 2, I, d 2, s 02, F 2 ) deterministische endliche Automten. Dnn gilt L(A 1 A 2 ) = L(A 1 ) L(A 2 ).

11 Vereinigungsutomt 11 Vereinigungsutomt Gegeben: deterministische endliche Automten A 1 = (Z 1, I, d 1, s 01, F 1 ), A 2 = (Z 2, I, d 2, s 02, F 2 ) Vereinigungsutomt A 1 A 2 = (Z 1 Z 2, I, d, (s 01, s 02 ), (F 1 Z 2 ) (Z 1 F 2 )), wobei d wie beim Produktutomten definiert ist.

12 Vereinigungsutomt 12 Der Vereinigungsutomt erkennt die Vereinigung Stz Seien A 1 = (Z 1, I, d 1, s 01, F 1 ), A 2 = (Z 2, I, d 2, s 02, F 2 ) deterministische endliche Automten. Dnn gilt L(A 1 A 2 ) = L(A 1 ) L(A 2 ).

13 Leerheitsproblem 13 Leerheitsproblem Eingbe: eine Sprche L (z.b. in Form eines endlichen Automten). Ausgbe: J, flls L = Nein sonst.

14 Leerheitsproblem 14 Beispiel Eingbe:, b s 0 s b 1 s 2 s 3 b s 4, b, b Ausgbe: J

15 Leerheitsproblem 15 Stz (Lösbrkeit des Leerheitsproblems) Für von endlichen Automten erknnte Sprchen ist ds Leerheitsproblem lösbr.

16 Leerheitsproblem 16 Gesucht: Algorithmus, der für jeden endlichen Automten A die folgende Funktion leer berechnet: { J, flls L(A) = leer(a) = Nein sonst Überlegung L(A) = genu dnn, wenn es keinen Weg in A vom Strtzustnd zu einem Endzustnd gibt.

17 Leerheitsproblem 17 Idee 1. Smmle lle vom Strtzustnd erreichbren Zustände uf. 2. L(A) = genu dnn, wenn sich in der Menge der gesmmelten Zustände kein Endzustnd befindet.

18 Leerheitsproblem 18 Algorithmus (Skizze) Gegeben: DEA A = (Z, I, d, s 0, F ). 1. (Aufsmmeln der erreichbren Zustände) () R 0 := {s 0 }; i := 0; R 1 = R 0 {d(s 0, x) x I}; (b) while R i+1 R i do i := i + 1; R i+1 := R i {d(s, x) s R i, x I} (end of while) 2. (Entscheiden) If R i F = then J else Nein

19 Leerheitsproblem 19, b Beispiel s 0 s b 1 s 2 s 3 b s 4, b, b 1. R 0 = {s 0 } R 1 = {s 0 } {s 1, s 4 } = {s 0, s 1, s 4 } R 2 = {s 0, s 1, s 4 } {s 1, s 4 } = {s 0, s 1, s 4 } 2. {s 0, s 1, s 4 } {s 2, s 3 } =, d.h., die erk. Sprche ist leer.

20 Leerheitsproblem 20 Korrektheit Termintion (Algorithmus hält.) Es existiert ein m N: R m = R m+1. Prtielle Korrektheit (Algorithmus liefert bei Hlten korrektes Resultt.) Sei m N die kleinste Zhl mit R m = R m+1. Dnn enthält R m lle von s 0 erreichbren Zustände, d.h. R m = {d (s 0, w) w I }.