K2 - Klausur Nr. 3. Generalprobe mit allen Themen. keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.

Transkript

1 K2 - Klausur Nr. 3 Generalprobe mit allen Themen Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. 1. Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion mit 1 sin. 2. Berechnen Sie den Wert des Integrals. 3. Welche der folgenden Aussagen bezüglich ganzrationaler Funktionen sind wahr, welche nicht? Geben Sie jeweils eine Begründung für Ihre Entscheidung. a) Funktionen mit ungeradem Grad haben mindestens eine Nullstelle. b) Hat der Graph von f genau einen Punkt mit der x-achse gemeinsam, dann hat f ungeraden Grad. / 4 bitte wenden

2 4. Von einem senkrechten Kegel kennt man die Koordinaten der Spitze S, die Koordinaten eines Punktes P des Grundkreises sowie eine Koordinatengleichung der Ebene E in der der Grundkreis liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren, um den Mittelpunkt M und den Radius r des Grundkreises zu bestimmen. / 5 Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

3 Wahlteil K2 - Klausur Nr. 3 Generalprobe mit allen Themen Verwendung des GTR ist gestattet, bitte alle Lösungen auf den Doppelbogen. Name: 5. Zur Verkehrsberuhigung einer Bergregion ist ein 1,5 km langer, geradlinig und horizontal verlaufender Straßentunnel geplant. Die Querschnittsfläche des Tunnels entspricht der Fläche, die das Schaubild einer noch zu bestimmenden Funktion f und die x-achse begrenzen. Das Planungsbüro hat die nebenstehende Skizze des Tunnelquerschnitts angefertigt, 1 LE = 1m. a) Bestimmen Sie einen passenden Funktionsterm zu dem nebenstehend abgebildeten Schaubild der Funktion f und berechnen Sie die Nullstellen. Hinweis: Sie können bei Bedarf die Lösung von Teil a) gegen Verzicht auf die zugehörigen Verrechnungspunkte beim Fachlehrer erhalten. b) Wie viel m³ Gestein müssen beim Bau des Tunnels mindestens bewegt werden? c) Zur Tunneleinweihung soll ein möglichst großes rechteckiges Plakat in die Tunneleinfahrt gespannt werden. Bestimmen Sie Breite und Höhe des maximalen Plakats. / 4 / 4 / 5 bitte wenden

4 K2 - Klausur Nr. 3 Generalprobe mit allen Themen 6. Ein Zelt hat die Form einer senkrechten quadratischen Pyramide. Die Länge der Quadratseiten und die Pyramidenhöhe betragen jeweils 2m. Wählen Sie alle Koordinaten gemäß der Skizze. a) Bestimmen Sie die Größe des Neigungswinkels der Vorderfläche PQS zur Grundfläche. b) In der Vorderfläche PQS befindet sich der Eingang ABCD in Form eines symmetrischen Trapezes. C und D sind die Mitten der Strecken BS bzw. AS. Die Strecke AB hat die Länge 1m. Welchen prozentualen Anteil nimmt die Eingangsfläche bezüglich der Vorderfläche ein? c) Zur Beleuchtung wird im Zelt eine Lampe aufgehängt, die als punktförmige Lichtquelle angenommen werden soll. Ihr Licht fällt durch den Zelteingang nach draußen und wirft von diesem ein Lichtviereck ABC D auf den Boden vor dem Zelt. Berechnen Sie die Länge der Strecke C D, wenn die Lichtquelle 25cm unter der Zeltspitze hängt. / 3 / 6 / 3 Notenschlüssel siehe Erwartungshorizont siehe Viel Erfolg! Schule Notengebung von 40 Rückgabe am 28. Februar 2012 Note: mündlich: Arithmetisches Mittel:

5 Pflichtteil Erwartungshorizont Generalprobe mit allen Themen keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. 1. Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion mit 1 sin. 21 cos (2 ) 2. Berechnen Sie den Wert des Integrals. (2 ) 3. Welche der folgenden Aussagen bezüglich ganzrationaler Funktionen sind wahr, welche nicht? Geben Sie jeweils eine Begründung für Ihre Entscheidung. a) Funktionen mit ungeradem Grad haben mindestens eine Nullstelle. b) Hat der Graph von f genau einen Punkt mit der x-achse gemeinsam, dann hat f ungeraden Grad. / 4 a) Die Aussage ist wahr, denn für und streben die Funktionswerte entgegengesetzt gegen bzw., je nach dem Vorzeichen des führenden Koeffizienten a n. Daher muss der Graph zwischendurch (mindestens) einen Schnittpunkt mit der x Achse haben, also hat f (mindestens) eine Nullstelle. b) Die Aussage ist falsch, Gegenbeispiel: ². bitte wenden

6 4. Von einem senkrechten Kegel kennt man die Koordinaten der Spitze S, die Koordinaten eines Punktes P des Grundkreises sowie eine Koordinatengleichung der Ebene E in der der Grundkreis liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren, um den Mittelpunkt M und den Radius r des Grundkreises zu bestimmen. / 5 Beim senkrechten Kegel ist die Strecke MS orthogonal zur Grundkreisebene E.. Eine Gleichung der Geraden g durch M uns S erhält man mit Hilfe des Ortsvektors von Punkt S als Stützvektor und eines Normalenvektors der Ebene E als Richtungsvektor. Der Mittelpunkt M ergibt sich als Schnittpunkt von g und E. Der Radius r ist gleich dem Betrag des Vektors. Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

7 Erwartungshorizont Wahlteil 5. Zur Verkehrsberuhigung einer Bergregion ist ein 1,5 km langer, geradlinig und horizontal verlaufender Straßentunnel geplant. Die Querschnittsfläche des Tunnels entspricht der Fläche, die das Schaubild einer noch zu bestimmenden Funktion f und die x-achse begrenzen. Das Planungsbüro hat die nebenstehende Skizze des Tunnelquerschnitts angefertigt, 1 LE = 1m. a) Bestimmen Sie einen passenden Funktionsterm zu dem nebenstehend abgebildeten Schaubild der Funktion f und berechnen Sie die Nullstellen. Hinweis: Sie können bei Bedarf die Lösung von Teil a) gegen Verzicht auf die zugehörigen Verrechnungspunkte beim Fachlehrer erhalten. Allgemein gilt für eine Parabel ², Man kann die folgenden Punkte ablesen 0/4, 4/8, 8/4 Damit erhält man als Gleichungssystem Wegen 4 und Multiplikation von mit 2 erhält man Damit gilt und 2, also 24 Alternativ wäre auch eine Regression mit Hilfe des GTR denkbar, ebenso andere Argumentationen wie z.b.: Symmetrie zu 4 sowie Ordinate des Scheitelpunkts = 8, daher: 4 8. Dann genügt der Punkt R(8/4) und man löst zu und erhält als Funktionsgleichung 4 8

8 b) Wie viel m³ Gestein müssen beim Bau des Tunnels mindestens bewegt werden? Der Querschnitt des Tunnels entspricht der Fläche zwischen Schaubild von f und der x-achse. Diese bestimmt man über das folgende Integral, wobei und die beiden Nullstellen von f darstellen: Die Nullstellen sind näherungsweise (GTR) 1,657 bzw. 9,657 Der Wert des o.a. Integrals beträgt näherungsweise (GTR) 60,340 Das gesuchte Volumen erhält man durch Multiplikation des Querschnitts A mit der Länge des Tunnels (1500m): Es müssen mindestens ca m³ Gestein bewegt werden. c) Zur Tunneleinweihung soll ein möglichst großes rechteckiges Plakat in die Tunneleinfahrt gespannt werden. Bestimmen Sie Breite und Höhe des maximalen Plakats. Die Fläche des Rechtecks wird am größten, wenn die oberen Eckpunkte die Tunnelwand berühren und die Unterkante auf dem Boden aufliegt. Aus Symmetriegründen genügt es, ein halbes Rechteck zu betrachten, die x- Koordinate des Berührpunktes sei, damit ist die Breite des halben Rechtecks 4 und die Höhe des Rechtecks Also gilt für den Flächeninhalt: 24 Der GTR liefert näherungsweise 0,734. Damit gilt für die Breite 2 4 0,734 6,53 und für die Höhe 5,33

9 6. Ein Zelt hat die Form einer senkrechten quadratischen Pyramide. Die Länge der Quadratseiten und die Pyramidenhöhe betragen jeweils 2m. Wählen Sie alle Koordinaten gemäß der Skizze. a) Bestimmen Sie die Größe des Neigungswinkels der Vorderfläche PQS zur Grundfläche. Sei M der Mittelpunkt der Strecke mit M(1/0/0), 1 1 weil 1 1 gilt Für gilt: Ein Normalenvektor der Grundfläche ist 0. 1 Also: sin und daher 63,4 b) In der Vorderfläche PQS befindet sich der Eingang ABCD in Form eines symmetrischen Trapezes. C und D sind die Mitten der Strecken BS bzw. AS. AB hat die Länge 1m. Welchen prozentualen Anteil nimmt die Eingangsfläche bezüglich der Vorderfläche ein? Für den Flächeninhalt des Trapezes ABCD gilt: wobei die Länge der Mittellinine und die Höhe darstellen. Es gilt: und (siehe Teilaufgabe a)) 5 Damit gilt für 5 5 Für den Flächeninhalt des Dreiecks PQS gilt:, also Also gilt für den Anteil der Eingangsfläche an der Dreiecksfläche: 37,5%

10 Alternativ könnte man auch folgendermaßen argumentieren: Das gesamte Dreieck ABS hat den halben Flächeninhalt des Dreiecks PQS, da es zwar die gleiche Höhe aber nur die halbe Grundseite hat. Das Dreieck DCS wiederum hat nur ein Viertel des Flächeninhalts des Dreiecks ABS, da es sowohl seine halbe Höhe als auch seine halbe Grundseite hat. Damit nimmt das restliche Trapez drei Viertel der Fläche des Dreiecks ABS ein und hat damit drei Achtel des Flächeninhalts des Dreiecks PQS, also einen Anteil von 37,5%. c) Zur Beleuchtung wird im Zelt eine Lampe aufgehängt, die als punktförmige Lichtquelle angenommen werden soll. Ihr Licht fällt durch den Zelteingang nach draußen und wirft von diesem ein Lichtviereck ABC D auf den Boden vor dem Zelt. Berechnen Sie die Länge der Strecke C D, wenn die Lichtquelle 25cm unter der Zeltspitze hängt. Es genügt die Koordinaten eines der beiden Endpunkte der Strecke C D zu bestimmten, da der Betrag seiner x 2 -Koordinate der halben Streckenlänge entspricht. Dazu stellt man eine Gleichung der Geraden h auf mit dem Ortsvektor der Lichtquelle L als Stützvektor und dem Richtungsvektor oder. Der Punkt C hat die Koordinaten 0,5/0,25/1 0 0,5 Daher ist : 0 0,25 mit. 1,75 0,75 Der Schnittpunkt von h mit der Grundfläche ist C (x 3 -Koordinate gleich Null): 1,75 0,75 0, also Damit ist die x 2 -Koordinate von C : 0 0,25 Die Strecke C D hat die doppelte Länge.