Inhaltsverzeichnis der Lösungen. der Aufgaben des Nachschlagewerkes

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1 Inhltsverzeichnis der Lösungen der Aufgben des Nchschlgewerkes Grphen einer Funktion / Füllgrphen - Lösungen... II Prozentrechnung Lösungen...III Stz des Pythgors - Lösungen...IV Flächen / Flächeninhlte zweidimensionler Figuren Lösungen... V Ruminhlt / Volumen eines Körpers Lösungen...VII Trigonometrie in rechtwinkligen Dreiecken - Lösungen... VIII Sinus- und Kosinusstz Lösungen...IX Linere Prozesse Lösungen...XI Qudrtische Funktionen Lösungen... XIII exponentielle Wchstumsprozesse - Lösungen... XIV Whrscheinlichkeitsrechnung Lösungen...XV

2 Grphen einer Funktion / Füllgrphen - Lösungen Aufgbe : Höhe Zeit Die Flüssigkeit steigt bei gleichmäßiger Befüllung proportionl zur Zeit n. Der obere Teil ist enger, ht ber uch zylindrische Form, lso steigt die Flüssigkeit zwr proportionl zur Zeit, ber schneller ls im unteren Teil n. Aufgbe : So sieht der Flkon in etw us:

3 Prozentrechnung Lösungen Aufgbe Anteil Prozent Gekürzter Bruch Dezimlzhl 5 von 00 5% von 00 % 57 von 000 oder 5,7 von von 000 oder 87,5 von 00 7 von 50 oder 4 von 00 von 000 oder 0, von 00 Mehr ls ein Gnzes: von 00 5,7% 87,5% 4% 0,% % 0 0,5 00 0, , , , ,00 00, Aufgbe I) ) 0% 00 b) 0 % c) 5 % d) 40 % e) % II) ) b) 50 l 70 l c) 79m 5,86m d) 0kg kg Aufgbe I) Es ist dnch gefrgt, wie viel 45% von 40 Vokbeln sind: 00% 40 Vokbeln 5% Vokbeln 45% 8 Vokbeln Jn htte 8 Vokbeln richtig. II) 56% 9 Seiten % 7 Seiten 00% 700 Seiten Der Romn ht 700 Seiten. W III) p % 0,065 6,5% G 46 Der Preis wurde um etw 6,5% erhöht. Aufgbe 4 ) Die Sktes kosteten Ende Dezember 69,40. b) Nch der Reduzierung kosteten sie nur noch 5,46 c) Die Sktes kosteten 99% des ursprünglichen Preises. d) 0% von 54 sind weniger ls 0% von 69,40, d der Grundwert höher ist. Deshlb wird der Preis um mehr Euro verringert, ls er zuvor erhöht wurde.

4 Stz des Pythgors - Lösungen Die Lösungen wurden teilweise GERUNDET! Aufgbe : Sind die Dreiecke rechtwinklig? Begründe! ) nein, denn: 5² + 6,5² x 9² b) j, denn: 8² + 4² 0² c) j, denn: 5² + ² ² Aufgbe : Berechne! ) Die Länge der Kthete beträgt 8 cm. b) Die Digonlen des Rechtecks ist 7 cm lng. c) Die Figur ht einen Umfng von 04 cm. Aufgbe : Textufgben ) Der Mibum wr 7 m hoch. b) Ds Seil ist 6,07 m lng. c) An der Querstrße ht der Prkpltz eine Länge von 8 m. Aufgbe 4: Berechne! ) Die Seite c ist 0 cm lng. b) Der Umfng beträgt 94,8 cm. Aufgbe 5: Textufgben ) D der Abstnd zwischen dem Fuß der Fichte und der Telefonleitung nur,4 m beträgt, knn es ihm ungünstigen Fll pssieren, dss der Bum die Telefonleitung trifft. Wenn die Fichte, m über dem Erdboden bgesägt wird, ist der Stmm nur noch,7 m lng. Der Abstnd vom Stumpf zur Telefonleitung beträgt,89 m, so dss der Bum die Leitung nicht treffen knn. b) Die weißen Linien sind zusmmen 4,4 m lng. c) Ds Seil ht eine Länge von 6 m. d) J, die Digonle der Deckfläche ist 4,76 cm lng und somit länger ls der Bleistift. e) Die Leiter reicht 4,88 m hoch. 4

5 Flächen / Flächeninhlte zweidimensionler Figuren Lösungen Aufgbe ) b),5 cm, cm A Dreieck,85 cm 5,8 cm +,6 cm A Trpez cm 4, cm A Kreis 7, dm π π dm dm ; π 5 cm cm π 6 cm 50,7 cm c) (,6 ) 40,7 ² A Kreisring d) [ ] [ ] ( ) Aufgbe Aufgbe 5

6 Flächen / Flächeninhlte zweidimensionler Figuren Lösungen Aufgbe 4 Mn könnte hier uf zwei unterschiedliche Arten vorgehen. Entweder mn berechnet zunächst den Flächeninhlt des äußeren Kreisusschnitts und zieht dvon den Flächeninhlt des inneren Kreisusschnitts b oder mn berechnet den Flächeninhlt des gesmten Kreisrings und berechnet dnn den 09 großen Anteil. Hier wird der zweite Weg benutzt. Kreisring ( ) A π 4, ²,7² AKreisringusschnitt AKreisring π ( 4, ², 7² ) 9, Der Flächeninhlt der frbig hinterlegten Fläche ist c. 9,845 m² groß. Aufgbe 5 Die Länge des Rdius des großen Kreises entspricht der hlben Seitenlänge des Qudrts. Es folgt: A π 0,5 ² 0,785 großer Kreis ( ) Zeichnet mn sich zwei Hilfslinien ein, eine vom Mittelpunkt des großen Kreises (M) zur rechten oberen Ecke des Qudrts und eine von M zur rechten Seitenmitte des Qudrts, so entsteht ein rechtwinkliges Dreieck (es gibt ntürlich uch ndere Hilfslinien, die uch zur richtigen Lösung führen). Bezeichnet mn den Durchmesser des kleinen Kreises mit x, so hben die Ktheten des Dreiecks die Länge 0,5 und und die Hypotenuse ht die Länge (0,5+x). Nch dem Stz des Pythgors gilt nun ( ) ( ) 0,5+x ² 0,5² + 0,5² 0,5+x ² 0, 5 0,5 + x 0,5 x 0,5 0,5. D der Rdius der kleinen Kreise jeweils die Hälfte des Durchmessers ist, gilt ( 0,5 0,5) gru hinterlegte Fläche Agro ßer Kreis kleiner Kreis ( ) x 4 Akleiner Kreis 4 π 4 π π 0,5 0,5 0,5. 4 Für den Flächeninhlt der gesmten gru hinterlegten Fläche gilt folglich A + 4 A 0,9. Die gru hinterlegte Fläche ht einen Flächeninhlt von c. 0,9 m². 6

7 Ruminhlt / Volumen eines Körpers Lösungen Aufgbe ) V b) V c) G Kegel Kugel V π (,5 cm) 4 π (5 cm) 5, cm 66,7 cm 54 cm 4 cm (4 cm) ( cm) cm ; Prism G h cm 5 cm 0 cm 4 cm Aufgbe V Zyl π (0 cm) 85 cm 40 cm 40 l Die Tonne fsst c. 40 Liter. 50 dm 50 dm π ( dm) h h π 9 dm 50 l Wsser stehen in der Tonne c. 5 cm hoch. Aufgbe ) V (0 cm) 5 cm 500 cm Pyrmide 5, dm 5 cm 550 cm b) 550 cm 5 cm 0,5 cm bzw. 5 cm Aufgbe cm 600 cm x 550 cm 550 cm (0 cm) h h 00 cm 6,5 cm Die Grundknte müsste nun 0,5 cm lng sein bzw. die Höhe müsste 6,5 cm lng sein. x 4x 5 cm + π x (0 cm + 5π cm) x π cm 4, cm 5 cm Die Länge muss c. 4, cm betrgen. Aufgbe 5 ) V V 6 π 6 40 V 6 / π 59 b) In llen Fällen besitzt der Würfel ein Volumen von 6. Soviel Prozent blieben nch dem Ausschneiden des mssiven Würfels übrig : c. 59,6%, c. 65,09%, c. 7,8%. ( Prozentrechnung) Aufgbe 6 Besitzt der Würfel die Kntenlänge, dnn beträgt ds Volumen des Okteders: V V G Okteder Pyrmide 6 Ds Okteder nimmt dmit ein Sechstel des Würfelvolumens ein. 7

8 Trigonometrie in rechtwinkligen Dreiecken - Lösungen. Aufgbe: sin 6 : c sin 54 b : c (Winkelsumme im Dreieck) c : sin 6 b sin 54 c c,0 m b,67 m. Aufgbe: BC,5 m AC, m. Aufgbe: tn α,58 : 5,5 0,4665 α 5 sin α,58 : c c,58 : sin 5 c 6, cm 4. Aufgbe: tn h :, h, tn, 0,445 0,976 [km] cos, : s s,5 km Es werden etw 976 m überwunden und ds Seil ist,5 km lng. 5. Aufgbe: tn 4 x : 400 x 400 tn ,9 60 [m] Sie sind 60 m voneinnder entfernt. 6. Aufgbe: tn 86 x : 90 x 90 tn 86 x 87,06 m 7. Aufgbe: sin 0,549 r : ( r) 0,0045 r : ( r) r 78078,5 m d m 476,57 km 8. Aufgbe: ) sin α 5 : 00 0,5 α 8,6 b) sin α 0 : 00 0,0 α 5,74 sin α 5 : 00 0,5 α 8,6 sin α 0 : 00 0,0 α,54 sin α 0 : 00 0,0 α 7,46 9. Aufgbe: tn 40, x : 85 x 7,58 m tn 55,5 y : 85 y,68 m Länge des Risses:,68 m - 7,58 m 5,0 m Quelle: Freirbeit im Mthemtikunterricht der Klssen 8-0 Version.5 Aulis Verlg, 00 8

9 Sinus- und Kosinusstz Lösungen Aufgbe ) Gegeben sind ein Winkel, eine nliegende und die gegenüberliegende Seite. Nch dem sswbzw. WsS- Kongruenzstz ist die Konstruktion eindeutig, d >c ist. sinα b) sin γ c 0,454 γ 7,0 ; β 80 α γ 9 ; b sin β 0cm sin α A c sin β 4,6 cm Aufgbe ) Auf die Plnzeichnung wird hier verzichtet. Sie ist verhältnismäßig leicht nzufertigen. b) Vorgehen (eine Vrinte wird vorgestellt): Mn berechnet eine der beiden Digonlen, z.b. BD f. Dnch berechnet mn den Innenwinkel β (,f) (DBA). Drus ergibt sich durch Aufgbe Subtrktion β β β in dem Teildreieck BCD. In diesem Dreieck kennt mn nun β und die nliegenden Seiten BD f und BC b. Mit der Flächenformel für Dreiecke berechnet mn beide Teilflächen und ddiert sie. Wegen des 90 -Winkels α knn hier die Digonle BD f uch mithilfe des Stzes von Pythgors berechnet werden (nstelle des Kosinusstzes, uch weil cos 90 0). BD f + d d cos α 5,5m 7,5m ; sinα sin β d 0,9 β 67,4 ; β 0 67,4 4, 6 ; f A d sin α 907,5m ; A b f sin β 54m ; A ges 450m Mithilfe einer Skizze erkennt mn, dss genügend Dten gegeben sind um die Aufgbe zu lösen. Bezeichnet mn Fuß und Spitze des Gipfelkreuzes mit F und S und den gegebenen Berggipfel mit G, so ergibt sich ein unregelmäßiges Dreieck GFS, in dem lle drei Innenwinkel und die Seite FS,0m gegeben sind. Die Winkel sind γ ( FGS) α α 0,6 ; β (SFG) 90 + α, ; δ (FSG) 90 α 46, Mit dem Sinusstz bestimmt z.b. die Länge FS GF sin δ 0,6m. Bezeichnet mn mit δh den sin γ Höhenunterschied beider Berggipfel, so gilt in dem rechtwinkligen Dreieck mit GF ls Hypotenuse und α ls Innenwinkel: δ h GF sin α hoch. Aufgbe 4 5m. Also ist der zweite Berg H907m ) Auch hier wird uf die Plnzeichnung verzichtet. Mit Zirkelkonstruktion ergibt sich wie in ein Viereck. b) Strtegie: Gegeben sind Seiten des Vierecks und die zwei Digonlen e und f. Gesucht ist die Seite CD. Mn bestimmt zwei Winkel, z.b. α in der Ecke A zwischen Dreieck ABD und α ebenflls in A zwischen AD und AB im AC und AB im Dreieck ABC. α ist dnn α-α der Winkel in A im Dreieck ACD. Mit dem Kosinusstz lässt sich us α, AC und AD die gesuchte Seite CD berechnen: 9

10 Sinus- und Kosinusstz Lösungen AB cos α + AD ABAD BD 0,4 α 04,0 ; AB + AC BC cos α 0,6 α 5, ; α 0,4,0 5, 50, 9 ABAC CD AC + AD ACAD cos α 600m. 6,km km Die Geschwindigkeit des Bootes beträgt v 8,9. h h 0

11 Linere Prozesse Lösungen Aufgbe ) Aus den gegebenen Dten lässt sich ermitteln, dss bei linerer Abnhme je 00km Flug die 4.000kg kg Restmenge n Treibstoff um 4.000kg verringert. Also ist die Abnhme 40. Dies 00km km entspricht der Steigung des fllenden Grphen. 00km zuvor, lso m Strt, müssen 4.000kg Treibstoff mehr im Tnk gewesen sein, ds sind.000kg+8.000kg40.000kg. b) f (800) kg kg 8.000kg Restmenge c) s.o., f (0) kg d) kg kg kg 40 x x.000km km kg 40 km wäre die mximle Entfernung. e) siehe rechts Aufgbe Teilt mn die Strecke durch die Zeit, erhält mn die Geschwindigkeit, mit der Achim läuft. Die Strecke (x) ist dnn ds Produkt us Geschwindigkeit und Zeit x. Siehe rechts 6 x,5s 8,s brucht A. 0 für die ersten 60m. 00m b (x) x + m 4s B. ht bei Achims Strt noch 97m 97 zu lufen. x 4s,58s. 00 Also ist Achim vor Bernd im Ziel, denn er brucht nur,5s, ds sind 0,08s vor Bernd. In der Zeit von 0,08s legt Bernd 00m c. 0,08s 0,57m zurück, ds ist Achims Vorsprung. 4s 00m 00m Lösung durch Gleichsetzen der Funktionsvorschriften: b (x) x + m x (x) 4s,5s 00m x s,4s ist der Überholzeitpunkt. Dnn ist Achim,4s 84m gelufen s,5 4

12 Linere Prozesse Lösungen Aufgbe ) + b) Trif g ist eine proportionle Funktion, d.h. es gibt hier keinen Festbetrg, die Gebühr wird nur nch Verbruch berechnet. Trif g dürfte sich nur für Kunden mit niedrigem Verbruch lohnen. Trif h ist wieder eine linere Funktion mit einem hohen Festbetrg, dfür ber mit einer niedrigeren verbruchsbhängigen Komponente. Nur bei größeren Verbräuchen lohnt sich dieser Trif gegenüber Trif f. c) f (800) 0, ; g (800) 0, ; h (800) 0, Trif f ist mit 04 m günstigsten, dnn folgt Trif h mit 4 ; Trif g ist mit 88 m ungünstigsten d) 80 0,8 x + 60 x 667; 80 0,6 x x 500; 80 0,08 x + 50 x 75 0,8 0,6 0,08 Alle Angben in kwh. Mn sieht ds Trif f m günstigsten ist. e) Es sind die Schnittpunkte zwischen f und g sowie zwischen f und h zu berechnen. Der dritte Schnittpunkt spielt keine Rolle! 60 g (x) f(x) 0,6 x 0,8 x + 60 x, 0,8 90 h (x) f(x) 0,08 x+ 50 0,8 x + 60 x 900 0, Antwortstz: Ab c. kwh lohnt sich der Wechsel von Trif g zu Trif f, b 900 kwh lohnt sich dnn der Wechsel zum Trif h. Aufgbe 4 0km Wenn der Güterzug die Ausweichstelle nch 0km erreicht ht, sind h 0min vergngen. km 6 60 h Der Personenzug, der zu Beginn 5km hinter dem Güterzug wr und nch diesen 0min miniml km hinter ihm sein drf, knn lso mximl 5km + 9km4km in den 0min. zurückgelegt hben. Ds 4km km entspricht einer konstnten Geschwindigkeit von 84. h h 6

13 Qudrtische Funktionen Lösungen Aufgbe Es wird zuerst die Ergänzungsufgbe gelöst: Die Wurfweite W ist die zweite Nullstelle der Prbel. ( x + b) w(x) x + b x 0 x 0 x 0 x Also: Teilt mn b durch erhält mn die Wurfweite. Der x-wert des Scheitelpunkts liegt stets in der Mitte beider Nullstellen, lso bei b x S. Setzt mn x S in w(x) ein, erhält mn den y-wert, somit die Wurfhöhe H: b b b w( ) Spezielle Lösungen: b Höhe H b + b Weite W. 0,05 4,5 0, ,05,0 45, ,0 0,9 0,5 90 Aufgbe ) Wertetbelle b b Zeit x in s 0, 0, 0,5,5 4 b Höhe y in m 9,95 9,8 8,75 5 -,5 (!) b) Auflösen der Gleichung h 5 x h 0 nch (positivem) x: x, 4 5 Nch c.,4s erreicht der Körper us 0m Fllhöhe den Boden. h c) Aus 5m Höhe benötigt der zweite Gegenstnd x Sekunde bis zum Boden. D 5 Aufgbe er 0,5s später losgelssen wurde, kommt er lso,5s nch dem Loslssen des ersten Gegenstnds uf dem Boden n. Der erste benötigte ber nur,4s, lso ist er uch zuerst uf dem Boden. ) Die Gleichung einer chsensymmetrischen Prbel lutet y x + c. Für x0 ist y-8. Drus 8 folgt sofort c-8. Für x ± 0 erhält mn y0. Drus folgt b) Es ist nch denjenigen x gefrgt, bei denen y-4 gilt. 4 x 8 00 x x ± 00 ± 4,. Die Fhrrinne drf lso c. 8m breit sein; sie 50 ht zum Ufer jeweils etw 6m Abstnd.

14 exponentielle Wchstumsprozesse - Lösungen Aufgbe ) f(n) n c, c f(0) ,.000 von sind %, % 0, 99, n in Jhren b) f(7) , , f(7) , c) f(n) ,99 n log 0,5 69 Nch c. 69 Jhren. Aufgbe f(n) n c, c gesucht, + 6%, 06 Sie müsste c..0 einzhlen. Aufgbe f(n) n c, 50mg n 0, 99 f(n) n ,99,, n in Jhren: f(5) c, , c.00, 5. c, n in Stunden, f() 50 5 oder 0, 5, 0, 79 f(n) 50 0,79 n 0,0, log 0,000 6, n 0, 79 Zwischen 6 und 7 h nch Zerfllsbeginn (7 bzw. 8 h nch Einnhme 7,86) Aufgbe 4 f(n) 0 n c, n in Stunden, f() c ,, 8, c 0 49,8., f(0) c 0 57 Am Anfng wurden c. 0 Bkterien eingesetzt. 4

15 Whrscheinlichkeitsrechnung Lösungen Aufgbe Augenzhl Absolute Häufigkeit Reltive Häufigkeit 7,75% 4,75% 6,5% 4,75% 8,75% 7,5% Aufgbe Whrscheinlichkeit beim Ziehen Aufgbe A: Der Schüler spielt ein Siteninstrument 74 p(a) 0, 759 B: Der Schüler spielt nicht Klvier 66 p(b) 0, Aufgbe 4 Es gibt genu 8 56 verschiedene mögliche Reihenfolgen. ) Es gibt zwei für ds Ereignis günstige Möglichkeiten (nur Zhl oder nur Wppen), dher ist die Whrscheinlichkeit p(" Münzbilder einer Sorte") 0,78% b) Es gibt zwei für ds Ereignis nur eine günstige Möglichkeit, dher ist die Whrscheinlichkeit p(wwzzzzzz) 0,9% (W steht für Wppen, Z für Zhl). 56 c) Die Whrscheinlichkeit für ds Gegenereignis, kein einziges Ml Zhl zu werfen ist gleich der Whrscheinlichkeit, nur Wppen zu werfen. Alle nderen Fälle sind für ds gesuchte Ereignis günstig. Es folgt p(" mindestens einml Zhl") p(wwwwwwww) 99,6%. 56 5