Algorithmen und Datenstrukturen VO UE 2.0 Nebentermin Vorlesungsprüfung / 4. Übungstest SS

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1 Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen VO UE.0 Nebentermin Vorlesungsprüfung /. Übungstest SS Oktober 00 Machen Sie die folgenden Angaben bitte in deutlicher Blockschrift: Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studienkennzahl: Anzahl abgegebener Zusatzblätter: Prüfung soll gewertet werden als (Mehrfachnennungen nicht möglich): Vorlesungsprüfung (Default). Übungstest (SS0) Vorlesungsprüfung und. Übungstest (SS0) Legen Sie während des Tests Ihren Studentenausweis vor sich auf das Pult. Sie können die Lösungen entweder direkt auf die Angabeblätter oder auf Zusatzblätter schreiben, die Sie auf Wunsch von der Aufsicht erhalten können. Es ist nicht zulässig, eventuell mitgebrachtes eigenes Papier zu verwenden. Die Verwendung von Taschenrechner, Mobiltelefonen, Skripten, Büchern, Mitschriften, Ausarbeitungen oder vergleichbaren Hilfsmitteln ist unzulässig. A: A: A: A: A: Summe: Erreichbare Punkte: Erreichte Punkte: Viel Erfolg!

2 Aufgabe.A: Ω/O/Θ-Notation (0 Punkte) a) ( Punkte) Fügen Sie zwischen den verschiedenen Aufwandsabschätzungen in Θ-Notation in die dafür vorgesehenen Kästchen den richtigen Vergleichsoperator <, = oder > ein. b) ( Punkte) Θ(log n) Θ( log n) Θ( n ) Θ(n log n) Θ(n!) Θ( n ) Θ( n ) Θ(n ) Bestimmen Sie die Laufzeiten der beiden unten angegebenen Algorithmen in Abhägigkeit von n in Θ-Notation. Verwenden Sie hierfür einen möglichst einfachen Term. A a = n ; solange a > 0 { für b =,..., n { c = c + b; } a = a/ ; } c) ( Punkte) Gegeben sei die folgende Funktion: f(n) = log n n + + n n, n gerade log n + log n log n, B i = ; a = ; wiederhole i = i + ; a = a ; bis i log n; für j = 0,..., a { x = x + j; } n ungerade Kreuzen Sie in der folgenden Tabelle die zutreffenden Felder an: f(n) ist Θ(.) O(.) Ω(.) keines n n log n n log n Anmerkung: Jede Zeile wird jeweils nur dann gewertet, wenn alle Felder der Zeile richtig ausgefüllt sind.

3 Aufgabe.A: Mr. Monk baut einen Heap ( Punkte) Im Zuge der Ermittlungen zu seinem neuesten Kriminalfall stößt Mr. Monk auf die Datenstruktur des Heaps, welche die entscheidende Wende in seinen Bemühungen bringt, den Täter zu überführen. Doch auch nach dem natürlich erfolgreichen Abschluss dieses Falles bleibt ein tiefes Unbehagen in Mr. Monk zurück, wenn er an einen Heap denkt. Diese Datenstruktur irritiert ihn zutiefst, denn ihm herrscht hier viel zu viel Chaos. Natürlich, die Heap-Bedingung ist erfüllt, die für einen Maximum-Heap folgendermaßen lautet ( Punkt): , aber über die Ordnung der Kindknoten im Heap wird keine Aussage getroffen, d.h. betrachtet man den Heap in seiner Baumdarstellung, so kann bei einem Knoten der Schlüssel des linken Kindknoten kleiner als der des rechten Kindknotens sein, bei einem anderen Knoten ist es aber genau umgekehrt. Für die sprichwörtliche, fast schon krankhafte Ordnungsliebe von Mr. Monk eine unhaltbare Situation. Da Mr. Monk auch im Bereich der Computerwissenschaften bewandert ist, möchte er nun eine Variante von Heap-Sort implementieren, die wann immer möglich einen Heap mit zusätzlich eingehaltener Monk-Bedingung verwendet, d.h. dass zusätzlich zur Heap-Bedingung der Schlüssel des linken Kindknotens eines Knotens im Heap immer kleiner oder gleich dem Schlüssel des rechten Kindknotens ist. Heap-Sort operiert prinzipiell auf einem Heap, der in einem Feld A der Größe n abgespeichert ist (Array-Darstellung). In dieser Darstellung ist die Monk-Bedingung allerdings nicht auf triviale Art und Weise effizient herzustellen bzw. einzuhalten im Gegensatz zu der Darstellung des Heaps als binärer Baum, wo dies relativ einfach ist. Mr. Monk implementiert daher die Prozedur Monkify(...), die aus folgenden drei Einzelschritten besteht: Umwandlung des Heaps von seiner Array- in die Baumdarstellung. Herstellung der Monk-Bedingung innerhalb der Baumdarstellung durch das Umhängen ganzer Unterbäume, um die Schlüssel der Kindknoten in die gewünschte Ordnung zu bringen. Rückumwandlung des Heaps von der Baum- in die entsprechende Array-Darstellung. Jeder dieser Schritte ist in Θ(n) (n: Anzahl der Elemente im Heap) effizient durchführbar. a) ( Punkte) Auch wenn Mr. Monk gerne Ordnung in jeden Heap gebracht hätte, so muss er sich mit seiner Vorgehensweise doch auf Heaps mit n = i, i, Elementen beschränken. Warum ist diese Einschränkung notwendig, d.h. welches Problem umgeht Mr. Monk bei der Rücküberführung der Baum- in die Array-Darstellung des Heaps (beschreiben Sie das Problem in maximal - Sätzen)? Hinweis: Visualisieren Sie sich, was die Bedingung n = i, i für einen Heap bedeutet.

4 b) ( Punkte) Geben Sie detaillierten Pseudocode für die folgende Funktion bzw. Prozedur an, die jeweils eine Laufzeit von Θ(n) nicht überschreiten dürfen: ( Punkte) Step(A, n): Wandeln Sie den im Feld A gespeicherten Heap mit n Elementen (n = i, i ; Indizes von... n) in seine Baumdarstellung um und retournieren Sie als Ergebnis eine Referenz auf den Wurzelknoten. Ein Knoten K des binären Baumes soll die Datenfelder K.s (Schlüssel) sowie K.left und K.right besitzen (Verweis auf den linken bzw. rechten Kindknoten). ( Punkte) Stellen sie mit der rekursiven Prozedur Step(W) im als binären Baum gegebenen Heap mit Wurzel W (Ergebnis von Step(A, n)) durch das Umhängen entsprechender Unterbäume die Monk-Bedingung her. c) ( Punkte) ( Punkt) Welche Laufzeitkomplexität hat Heap-Sort in Abhängigkeit von n in Θ- Notation? ( Punkte) Welche Auswirkungen auf die Laufzeit hat es, wenn während der Sortierung mit Heap-Sort für jeden Heap mit n = i, i, Elementen zusätzlich die Prozedur Monkify(...) ausgeführt wird? Geben Sie die Laufzeit in Θ-Notation an und begründen Sie Ihre Antwort kurz. ( Punkte) Nehmen wir an, dass Mr. Monk das unter Punkt a) angesprochene Problem effizient lösen kann, d.h. Monkify(...) kann nun in einem beliebigen Heap die Monk-Bedingung in Θ(n) herstellen. Geben Sie nun die Laufzeit eines modifizierten Heap-Sorts in Θ-Notation an, wenn jeder als Zwischenergebnis erzeugte Heap mit Monkify(...) bearbeitet wird. Begründen Sie Ihre Antwort kurz. ( Punkt) Kann die Höhe des Heaps in seiner Baumdarstellung in Θ-Notation abhängig von n abgeschätzt werden? Wenn nein, geben Sie eine möglichst scharfe (genaue) obere Schranke in O-Notation an. Wenn ja, wie lautet die Abschätzung in Θ-Notation? Begründen Sie in beiden Fällen Ihre Antwort kurz.

5 Aufgabe.A: Minimaler Spannbaum (0 Punkte) Gegeben sei ein zusammenhängender, ungerichteter Graph G = (V, E) mit Kantengewichten w e 0. Zeichnen Sie in beiden Teilen der Aufgabe jeweils den resultierenden Spannbaum (MST) deutlich ein und schreiben Sie jeweils eine Liste der Gewichte aller Kanten, die Teil des Spannbaums sind, in genau jener Reihenfolge, in der sie in den Spannbaum aufgenommen werden. Geben Sie außerdem das Gesamtgewicht der im Spannbaum enthaltenen Kanten an. a) ( Punkte) Wenden Sie den Algorithmus von Kruskal auf den folgenden Graphen an: b) ( Punkte) Wenden Sie den Algorithmus von Prim (Startknoten ) auf den folgenden Graphen an:

6 Aufgabe.A: Suchen in Texten: Tries (0 Punkte) a) ( Punkte) Bauen Sie einen Indexed Trie auf, der die folgenden Wörter aufnehmen kann, wobei die Größe eines Knotens dieses Tries minimal sein soll: ABAD, ABD, BA, FAD, AFB, BDA, FBD Zeichnen Sie den resultierenden Indexed Trie. b) ( Punkt) Wenden Sie Suffix Compression auf Ihren unter Punkt a) erstellten Indexed Trie an und zeichnen Sie diesen neu. c) ( Punkte) Wandeln Sie Ihren unter Punkt b) erstellten Indexed Trie mit Suffix Compression in einen Packed Trie um. Verwenden Sie dazu die Greedy-Heuristik aus der Vorlesung bzw. aus dem Skriptum. Zeigen Sie dabei mit Hilfe einer kleinen Graphik (wie in der Vorlesung bzw. im Skriptum), auf welche Weise die Knoten gepackt werden, und zeichnen Sie den Packed Trie. d) ( Punkt) Können in einem Packed Trie zwei unterschiedliche Knoten den selben Anfangsindex erhalten? Begründen Sie Ihre Antwort in maximal - kurzen Sätzen.

7 Aufgabe.A: Optimierung: Branch and Bound ( Punkte) Erklären Sie möglichst kurz aber präzise das Prinzip von Branch and Bound. Gehen Sie dabei besonders auf die Punkte ein, die Branch and Bound von der kompletten Enumeration unterscheiden. Geben Sie ein Beispiel für ein Optimierungsproblem, welches mit Hilfe von Branch and Bound sinnvoll gelöst werden kann, und erklären Sie die dabei verwendete Vorgehensweise in bis kurzen Sätzen.