S2.26 Beschreibe folgende Messwerte durch eine geeignete Funktion und zeichne diese. Wie groß ist die Änderungsrate in [3; 5] bzw. für t = 4?

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1 1 1 Komplexe Zahlen S1.43 A, B, D, E S1.44 A-, B-8, C-1, D-3, E-6, F-4 S1.4 A--, B , C-6-7-8, D-1-3, E-4, F-7, G-3 S1.46 C-E-F-G-H-J Grundlagen der Differenzialrechnung S.6 Beschreibe folgende Messwerte durch eine geeignete Funktion und zeichne diese. Wie groß ist die Änderungsrate in [3; ] bzw. für t = 4? Messwert Zeit t allgemein: f(x) = a x² + b x + c Gleichung 1: 0 = a 0 + b 0 + c Gleichung : 1 = a 4 + b + c Gleichung 3: 9 = a 36 + b 6 + c 1 a, b = 0 und c = 0 4 f 1 4 t t Beschriftung der Achsen - x-achse: Zeit t - y-achse: Messwert y(t) bzw. abhängige Größe/Variable - Einheitslänge 1, besonders bei unterschiedlichen Achsenmaßstäben - Pfeile an den Achsen Hier wird ein quadratischer Zusammenhang vermutet. Das Gleichungssystem kann mit Hilfe einer Software (Computer, CAS Taschenrechner etc.) bzw. durch Additions-, Substitutions- oder Eliminationsverfahren gelöst werden. ( ) ( ) Die durchschnittliche Änderungsrate für eine Funktion wird durch den Differenzenquotient bestimmt. e) 1 1 f t t t f (4) = 4 Die Tangente an f(t) an der Stelle t = 4 hat die Steigung. Die Änderung des Messwertes zum Zeitpunkt t = 4 beträgt. S.7 Ermittle die Gleichung der Tangente an f(x) an der Stelle x 0 = 1. ( )

2 {} Der Nenner darf nicht gleich null sein. ( ) ( ) ( ) ( ) f (1) = 1 f (x 0 ) ist die Tangentensteigung im Punkt P(x 0 f(x 0 )). Tangentengleichung: y = x Durch die Hauptform y = k x + d, durch die Normalform a x + b y = c oder durch die Parameterform. S.8 Beschrifte den Funktionsgraphen von f(x) [Nullstellen, Extremwerte] und skizziere die erste Ableitungsfunktion. Bestimmung der Nullstellen. N ( 1,88 0), N (0,3 0), N (1,3 0), Bestimmung der Extrempunkte von f(x). H ( 1 3), T (1 1) (siehe auch Graphik) Bestimmung der Extrempunkte von f (x) Wendepunkt: W(0 1) Ermittlung der Gestalt des Graphen von f (x) Nach oben geöffnete Parabel f (x) = 3 x² 3. a1) Es gilt: f(x) = 0. Die Funktion f(x) = x³ 3 x + 1 hat drei Nullstellen, also entspricht die Anzahl der Nullstellen der Ordnung der Funktion f(x). a3) Eine Polynomfunktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. b1) Die Tangenten verlaufen waagrecht, das heißt parallel zur x-achse und haben daher die Steigung null. Die erste Ableitung entspricht der Steigung einer Tangente und hat daher an einer Extremstelle den Wert null. c1) An jenen Stellen x, für die gilt: f (x) = 0 und f (x) < 0 bzw. f (x) > 0 Zwischen zwei Extremstellen von f(x). Im sogenannten Wendepunkt W. Die Ableitungsfunktion f (x) ist eine Parabel, hat also die Ordnung. 3 Kurvendiskussion S3.18 Analysiere die Funktion D f =. 3 f x x 4 x 6 x hinsichtlich ihrer Eigenschaften. 3 Reelle Zahlen, die zu einem nicht definierten Term führen, werden ausgeschlossen.

3 3 f'(x) = x² 8 x + 6 f''(x) = 4 x 8 f'''(x) = 4 f''''(x) = 0 f(x) = 0 drei Nullstellen von f(x) f'(x) = 0 x = 1 x = 3, zwei Extremwerte von f(x) f''(1) = 4 < 0 Maximum f''(3) = 4 > 0 Minimum f''(x) = 0 x = Wendepunkt von f(x), weil f'''() = 4 f(x) ist monoton steigend in ] ; 1[ und ]3; [ bzw. monoton fallend in ]1; 3[; weiter ist f(x) in ] ; [ negativ bzw. ]; [ positiv gekrümmt Grundsätzlich unendlich viele; für eine Kurvendiskussion sind die ersten drei Ableitungen relevant. c1) Für eine Extremstelle ist f'(x) = 0 u. f''(x) 0. Für eine Wendestelle ist f''(x)=0 und f'''(x)0. c3) Für f'(x) = f''(x) = 0 liegt ein Sattelpunkt vor. c4) An Randextremwerten und an anderen nicht differenzierbaren Stellen können die Ableitungen nicht berechnet werden. Monotonie bzw. Krümmung erkennt man an der ersten bzw. zweiten Ableitung bzw. anhand einer Skizze. e) Überprüfung durch Anfertigen einer Skizze. Maßstab/Einheitslänge auf den Achsen. S3.19 Der Graph der Funktion f(x) hat in E ( ) einen Extrempunkt. Analysiere die Funktion bzgl. ihrer Eigenschaften und zeichne den Funktionsgraphen von f(x). f x 3 x a, a und k k x D f = \{0} Alle x, für die der Nenner null wird, müssen aus ausgeschlossen werden. 3 x a f x und f x k x 3 3 x a k x b1) f f g f g g g f g f g f g a = 16, k = 6 c1) Die erste Ableitung hat an einer Extremstelle hat den Wert null. Eine Tangente in einem Extrempunkt hat die Steigung null, das heißt, sie ist waagrecht. f''() = 1 an Stelle x = ist ein Minimum Ein Sattelpunkt. S3.0 Die Kosten einer Produktion lassen sich durch die Funktion K(x) = x² 14 x + beschreiben; die Preisfunktion lautet p(x) = 0, (1 x) für x [0; 1]. Berechne das Erlösmaximum, das Gewinnmaximum, die Cournot sche Menge, die Definitionsmenge für die Kostenfunktion.

4 4 x E x p x x 6 x G x E x K x x 0 x E x 6 x 0 x 6 G x x 0 0 x 4 E x 1 0 Maximum G x 0 Maximum G(4) = 1 Der Cournot sche Menge liegt bei 1 Stück. K x 4 x 14 0 x 3, D x x 3, K a1) Gewinn ist Differenz aus Erlös und Kosten. Die Kostenfunktion setzt sich aus variablen Kosten k v (x) und Fixkosten k f zusammen. a3) Die Erlösfunktion ist als Produkt von Preisfunktion p(x) und Stückzahl x definiert. a4) Die Preisfunktion p(x) kann konstant, linear oder quadratisch sein. b1) Tangenten an den Graph von E(x) und G(x) verlaufen waagrecht durch Hoch-/Tiefpunkte. Die erste Ableitung hat an einer Extremstelle den Wert null. An den Nullstellen von f''(x) bzw. den Wendestellen von f(x) hat die erste Ableitungsfunktion einen Hoch- /Tiefpunkt. Wenn die Kostenfunktion quadratisch ist, dann ist die Grenzkostenfunktion linear, wenn K(x) eine Funktion dritter Ordnung ist, dann ist K'(x) eine Parabel. 4 Anwendungen der Differenzialrechnung S4.3 Eine Kunststoffplatte hat die Form eines rechtwinkeligen Dreiecks mit den Kathetenlängen = 18 cm, = 4 cm. Durch Schnitte parallel zu den Katheten ist ein Rechteck mit maximaler Fläche heraus zu schneiden! Berechne diese maximale Fläche!, = y A(x, y) = x y Maximum NB: : = : 18 : 4 = (18 x) : y A(x) = 4x A (x) = 0 x = 9 cm A (x) = a1) Welche Werte für x und y überhaupt in Frage kommen, sprich der Definitionsbereich der Zielfunktion. Denn nur diese Werte sind auch mögliche Extremwerte. Die Variablen sollten immer dem Problem angepasst gewählt werden, damit Zielfunktion und NB möglichst einfach sind. b1) Üblicherweise ist die Zielfunktion von zwei Variablen abhängig. Die NB stellt einen Zusammenhang zwischen gegebenen Größen und gesuchten Größen her! Einsetzen liefert eine Zielfunktion in einer Variablen. Prinzipiell sind mehrere NB möglich hier z. B.: könnte AC als lineare Funktion aufgefasst werden, auf der ein Eckpunkt des Rechtecks liegt. c1) Die erste Ableitung muss null sein. Die Zielfunktion hat an diesen Stellen eine waag-

5 rechte Tangente. c3) Das Vorzeichen der zweiten Ableitung entscheidet über Hoch- oder Tiefpunkt. c4) Falls kein Extremwert vorliegt, so könnten am Rand des Intervalls Randextrema liegen, oder die Aufgabe ist mit den Angaben nicht sinnvoll gestellt. A max = x y = 9 cm 1 cm = 108 cm² Es entsteht eine allgemeingültige Lösung, in die dann spezielle Werte eingesetzt werden. S4.4 Eine Hauptwasserleitung beginnt in A und soll in P in zwei gleich lange Nebenleitungen zu den Orten B und C abzweigen. Die Baukosten betragen 1400 /km (Hauptleitung) und 900 /km (Nebenleitung). Es gilt: km, km. Wie weit muss der Verzweigungspunkt P von A entfernt sein, damit die Gesamtkosten minimal sind? = x und = 8 x K(x, y) = 1400 (8 x) y Minimum Unter der Wurzel entsteht ein einfacherer Ausdruck, was die weitere Rechnung erleichtert. NB: Strahlensatz, Pythagoras, fix vorgegebene geometrische Größen, Funktionen, Kegelschnitte (Kapitel ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 1, =,474, ( ) Minimum; c1) Ja! Gemeinsame Faktoren dürfen weggelassen werden. Da eine Summe vorliegt, darf nicht quadriert werden. Die Wurzel ist eine zusammengesetzte Funktion mit dem Radikand als innere Funktion. Innere Ableitung beachten! d1) Eine einfache quadratische Gleichung. Die Gleichung hat zwei Lösungen. Die negative fällt aufgrund der Angaben weg. d3) Es geht nur um das Vorzeichen der zweiten Ableitung, deshalb ist ein Vereinfachen nicht notwendig. e) K(,) e1) Nein! Die Vereinfachung dient der leichteren Bestimmung der Stellen, an denen Extremwerte sein könnten. e) Es werden Sonderfälle betrachtet. Hier die gesamte Strecke AD als Hauptleitung, DB und DC als Nebenleitungen. Kosten dafür bestimmen. Die tatsächliche Lösung muss dann kleiner sein. f) Ja! Es kann auch ein Winkel als Variable verwendet werden. f1) Über Sinus, Cosinus und Tangens werden ja zwei Seiten miteinander verknüpft. f) Gleiche Kosten pro km für Haupt- und Nebenleitung. Nichtlineare analytische Geometrie

6 6 S.16 Berechne die Koordinaten jener Punkte, die von A (3 ), B (7 14) gleich weit entfernt sind und vom Punkt M( 3 4) den Abstand d = haben. Wie groß müsste man den Abstand d wählen, damit die Aufgabe keine Lösung hat? 1 Der Richtungsvektor AB 4 ist ein Normalvektor der Streckensymmetrale. Mit dem 3 Halbierungspunkt H ( 8) der Strecke AB ergibt sich s AB : x + 3y = 9 a1) Alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben, liegen auf der Streckensymmetrale der beiden Punkte. Sie steht normal auf die Strecke AB und geht durch den Halbierungspunkt der Strecke AB. k: (x + 3) + (y 4) = 0 Alle Punkte auf der Kreislinie k haben vom Punkt M ( 3 4) den Abstand d =. Die Streckensymmetrale s AB hat mit der Kreislinie k zwei Schnittpunkte: S 1 ( 4 11), S ( 9) Die Punkte der Durchschnittsmenge erfüllen beide Bedingungen; sie haben von M den Abstand d und sind von A und B gleich weit entfernt. d min = 10. Der Normalabstand des Kreismittelpunkts von der Tangente ist gleich dem Radius des Kreises. e) Für d < d min, d. h. d < 10 gibt es keine Lösung. Der Normalabstand des Kreismittelpunkts von einer Passante ist größer als der Radius des Kreises. S.17 An die Ellipse ell: x + 144y = 3600 sind jene Tangenten zu legen, die parallel zu den Sehnen zwischen Hauptscheitel und Nebenscheitel sind. Berechne die Koordinaten der Berührungspunkte dieser Tangenten. A ( 1 0), B(1 0), C(0), D(0 ). Die Koordinaten der Haupt- und Nebenscheitel ergeben sich mit Hilfe von a und b der Ellipse: A ( a 0), B (a 0), C (0, D (0. Die Steigung der Sehne zwischen Haupt- und Nebenscheitel beträgt k 1 Die Steigung einer Geraden zwischen zwei Punkten ermitteln wir mit Hilfe des Differenzenquotienten y k x Die mit der Berührbedingung aufgestellte Gleichung für k und d lautet: 144k + = d Die Berührbedingung für die Ellipse lautet a k + b =d Es ergibt sich: d Wir erhalten eine quadratische Gleichung. e) f) g) Gleichungen der Tangenten: x 1y 60 Man könnte die Tangenten mit der Ellipse schneiden. Eine weitere Möglichkeit ist der Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Gleichung der Tangente. Wir berechnen nur den Berührungspunkt im ersten Quadranten. Wir bringen die Gleichung auf die Form ax + by = c durch entsprechende Äquivalenzumformungen Wir wählen die zweite Möglichkeit, da das Schneiden einer Ellipse mit einer Geraden auf eine quadratische Gleichung führt. Wegen der symmetrischen Lage genügt es, nur einen Punkt zu berechnen.

7 7 h) T 1 T T - 6 T 3-6 Einsetzen der berechneten Punkte in die Gleichung der Ellipse oder der Tangenten. S.18 Von welchen Punkten der Ellipse 9x + y = erscheint die Strecke zwischen den beiden Brennpunkten unter einem rechten Winkel. Die gesuchten Punkte liegen auf der Ellipse und auf dem Thaleskreis mit dem Mittelpunkt M (0 0) und dem Radius r = e. Die Lösungsmenge ergibt sich als Schnittmenge der Ellipse und des Thaleskreises. Aufgrund der Symmetrie beider Kurven erwarten wir vier zu den beiden Koordinatenachsen symmetrisch liegende Punkte. Die Koordinaten der Punkte lauten: P 1 P P P Alle Punkte, von denen aus man die Strecke F 1 F unter einem rechten Winkel sieht liegen auf dem Thaleskreis. Das ist ein Kreis, der diese Strecke als Durchmesser hat. Ein Kreis in Mittelpunktlage hat mit einer Ellipse in erster Hauptlage vier Schnittpunkte, vorausgesetzt der Kreisdurchmesser ist größer als die Nebenachsenlänge und kleiner als die Hauptachsenlänge der Ellipse. S.19 Kreuze an, ob g eine Sekante, Tangente oder Passante ist. Gerade g Kegelschnitt Lagebeziehung 4x y = 4x + y = 1 Sekante Tangente Passante y = x + 4 y² = 10 x Sekante Tangente Passante y = x x² y² = Sekante Tangente Passante 6 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik S6.4 A--4, B- S6. 0,90; 0,0; 0,30; 0; e) 0,08 S6.6 Das Kopiergerät in einem Copyshop ist gerade repariert worden, produziert aber dennoch einen Ausschuss von 8 %. Frau Eilig macht 1 Kopien und zählt die fehlerhaften. ( ) ( ) Wahrscheinlichkeitsfunktion X = Anzahl der fehlerhaften Kopien ; Es sind nur zwei Versuchsausgänge (Verwendbare/Nicht verwendbare Kopie) möglich, jeder Versuch ist unabhängig vom vorhergegangenen. Die Fragestellung bezieht sich auf das Auftreten eines gesuchten Merkmals (fehlerhafte Kopie) in einer vorgegebenen Anzahl von Versuchsdurchführungen (hergestellte Kopien) max: k = 1; Addition von nichtnegativen Zahlen bis 1 erreicht wird

8 8 Verteilungsfunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion: Wert des grünen Balkens P(X = ) = 0,73 Verteilungsfunktion: Wert des grünen Balkens minus Wert des roten Balkens Wahrscheinlichkeitsfunktion: Werte der grünen Balken addieren P(3 X 6) = 0,600

9 9 Verteilungsfunktion: Wert des grünen Balkens minus Wert des roten Balkens Verteilungsfunktion: Eins minus Wert des roten Balkens e) P(X ) = 0,3403 S6.7 Jugendliche essen zu 6% gerne Fast Food. Das Ereignis E ist Unter 10 Jugendlichen essen genau 110 gerne Fast Food. Voraussetzung: Ereignisse voneinander unabhängig Ungenauigkeit: In der Realität ist die Binomialverteilung nur für große n exakt, d. h. p = 0,6 in der Realität wird sich die Wahrscheinlichkeit auch für relativ große n geringfügig ändern. Binomialkoeffizient: Anzahl der möglichen Anordnungen für die beiden Eigenschaften isst gerne fast Food und isst nicht gerne Fast Food 0,6 110 Wahrscheinlichkeit für:110 Jugendliche essen gerne Fast Food 0, Wahrscheinlichkeit für: 40 Jugendliche essen nicht gerne Fast Food Multiplikation: UND-Verknüpfung von Wahrscheinlichkeiten n = 00