1 0.5h Gymnasium St. Antonius, Appenzell, Maturaprüfung 2011, Seite h Kantonsschule Romanshorn, Thurgau, Maturaprüfung 2013, Seite 6

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1 Analysis Vorzeigeaufgaben: Block Zeit Aufgabe 1 0.5h Gymnasium St. Antonius, Appenzell, Maturaprüfung 2011, Seite 2 0.5h Kantonsschule Romanshorn, Thurgau, Maturaprüfung 2013, Seite 3 0.5h Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2011, Seite 4 e) 2 0.5h Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2009, Seite 5 d) 0.5h Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2009, Seite 5 b) 0.5h Kantonsschule Romanshorn, Thurgau, Maturaprüfung 2013, Seite 6 Empfohlene Bearbeitungsreihenfolge: Block Zeit Aufgabe 1 1h Kantonsschule Romanshorn, Thurgau, Maturaprüfung 2013, Seite 7 a) Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2010, Seite 8 a) Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2012, Seite 9 b) 1h Kantonschule Aarau, Maturaprüfung 2008, Seite 10 Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2008, Seite 11 Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2009, Seite 12 1h Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2009, Seite 12 b) Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2009, Seite 5 a) Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2008, Seite 13 e) 2 1h Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2008, Seite 13 g) Kantonsschule Romanshorn, Thurgau, Maturaprüfung 2013, Seite 7 b) 1h Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2011, Seite 14 e) Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2010, Seite 8 c) Gymnasium Muttenz, Baselland, Maturaprüfung 2011, Seite ) 1h Kantonschule Aarau, Maturaprüfung 2008, Seite 16 Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2013, Seite 17 1

2 Gymnasium St. Antonius, Appenzell, Maturaprüfung 2011 ev. ohne T.R.? Gegeben sei die Funktion f(x) = x2 x 2 x+2 a) Bestimme ihre Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und die Asymptoten. b) Zeichne unter Verwendung weiterer Punkte den Graphen k der gegebenen Funktion (Einheit 2H). c) Hat k eine Punkt- oder Achsensymmetrie? Begründe! d) Die Tangenten an k in den Punkten P( 3 ) und Q( 2 ) schneiden sich in S. Gib die Koordinaten von S und den Schnittwinkel ϕ der beiden Tangenten an. e) A( 2 0) und B(t f(t) ) mit t > 2 sind die Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. Bestimme t so, dass der Umfang U(t) dieses Rechtecks minimal wird. Gib auch U min an. Lösung: a) NS: x 1 = 2, x 2 = 1 HP: ( 4 9) und TP: (0 1) WP: keine schiefe Asymptote: y = x 3 vertikale Asymptote bei x = 2 mit lim x 2 f(x) = und lim x 2 + f(x) = d) S( ) und ϕ = resp e) t = 2 2 U min = c) keine Symmetrie b) 2

3 Kantonsschule Romanshorn, Thurgau, Maturaprüfung 2013 Das Höhenprofil einer Bergwanderung kann näherungsweise durch den Funktionsgraphen im Bild unten dargestellt werden. Die Wanderung beginnt im Ursprung O(0 0) des Koordinatensystems. Eine Raststelle befindet sich in einem flachen Wegstück bei R(2 2.4) (hier ist die Steigung Null), an der steilsten Stelle S(4. 3.2) der Wanderung vom Rastplatz R zum Gipfel G steht ein kleines Berghotel (alle Angaben in Kilometern): a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, ausgehend vom Ansatz f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e Rechnen Sie nun in jedem Fall mit der folgenden Funktion weiter: f(x) = 0.05x x 3 2.4x 2 + 4x Berechnen Sie mit dem Taschenrechner, notieren Sie aber Ihre Lösungsschritte ausreichend. b) Welche Steigung hat die Funktion im Punkt S? c) Geben Sie die Gleichung der Tangente im Punkt S an den Graphen an. d) Welchen Winkel schliesst die Gerade y = 0.8x mit der positiven x-achse ein? e) Handelt es sich bei S tatsächlich um die steilste Stelle der Wanderung? Begründen Sie Ihre Antwort. f) Auf welcher Höhe über dem Ursprung O befindet sich der Wanderer während der gesamten Wanderung durchschnittlich? Lösung: a) f(x) = 0.05x x 3 2.4x 2 + 4x b) f (4) = 0.8 c) y = 0.8x d) arctan(0.8) = e) Nein, da z.b. f (0) = 4 > f (4) = 0.8 f) f(x)dx = 2.5 (km ü O) 3

4 Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2011 Gegeben sind die Funktionen f a (x) = a 3 x3 1 a x und g a(x) = 1 9a x3 + ax für einen Parameter a > 0. a) Es sei a = 3. Bestimme die Gleichung der Wendetangente des Graphen der Funktion f 3 (x). b) Bestimme den Schnittwinkel ϕ des Graphen von f a (x) und g a (x) im Ursprung. c) Berechne die Koordinaten des lokalen Maximums M des Graphen der Funktion g a (x). d) Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch M begrenzen zusammen mit den Koordinatenachsen ein Rechteck. Dieses Rechteck wird durch den Graphen von g a (x) in zwei Teile zerlegt. Teilflächen und bestimme das Verhältnis ihrer Flächeninhalte. Berechne den Inhalt der beiden e) Die Graphen von f a (x) und g a (x) schliessen für x 0 eine Fläche ein. Für welchen Wert von a wird der Inhalt dieser Fläche minimal? Wie gross ist der minimale Flächeninhalt? Hinweis: Es gibt keine ganzzahligen Lösungen! Lösung: a) y = 1 3 x b) ϕ = arctan( 1 a ) arctan(a) c) M = ( 3a 2a2 e) a = , minimaler Flächeninhalt: ) d) A 1 = 5a3 4 3a3, A2 = 4, A1 : A2 = 5 : 3 4

5 Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2009 Gegeben ist die Polynomfunktion f vom 3. Grade mit der Gleichung f(x) = 2x 3 + 8x sowie ihr Graph im Koordinatensystem: a) Weise ohne Taschenrechner nach, dass die Funktion f die in der Graphik ersichtlichen Nullstellen hat! Bestimme die Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Wendepunkt und zeichne diese Tangente ins Koordinatensystem ein! Berechne den gesamten Inhalt der Fläche A, die vom Graphen von f und der x-achse eingeschlossen wird! b) Dem Flächenstück A 1, das vom Graphen von f und der x-achse im 1. Quadranten begrenzt wird, soll ein bei C rechtwinkliges Dreieck OCD mit maximalem Flächeninhalt einbeschrieben werden. Dabei ist O(0/0) der Nullpunkt, C ein auf der x-achse und D ein auf dem Graphen von f liegender Punkt. Berechne die x-koordinate des Punktes C und den maximalen Flächeninhalt! c) Die Gerade h mit der Gleichung h : y = 2x teilt das Flächenstück A 1 (vgl. Aufgabe b)) in zwei Teile: ein oberes Flächenstück A o und ein unteres Flächenstück A u. Berechne das Verhältnis A o : A u und gib es mit kleinstmöglichen ganzen Zahlen an! d) Das Flächenstück A o aus Aufgabe c) rotiert um die x-achse. Berechne das Volumen V des dabei entstehenden Rotationskörpers! Fertige von diesem Rotationskörper eine separate Handskizze auf deinem Blatt an! e) Nun soll das Flächenstück A 1 (vgl. Aufgabe b)) durch eine Ursprungsgerade g mit der Gleichung g : y = m x halbiert werden. Bestimme die Gleichung dieser Geraden g! Lösung: a) 2x(x 2 4) = 0 x 1 = 2, x 2 = 0, x 3 = 2 WP: (0/0), t : y = 8x A = f(x)dx = 16 b) x = Amax = 4 c) A 0 = 3 0 (f(x) h(x))dx = 4.5, A u = A 1 A 0 = 3.5, A 0 : A u = 9 : 7 d) V = π 3 0 f(x) 2dx π 3 0 h(x) 2dx e) y 2.34x 5

6 Kantonsschule Romanshorn, Thurgau, Maturaprüfung 2013 Biologen untersuchen das strategische Verhalten von Mäusen. Risikopunkten. Dafür bewerten sie verschiedene Wegstrecken mit Die Maus sitzt an der Stelle X, sie ist sehr hungrig. An der Stelle K liegt ein grosses Stück Käse. Der Weg über die schraffierte Fläche ist allerdings so gestaltet, dass jeder dm mit 4 Risikopunkten bewertet ist. Der Weg entlang des schwarzen Balkens ist für die die Maus ungefährlicher und deshalb nur mit 2 Risikopunkten pro dm belegt. Welchen Weg sollte die Maus wählen, um mit möglichst wenig Risikopunkten zum Käse zu gelangen? Lösung: (schräg) durch die schraffierte Fläche bis zum Punkt 3 (auf der x-achse resp von K entfernt), den Rest auf dem schwarzen Balken 6

7 Kantonsschule Romanshorn, Thurgau, Maturaprüfung 2013 a) Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion für die Funktion f(x) = x2 4x+4 x+1 durch. Berechnen Sie dazu: - den Definitionsbereich - die Nullstellen ohne Hilfe des Taschenrechners - die erste Ableitung ohne Hilfe des Taschenrechners und damit... - die Hoch- und Tiefpunkte ohne Hilfe des Taschenrechners (notieren Sie den Lösungsweg) - das Verhalten bei den Polstellen bzw. die Limites bei den Definitionslücken - Wendepunkte mit Hilfe des Taschenrechners - Skizzieren Sie mit Hilfe der obigen Daten den Graphen von f(x) in einem sinnvollen Bereich. Achten Sie auf eine saubere Darstellung und vollständige Beschriftung. b) Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x x ; 0 x 25. Mit dem Graphen der Funktion f soll die Randkurve eines Heissluftballons modelliert werden (hierbei ist der Ballon uum 90 gedreht, die x-achse ist die Symmetrieachse des Ballons, Längenangaben in m). Untersuchen Sie die Funktion f mit Hilfe des Taschenrechners, um die untenstehenden Grössen zu berechnen: i Der Durchmesser der unteren Öffnung des Ballons. ii Die Höhe des Ballons von der unteren Öffnung bis zum oberen Ende. iii Die Höhe, auf der der Ballon die maximale Breite besitzt, gemessen von der unteren Öffnung. iv Die maximale Breite des Ballons. v Das Volumen der gesamten Ballonhülle. Lösung: a) NS: x = 2 TP: (2 0), HP: ( 4 12) WP: keine Asymptoten: x = 1, y = x 5, lim x 1 f(x) =, lim x 1 + f(x) = + b) i. d = 10 3 ii. 25m = Länge Def.bereich iii. f (x) = 0 x = 16m iv. 2 f(16) = 18m v. V = π 25 0 f(x)2 dx = m 3 7

8 Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2010 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = 1 9 x3 x 2 a) Untersuchen Sie den Graphen von f auf sein Verhalten für x ±. Bestimmen Sie die Nullstellen, Extremal- und Wendepunkte. b) Geben Sie die Gleichung der Wendetangente an und bestimmen Sie deren Schnittpunkte mit der x- und y-achse. c) Der Ursprung und die unter Aufgabe b) bestimmten Achsenschnittpunkte bilden die Eckpunkte eines Dreiecks. In dieses ist ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt ein-zuschreiben. Berechnen Sie diesen Inhalt. d) Sei nun die Funktionenschar f a gegeben durch f a (x) = ax 3 x 2 mit a R +. Wie lautet die Koordinatengleichung der Kurve, auf der alle Tiefpunkte der Schar f a liegen? Lösung: a) x ± f(x) ± NS: x 1 = 0, x 2 = 9 HP: (0 0), TP: (6 12) WP: (3 6) b) t : y = 3x + 3 (0 3), (1 0) c) Amax = 0.75 d) y = x2 3 8

9 Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2012 Gegeben ist die Funktionenschar mit Scharparameter a R. f a (x) = x3 ax x 2 = x 2 a x 2 a) Zeigen Sie, dass f a genau einen Extremwert besitzt und dass die Stelle x E dieses Extremwertes von a unabhängig ist. Bestimmen Sie die Art des Extremwertes. Für das Weitere sei a = 2. b) Diskutieren Sie die Funktion f 2 (Nullstellen, Extremal- und Wendepunkte, Asymptoten) und zeichnen Sie ihren Graphen. c) Die Tangente t 1 berührt den Graphen von f 2 bei x = 1. Eine weitere Tangente t 2 soll t 1 senkrecht schneiden. In welchem Punkt berührt t 2 den Graphen von f 2? Lösung: a) lokales Minimum bei x = 3 2 b) NS: x = 1, x = , x = TP: ( ) WP: keine vertikale Asymptote bei x = 0, lim x 0 f(x) = lim x 0 + f(x) =, schiefe Asymptote: y = ( 1 2 ( )) x 1 c) m t2 = f ( ) 9

10 Kantonschule Aarau, Maturaprüfung 2008 a) Der Graph der ganz-rationalen Funktion (= Polynomfunktion) f(x) ist symmetrisch zur y-achse, hat eine horizontale Tangente im Punkt (0 2), schneidet die x-achse bei x = 2 unter einem Winkel von 25. Geben Sie die Bedingungen an, die die Funktion f(x) erfüllen muss (z.b. f (2) = 7,...). Welcher Ansatz / welche Form ist für den Funktionsterm sinnvollerweise zu wählen? Begründen Sie Ihre Antwort! b) Bestimmen Sie eine mögliche gebrochen-rationale Funktion, deren Graph ursprungssymmetrisch ist, nur die Nullstelle 0, mindestens die Polstelle 2 und keine horizontale Asymptote hat. Nur für sehr gute SuS denke ich...!! Lösung: a) f(0) = 2, f (0) = 0, f( 2) = 0, f ( 2) = tan(25 ) f(x) = ax 6 + bx 4 + cx 2 + d b) f(x) = x x 2 (f(0) = 0, Polstelle: Nenner = x + 2, f (x) 0, ungerade Funktion 10

11 Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2008 Der Verlauf eines Seiles zwischen zwei Aufhängepunkten A(0 0) und B(50 10) kann näherungsweise durch eine quadratische Funktion beschrieben werden (Einheiten in m). a) Bestimme die Funktionsgleichung so, dass die Tangente im Punkt B die Steigung 1 hat. Falls du die Aufgabe nicht lösen kannst, so rechne mit f(x) = x2 8 5 x weiter. b) Welche Koordinaten hat der tiefste Punkt T des Seils? c) In welchem Punkt D hat der Durchhang d (Unterschied zwischen Seil und der direkten Verbindung der Endpunkte) des Seils am grössten? Lösung: a) f(x) = 0.016x 2 0.6x b) T( ) = ( ) c) D(25 5) 11

12 Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2009 Der Graph einer quadratischen Funktion f geht durch den Punkt P(8 8), hat bei x = 4 eine Nullstelle und bei x = 2 ein Minimum. a) Stelle eine Funktionsgleichung für f auf. b) Berechne den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und dem von g : g(x) = 1 64 x3. (Falls du a) nicht lösen konntest, so rechne ab b) mit f(x) = 4 9 x2 4 3 x und g(x) = 1 27 x3.) c) Eine Parallele zur y-achse schneidet eine Strecke aus dieser Fläche heraus. Bestimme die maximal möglliche Länge einer solchen Strecke. Lösung: a) f(x) = 1 4 x2 x b) A = c) g( 8 3 ) f( 8 3 ) =

13 Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2008 Gegeben ist die Polynomfunktion f vom 3. Grade mit der Gleichung f(x) = 1 4 x3 + x x 42. a) Berechnen Sie die 1. Ableitungsfunktion f und die 2. Ableitungsfunktion f von f. b) Zeichnen Sie die Graphen von f, f und f qualitativ richtig in das vorgegebene Koordinatensystem (siehe Beiblatt). c) Welche geometrische Bedeutung hat das Extremum der 1. Ableitungsfunktion f? Beschreiben Sie kurz und präzise! d) Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Graphen von f im Intervall [ 8; 6] sowie die momentane Steigung an der Stelle x = 8. Unter welchem Winkel φ schneidet der Graph von f die x-achse an der Stelle x = 8? e) Die Graphen von f, f und f schliessen sechs Flächenstücke ein. Berechnen Sie den Inhalt des grössten Flächenstückes, das von allen drei Graphen umschlossen wird. f) Der Graph von f rotiert von seiner Nullstelle bis zur Stelle x = 6 um die x-achse. Wie heisst der Körper, der dabei entsteht? Weisen Sie algebraisch nach, dass sein Volumen exakt π beträgt. g) Nun rotiert der Graph von f zwischen den beiden Nullstellen auf der negativen x-achse um dieselbe. Berechnen Sie das Volumen V des dabei entstehenden Rotationskörpers. Lösung: a) f (x) = 3 4 x2 + 2x 53 4, f (x) = 3 2 x + 2 b) c) f maximal steilste Stelle von f Wendepunkt d) Durchschn. Steigung: 9.75, f ( 8) = 18.75, ϕ = arctan(18.75) e) A = f) Kegel, V = 1 3 πr2 h = π g) V rot =

14 Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2011 Gegeben ist die Parabelschar mit der Funktionsgleichung f a (x) = 2 a a (2ax x 2 ) für 0 < a < 2 a) Bestimmen Sie für a = 1, d.h. für f 1 (x) = 2x x 2 die Gleichung der horizontalen Tangente an die Parabel. b) Welche Gerade ist für a = 1 parallel zur Geraden mit der Gleichung y = x und berührt die Parabel? c) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f a in Abhängigkeit von a. d) Bestimmen Sie a so, dass die Tangenten in den Nullstellen des Graphen senkrecht aufeinander stehen. e) Berechnen Sie den Inhalt des von der Parabel und der x-achse begrenzten Flächenstücks in Abhängigkeit von a. Für welchen Wert von a wird diese Fläche möglichst gross? Lösung: a) y = 1 b) y = x c) NS: x 1 = 0, x 2 = 2a d) a = 3 2 (a = 5 2 / Da) e) A=F (a) = 8a2 3 4a3 3, maximal für a =

15 Gymnasium Muttenz, Baselland, Maturaprüfung 2011 Die folgende Skizze zeigt den Graphen der Funktion f mit der Gleichung: f : y = (2 14 x ) x, 0 x 8. Geben Sie Resultate exakt oder auf zwei Stellen nach dem Komma genau an Berechnen Sie die Nullstellen von f Berechnen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes P von f, der den grössten Abstand zur x-achse hat Durch die Rotation des Graphen um die x-achse entsteht ein Tropfen. Wie gross ist der Volumeninhalt dieses Tropfens? 1.4. Unter welchem spitzen Winkel schneidet der Graph von f die x-achse in der rechten Nullstelle? 1.5. A(0/0) ist der Koordinatenursprung. Bestimmen Sie rechnerisch den Punkt C auf dem Graphen von f so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks ADC maximal ist (D ist der Fusspunkt des Lotes von C auf die x-achse). Weisen Sie rechnerisch nach, dass es sich um ein Maximum handelt. Lösung: 1.1. NS: x 1 = 0, x 2 = P ( 2 3 f( 8 3 )) ( ) 1.3. V Rot = 64 3 π Winkel: C( f( 5 )) ( ) 15

16 Kantonschule Aarau, Maturaprüfung 2008 Ein Joghurtbecher hat die Form eines Kreiszylinders. Er hat 180 cm 3 Inhalt. Mantel- und Grundfläche bestehen aus Plastik, die Deckfläche aus Aluminium. Das Aluminium ist in der Produktion fünfmal teurer als das Plastik, welches a Franken pro cm 2 kostet. Wie gross sind Zylinderradius und -höhe zu wählen, damit die Materialkosten minimal werden? Lösung: r = ( ) π h = 180 ) 2 = 3 π( π π 16

17 Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2013 Einem Halbkreis mit dem Radius r = 10 wird ein Dreieck wie folgt einbeschrieben: Zwei Eckpunkte liegen (irgendwo) auf dem Kreisbogen, der Kreismittelpunkt bildet den dritten Eckpunkt. Welchen Flächeninhalt kann dieses Dreieck maximal haben? Erstellen Sie zuerst eine übersichtliche Zeichnung. Tragen Sie in dieser alle Grössen ein, die Sie für Ihre Rechnung benötigen. Für das Lösen dieser Aufgabe wird eine Zielfunktion verlangt. Der Nachweis, dass es sich beim Extremum um ein Maximum handelt, wird nicht verlangt. Lösung: A(L) = L (100 L2 4 ) oder f(h) = h 100 h 2 h = L = 50 A =