Lösungen Test 2 Büro: Semester: 2

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Silke Bieber
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1 Fachhochschule Nordwesschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Insiu für Geises- und Naurwissenschaf Dozen: Roger Burkhard Klasse: Sudiengang ST Lösungen Tes Büro: Semeser: Modul: MDS Daum: FS1 Bemerkungen: Erlaub sind alle Unerrichsunerlagen (Skrip, Bücher und Formelsammlung) - elekronische Hilfsmiel (Taschenrechner, Compuer) sind nich zugelassen. (Korreke) Resulae ohne ersichlichen Lösungsweg ergeben nich die volle Punkzahl. Es können 6 Punke erreich werden. Für 5 Punke ergib es die Noe 6 und für 15 Punke die Noe 4 (lineare Skala). Zei: 6 Minuen. VIEL ERFOLG!! 1. Aufgabe ( / 1 / 3 Punke) Gegeben sei die folgende Differenialgleichung: x + x ( x) = x () = x () = x () = (a) Wandlen Sie die Differenialgleichung in ein Sysem mi Differenialgleichungen erser Ordnung um. Mi x = x, x 1 = x = x und x = x = x 1 folg: x = x 1 x 1 = x x = x 1 ( x ) (b) Ersellen Sie ein SIMULINK-Modell, welches die Differenialgleichung beschreib. Kennzeichnen Sie im Modell die Differenialgleichungen des in der vorigen Teilaufgabe gefundenen Sysems farbig. x'=x ' =x 1 x' '= x 1' =x x' ' '= x ' = x 1 x

2 MDS Lösungen Tes (FS 1) (c) Besimmen Sie mi dem Euler-Cauchy-Verfahren den Näherungswer zum Zeipunk = 5 (Schriweie h = 1). Ieraionsvorschrif: x,n+1 x 1,n+1 x,n+1 = n+1 = n + h x,n x 1,n + hx ( n, x,n, x 1,n, x,n ) x,n x 1,n x,n Were: Anfangsbedingung: n = : n = 1: n = : n = 3: n = 4: x,1 x 1,1 x,1 x, x 1, x, x,3 x 1,3 x,3 x,4 x 1,4 x,4 x,5 x 1,5 x,5 x, x 1, x, x,1 x 1,1 x,1 x, x 1, x, x,3 x 1,3 x,3 x,4 x 1,4 x,4 x,n + h x 1,n x,n n x 1,n ( n x,n ) = x, = x 1, = x, = 1 = + h = + 1 = 1 + h x 1, x, x 1, ( x, ) = 1 + h = = + h x 1,1 x,1 1 x 1,1 ( 1 x,1 ) 3 = + h = + 1 = 3 + h x 1, x, x 1, ( x, ) 4 = 3 + h = = 4 + h x 1,3 x,3 3 x 1,3 ( 3 x,3 ) 5 = 4 + h = = 5 x 1,4 + h x,4 4 x 1,4 ( 4 x,4 ) Seie / 7

MDS Lösungen Tes 8.6.1 (FS 1) Funkionswer x (5): x (5) = x,5 = 1. Aufgabe ( / / 1 / 1 Punke) Gegeben sei die gewöhnliche Differenialgleichung erser Ordnung und der Anfangswer x(1) =.

3 MDS Lösungen Tes (FS 1) Funkionswer x (5): x (5) = x,5 = 1. Aufgabe ( / / 1 / 1 Punke) Gegeben sei die gewöhnliche Differenialgleichung erser Ordnung und der Anfangswer x(1) =. x = 1 x (a) Besimmen Sie die allgemeine Lösung der Gleichung. Trennbare DGL: x = dx d = 1 x dx x 1 = d ln x 1 = ln + C x () = C + 1 (b) Besimmen Sie die parikuläre Lösung zum gegebenen Anfangswer. Anfangswere einsezen: x (1) = = C C = 1 x () = = 1 (c) Ersellen Sie im Bereich 1 < < 4 eine Graphik, die die parikuläre Lösung im Richungsfeld zeig. m 1 = 1 m = m =1 Seie 3 / 7

4 MDS Lösungen Tes (FS 1) (d) Skizzieren Sie im Bereich 1 < < 4 die Isoklinen zu den Seigungen m =, m 1 = 1 und m = 1. Die Isoklinen: m = : = 1 x x = 1 m 1 = 1: 1 = 1 x x = 1 + m = 1: 1 = 1 x x = 1 Skizze bei der vorherigen Teilaufgabe! 3. Aufgabe (3 / 3 / 1 Punke) Gegeben sei die gewöhnliche Differenialgleichung erser Ordnung und der Anfangswer x(1) =. x = 1 x (a) Besimmen Sie die Näherungslösung mi dem Euler-Cauchy-Verfahren zum Zeipunk = 3 (Schriweie h =.5). Ieraionsvorschrif: Berechnung: Anfangswere: n = : n = 1: n = : x n+1 = x n + hx ( n, x n ) = x n + h 1 x n n = 1 x = 1 = + h = = 1.5 x 1 = x + h 1 x = =.5 1 = 1 + h = =. x = x 1 + h 1 x 1 = = = + h =. +.5 =.5 x 3 = x + h 1 x = =.75. Seie 4 / 7

5 MDS Lösungen Tes (FS 1) n = 3: 4 = 3 + h = = 3. x 4 = x 3 + h 1 x 3 = = Gesucher Funkionswer: x EC (3) =.8 (b) Besimmen Sie die Näherungslösung mi dem Runge-Kua-Verfahren zum Zeipunk = 3 (Schriweie h = ). Es is ein Ieraionsschri durchzuführen. Hilfswere: m 1 : m 1 = x (, x ) = x (1, ) = 1 = 1 1 erser Zwischenpunk: emp = + h = 1 + =. x emp = x + h m 1 = + 1 = 1. m : m = x ( emp, x emp ) = x (, 1) = 1 1 =. zweier Zwischenpunk: emp = + h = 1 + =. m 3 : x emp = x + h m = + =. m 3 = x ( emp, x emp ) = x (, ) = 1 =.5 drier Zwischenpunk: m 4 : emp = + h = 1 + = 3. x emp = x + hm 3 = +.5 = 1. m 4 = x ( emp, x emp ) = x (3, 1) = 1 1 =. 3 milere Seigung: m = m + + m + m 3 + m 4 6 Nun ergib sich für den gesuchen Funkionswer: = 1 3 =.3333 x RK (3) = x + hm = =.6667 Seie 5 / 7

6 MDS Lösungen Tes (FS 1) (c) Vergleichen Sie die numerischen Resulae mi der exaken Lösung. exak Euler-Cauchy Runge-Kua x (3) = = x EC (3) =.8 x RK (3) = Aufgabe (1/// Punke) Gegeben sei die Differenialgleichung für verschiedene Sörungen. x + 8x + x = s () (a) Geben Sie die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung an. Charakerisische Gleichung: k + 8k + = (k + 4) + 4 = x 1, = 4 ± i Allgemeine Lösung der homogenen DGL: x hom () = e 4 (A sin () + B cos ()) (b) Geben Sie die allgemeine Lösung an, wenn die Sörung s() = is. Parikuläre Lösung durch Ansaz in Form der Sörung besimmen: Ansaz (Polynom -en Grades): x p = A + B + C Einsezen: x p = A + B x p = A (A) + 8 (A + B) + ( A + B + C ) = (A) + (16A + B) + (A + 8B + C) = (1) + () + () Koeffizienenvergleich: A 16 B 8 C 1 A B C Seie 6 / 7

7 MDS Lösungen Tes (FS 1) Gesuche allgemeine x () = e 4 (A sin () + B cos ()) (c) Geben Sie die allgemeine Lösung an, wenn die Sörung s() = e 3 is. Parikuläre Lösung durch Ansaz in Form der Sörung besimmen: Ansaz (Exponenialfunkion): x p = Ae 3 Einsezen: x p = 3Ae 3 x p = 9Ae 3 ( 9Ae 3 ) + 8 ( 3Ae 3) + ( Ae 3) = e 3 Koeffizienenvergleich: 5Ae 3 = e 3 Gesuche allgemeine 5A = 1 A = 1 5 x () = e 4 (A sin () + B cos ()) e 3 (d) Geben Sie die allgemeine Lösung an, wenn die Sörung s() = cos() is. Parikuläre Lösung durch Ansaz in Form der Sörung besimmen: Ansaz (harmonische Schwingung): x p = A sin () + B cos () Einsezen: x p = A cos () B sin () x p = A sin () B cos () ( A 8B + A) sin () ( B + 8A + B) cos () = cos () Koeffizienenvergleich: ( ( A B Gesuche allgemeine ) ( ) ( ) A = B 1 ) ) = ( x () = e 4 (A sin () + B cos ()) sin () + cos () Seie 7 / 7

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