Seiten 5 / 6. Seite 8. Lösungen Mathematik-Dossier Algebra in Q
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- Mina Vogt
- vor 7 Jahren
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1 Seite Binomishe Formeln Seiten / Produkt von zwei Binomen / Binome in Trinome verwandeln 1 a) (r + ) (s 11) rs 11r + s - b) ( + ) ( ) ) (19y + ) ( y) 12y 7y y -7y y + 2 (korrekt ordnen!) d) ( 2) ( + 9) e) (y 9 )(y + ) 2y 2 + 2y y 72 2y y 72 2 (12y y ) f) (a + ) (a + ) a 2 + a + a + 2 a a + 2 g) (-s + )(s ) -s 2 + 1s + s 9 -s 2 + 1s 9 h) ( + ) ( - 2) a) ( 1) ( 2), weil und b) ( 7) ( 7), weil und ) y 2 y 72 ( 9 ) ( + ), weil und d) ( ) 2( + ) ( + 1), weil 1 + und e) b 2 + b 2 (b ) (b + 7), weil und f) ( ) ( 2) ( + 9), weil und g) ( ) ( ), zuerst -2:- (wegen ), dann und h) m 2-1m + (m ) (m 11), weil und a) ( + ) ( - 7) ( + ) b) ( - 2) ( 17) (2 1) ( - 1) ) ( + ) ( + ) 1 ( ) ( + 7) d) ( ) ( ) ( + 1) ( 12) ( 1) 0 Fall 1: Fall 2: ( isolieren, da lineare Gleihung!) : L { -7 } ( isolieren, da lineare Gleihung!) diese Aussage ist falsh L { } ( isolieren, da lineare Gleihung!) : 7 L { - } -10 (Quadratishe Gleihung, darum eine Seite 0 setzen) L { 1, 12 } 1 a) (1 + y) y + y 2 y 2 + 2y + 19 (geordnet) 1. Binomishe Formel b) (d + 2) 2 1d 2 + 1d + 1. Binomishe Formel ) (a - ) 2 2a 2 0a Binomishe Formel d) (d+) (d - ) 2d d 2 (geordnet). Binomishe Formel e) (1-1y) (1-1y) 19 2 y + 19y 2 2. Binomishe Formel f) (a 2 ) 2 a 2 2 a Binomishe Formel a 2 2 a a 2 2 a a 2 a (a 2 a + 2 ) 2(2a ) 2 g) (s + ) 2 2s 2 + 0s Binomishe Formel h) (a - ) 2 9a 2 2a Binomishe Formel i) (d + 2) 2 2d d + 1. Binomishe Formel k) (h + i) (i - h) (i + h) (i - h) 2i 2 1h 2 1h 2 + 2i 2. Binomishe Formel LösungenDossierAlgebrainQ.do A. Räz / Seite 1
2 Seiten / 9 / 10 Binomishe Formeln 2 a) ( 2) 2 2. Binomishe Formel b) p 2-2pv + v 2 (p v) 2 2. Binomishe Formel ) 1r 2 - r + 1 (r 1) 2 2. Binomishe Formel d) 9u 2 + 0u + 2 (u + ) 2 1. Binomishe Formel e) q 2-0,q - 0, (q 0.9)(q+0.), weil und keine Binomishe Formel f) (12 1)(12 + 1). Binomishe Formel g) 19s 2-29 (1s 17) (1s + 17). Binomishe Formel h) a 2 b (ab )(ab + ). Binomishe Formel i) 9p 2 + p + 1 (p + 1) 2 1. Binomishe Formel k) (7 2) 2 2. Binomishe Formel a) ( ) 2 ( ) ( 2) ( ) 0 1. Fall: Fall: 0 2 b) ( - ) ( + ) (2 ) ( - ) ( ) 0 1. Fall: Fall: 0 2 ) y 2 2 (y + ) 2 (y 1) 2 y (y + 2) y 2 2(y 2 +y+1) y 2 2y + 1 y 2 -y y 2 2y 2-1y 2-2y 2 y + 1 -y 2-1y 2-2y 2 y + 1 y 2 - y 0 (y 11) (y + ) 0 1. Fall: y y Fall: y + 0 y2 - d) ( 9) 2 1. Fall: Fall: e) ( + 9) (+2) 0 1. Fall: Fall: f) (2 ) ( + ) ( + 7) ( + 2) ( ) 0 1. Fall: Fall: 0 2 g) 2(y + 1) (y 7) ( y) 2 (2y) (y 2 -y 7) (9 y + y 2 ) y y 2 12y 127 1y + y 2 y y 2 12y 1 -y 2 1y + y 2 + y (y 2 + 2y 2) 0 (y + ) (y ) 0 1. Fall: y + 0 y1 2. Fall: y 0 y (Quadratishe Gleihung, darum eine Seite 0 setzen) L { 2; } (Quadr.Gleihung, darum eine Seite 0 setzen) ausklammern (Produktform bei quadr. Gleihung) L { 0, } +2y 2 +y 1(Quadr.Gleihung, darum eine Seite 0 setzen) L { -, 11 } -1 (Quadratishe Gleihung, darum eine Seite 0 setzen) (hier fallen beide Fälle zusammen) L { 9 } (hier fallen beide Fälle zusammen) L { -9, -2 } (Quadr.Gleihung, darum eine Seite 0 setzen) L { -2, } +y 2 +1y (Quadr.Gleihung, darum eine Seite 0 setzen) ausklammern in Binom umshreiben (Produktform bei quadr. Gleihungen) L { -, } LösungenDossierAlgebrainQ.do A. Räz / Seite 2
3 Seite 11 Kürzen von Bruhtermen Seiten / 9 / 10 Binomishe Formeln h) ( ) 2 ( + 1) ( 12) ( 1) 0 1. Fall: Fall: i) (y 2)(y + 2) + y (y + ) (y + 7) 9y 2 + y y 2 + y + 21 y (2y ) (2y + ) 0 1. Fall: 2y 0 2y y Fall: 2y + 0 2y - y2-2 a) Zahl : vergrösserte Zahl : + 11 Gleihung (+11) neue Zahl b) Zahl 1 : Zahl 2 : (weil Summe ) Zahl 1 neu : 1 Zahl 2 neu : Gleihung ( 1) 2 (2 ) zweite Zahl (Quadr.Gleihung, darum eine Seite 0 setzen) L { 1, 12 } y y 21 (Quadr.Gleihung, darum eine Seite 0 setzen) L {- 2, 2 } oder L { -2., 2. } IST - Zustand Veränderter Zustand (vergrössert man eine Zahl um 11) Gleihung aufstellen: Quadrat neue Zahl ist um 91 grösser als Quadrat alte Zahl (lineare Gleihung, also isolieren) : 22 L { } Die Zahlen heissen und 7. IST - Zustand Veränderter Zustand (verkleinert man beide um 1) Gleihung aufstellen:..ist die Differenz der Quadrate gleih 1 + (lineare Gleihung, also isolieren) : L { 2 } Die Zahlen heissen 19 und 2. 1 a) (1 2 y + y 2 ) 21y b) (a 2-9) a 2 + a (a + )(a - ) a (a + ) 7y (2 + y) 21y a - a 2 + y ) y 2-11y + 0 (y - ) (y - ) (y - ) (y - ) 2y 2 - y - 2(y 2 - y - 1) 2(y - )(y + ) y - 2 (y + ) d) 1 - ( - ) - (- + ) - ( - ) ( - ) 2 ( - ) 2 ( - ) 2 - (Trik: (-) - ( - + ), also (-1) ausklammern) e) - y 2 y 2 + y + 10 ( - y) ( + y) ( - y) ( + y) (y y + ) (y + ) 2 f) a 2-20ab + 2b 2 2a - b (2a - b) 2 (2a - b) 2a - b - y (y + ) LösungenDossierAlgebrainQ.do A. Räz / Seite
4 Seite 1 Multiplikation und Division von Bruhtermen Seite 1 Addition und Subtraktion von Bruhtermen 1 a) 2 + b) -z 2a ) 2b 1 d) a e) z 2a b z - + z 2a + 1 a + () b + (b + ) a - a2 + a(a-1) - (a2 +) 2 2a a b + 0b + 1 b + 1 a + 2 f) a2 - a - a a (2 -)(2+) - (a + ) a + oder a a (2+) - (2 - ) - (2 -)(2+) (2 -)(2+) g) a - 2 (a - ) (2 -)(2+) (+) (2 -)(2+) a - 2 a 2-7a + 12 a - 2 a - 2 (a - 2)(a - ) - (a - 2)(a - ) (a - ) - 2 (a - )(a - ) (a - )(a - ) a2 - a + - (a 2 - a + ) 2 (a - )(a - ) 2 a2 - a + - a 2 + a - a - 2 (a - )(a - ) 2 (a - )(a - ) 2 h) m + 2 m 2-10m m - m + 2 (m - )(m - ) + m - (m + 2) + (m - ) (m - )(m - ) (m - ) (m - )(m - ) m - i) 2a - b 2a - 2b - a - b b(b - a) - a 2 - b 2 2a - b 2(a - b) - a - b () - b(b - a) (a - b) () ()(2a - b) - ( 2(a - b)(a - b)) - (2b(b - a)) (a - b) () (2a2 + ab - b 2 )- ( 2(a 2-2ab + b 2 )- (b 2-2ab)) (a - b) () m m - 1 (m - )(m - ) a2 + ab - b 2-2a 2 + ab - 2b 2 - b 2 + 2ab (a - b) () a2 + 9ab - 11b 2 (a - b) () m -1 (m - )(m - ) 1 a) a - b ()(a - b) a2 - b 2 b) m - n m m 2m - 2n m - n m m 2(m - n) ) fg h : 2fg h d) m 2 - mn fg h h 2fg 2 : (m n) m2 - mn : m - n 1 e) a 2 - b (a - b) () a - b 2 10 () a - b f) 2 y - y y 2 - : y - y y + y (2-1) (y 2-1) g) a 2-2a ()2 2a h) a 2-12a + 9 a 2-10a + 2 : a2-9 a 2-2 m (m - n) 1 (m - n) m 1 y ( - 1) y ( - 1) ( + 1) (y + 1) : (y + 1) (y - 1)(y + 1) y ( - 1) + 1 y - 1 (2a - )2 (a - ) 2 : 1 ()2 1 2(a 2-1) () (a + 1) (2a - )(2a + ) (2a - )2 (a + ) (a - ) (a - ) 2 i) a ab + 2b 2 2 a 2 - b 2 : a - b (2) 2 (a - b) () a - b 2 2 () (a + 1) (a + ) (a - ) (2a - ) (a + ) (2a - )(2a + ) (a - ) (2a + ) LösungenDossierAlgebrainQ.do A. Räz / Seite
5 Seiten 19 / 20 Gleihungen in Q (mit und ohne Lösungsvariable im Nenner, Wurzelgleihungen) 1 a) b) ) d) 2 - < < 9-7 < 7 e) f) 2 a) < - 1 < < < -2 < 2 < (-) (-) ( ) ( 11) 0 1. Fall: Fall b) ( - 2)( + 2) - 2 (-2) + 1 ( + 2) HN (12) --1( isolieren, da lineare Gleihung) : L { 7 } HN (90) ( isolieren, da lineare Gleihung) : L { 2 } oder L { 1. } HN () ( isolieren, da lineare Gleihung) : 1 L { 10 } oder L {. } HN () - + ( isolieren, da lineare Ungleihung) : 1 L { Q / > 7 } HN (2) - + ( isolieren, da lineare Ungleihung) : L { Q / > 2 } HN (12) - 2 ( isolieren, da lineare Ungleihung) : 1 L { Q / } Definitionsmenge bestimmen: D Q \ {} HN (-) (eine Seite 0 setzen, weil quadr. Gl.) in Produktform (Binome) umshreiben L {, 11} Nenner umformen (Binome) Definitionsmenge bestimmen: D Q \ {-2, 2} HN ( 2)( + 2) - - 0( isolieren, da lineare Gleihung)) : 11 L { - } LösungenDossierAlgebrainQ.do A. Räz / Seite
6 Seiten 21 / 22 Gleihungen in Q (mit und ohne Lösungsvariable im Nenner, Wurzelgleihungen) 2 ) (+ 2)( + ) ( +) ( + 2) d) ( ) 2( ) e) 1 2(-1) (-1) f) ( + ) 2 2( 7) ( - ) ( + ) g) y 2 + y - (y + )(y - 1) y 2 + 7y + 10 (y+ 2)(y + ) (y+2) (y 1) y + 1 y y - 20 y - h) ( - 7)( + 7) ( + 7) ( 7) a) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) 1. Fall: Fall: Nenner umformen (Binome) Definitionsmenge bestimmen: D Q \ {-, -2} HN ( + 2)( + ) L { } Definitionsmenge bestimmen: D Q \ {} HN ( ) + 2 ( isolieren, weil lineare Gleihung) : L { 0 } Definitionsmenge bestimmen: D Q \ {1} HN 2( 1) + 1 ( isolieren, weil lineare Gleihung) L { 0 } Nenner umformen (ausklammern) Definitionsmenge bestimmen: D Q \ {-} HN 2( + ) - 20 ( isolieren, da lineare Gleihung) : L { 1 } Nenner umformen (Binome) Definitionsmenge bestimmen: D Q \ {-, -2, 1} HN (y + )(y 1)(y + 2) - y 1 (y isolieren, da lineare Gleihung) : NEIN! L { } Nenner umformen (Binome) Definitionsmenge bestimmen: D Q \ {-7, 7} HN ( + 7)( 7) ( isolieren, da lineare Gleihung) : L { } quadrieren beider Seiten -1 0 (eine Seite 0 weil quadratishe Gl.) In Produkt umshreiben (Binome) Probe für 1: (stimmt) Probe für 2: (stimmt) L {, } LösungenDossierAlgebrainQ.do A. Räz / Seite
7 ngen in Q (mit und ohne Lösung Seiten 22 / 2 Gleihungen in Q (mit und ohne Lösungsvariable im Nenner, Wurzelgleihungen) b) ( + 1) ( + ) ( ) 2 1. Fall: Fall: 0 2 a) Zähler des Bruhs: Nenner des Bruhs: Wegen dem Verhältnis Zähler : Nenner : Veränderter Zähler : 9 Veränderter Nenner : 9 Verhältnis neu : -9-9 Gleihung -9-9 ( 9) (-9) Also ist der Zähler und der Nenner b) Punkte der Verlierer : Punkte der Sieger : + 7 Veränderte Punkte Verlierer : Punkte der Sieger (niht geändert) : 7 Neue Punktedifferenz : Gleihung Also haben die Verlierer 90 Punkte erzielt. Die Sieger haben Punkte erzielt. ausrehnen - (Wurzelterm isolieren!) quadrieren beider Seiten -1 (eine Seite 0 weil quadratishe Gl.) In Produkt umshreiben (Binome) (Fälle fallen zusammen) Probe für 1 und 2: ( + 1) + (2+1) (stimmt) L { } IST - Zustand Veränderter Zustand (Subtrahiert man von Zähler und Nenner je 9) Gleihung aufstellen:. Definitionsmenge festlegen: D Q \ { 9 } HN ( 9) (lineare Gleihung, also isolieren) : 9 Probe (ist Lösung in D?) L { 11 } Der ursprünglihe Bruh heisst. IST - Zustand Veränderter Zustand (Hätten die Verlierer nur vier Fünftel ihrer Punkte erzielt )) Gleihung aufstellen:.(verlierer hätten Punkte weniger als Sieger) HN 0-2 (lineare Gleihung, also isolieren) : 11 Probe (ist Lösung in D?) L { 90 } Das Resultat lautet 10 : 90 Punkte. ) Einerziffer Zehnerziffer : Einzerziffer Ziffern untereinander vergleihen und Variablen festlegen. Zahl selber 10 Zehnerziffer + Einerziffer Stellenwerte beahten! LösungenDossierAlgebrainQ.do A. Räz / Seite 7
8 d) 10( ) + Quersumme Zehner- + Einerziffer + 2- Gleihung : 2 2 [10( ) + )] - 9 [10( ) + )] - 9 [ ] Die Einerziffer ist also die 9, somit ist die Zehnerziffer eine ( 9- ) Teil 1 : Teil 2 : Gleihung aufstellen: Quersumme 2 der Zahl selber HN (2) ( isolieren, weil lineare Gleihung) : 9 L {9} Die Zahl heisst 9. Einzelteile der Aufgabenstellung: Dividiert man durh eine Zahl erhält man gleih viel wie wenn man : Teil : - durh eine Zahl dividiert, die um kleiner ist als die Unbekannte. e) Gleihung : ( ) Teil 1 : 2 Teil 2 : Teil : - Gleihung : ( - 1) 1. Fall: Fall: Definitionsmenge bestimmen: D Q \ {0, } HN ( ) - ( isolieren, da lineare Gleihung) : L {- 10} Die Zahl heisst - 10 Einzelteile der Aufgabenstellung: Wenn man vom Doppelten der Wurzel der Zahl.. das Dreifahe der Zahl subtrahiert erhält man die Zahl selber + (Wurzelterm isolieren) beide Seiten quadrieren - (eine Seite 0, weil quadratishe Gleihung) in Produkt umshreiben (ausklammern) Probe für 1: (stimmt) Probe für 2: (stimmt) L { 0, 1 } Die Zahl heisst 0 oder 1 LösungenDossierAlgebrainQ.do A. Räz / Seite
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