Anzahl der Punkte auf Kreis und Gerade

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1 Anzahl der Punkte auf Kreis und Gerade Ein Kreis hat sicher einen viel kürzeren Umfang als eine unendliche Gerade. Trotzdem besteht ein Kreis (ohne seinen obersten Punkt) aus gleich vielen Punkten wie eine Gerade. Das soll die Skizze demonstrieren. Kannst du den Beweis erklären?

2 Summe der natürlichen Zahlen I Was ist ? Was ist ? Das zu berechnen wird immer mühsamer. Zum Glück gibt es eine einfache Formel, die das Ergebnis sofort liefert: = = = 8 9 n (n + 1) n = Wieso stimmt die Formel? Das soll die Skizze beantworten. Bei ihr ist n = 6. Kannst du den Beweis erklären?

3 Summe der natürlichen Zahlen II Was ist ? Was ist ? Das zu berechnen, wird immer mühsamer. Zum Glück gibt es eine einfache Formel, die das Ergebnis sofort liefert: = = = n (n + 1) n = Wieso stimmt die Formel? Das soll die Skizze beantworten. Bei ihr ist n = 100. Kannst du den Beweis erklären? (Übrigens gibt es ein kleines Problem mit dem Argument. Hast du es entdeckt?)

4 Summe der natürlichen Zahlen III Was ist ? Was ist ? Das zu berechnen, wird immer mühsamer. Zum Glück gibt es eine einfache Formel, die das Ergebnis sofort liefert: = = = = n = 1 n + 1 n Wieso stimmt die Formel? Das soll die Skizze beantworten. Bei ihr ist n = 6. Kannst du den Beweis erklären?

5 Summe der ungeraden Zahlen Was ist ? Was ist ? Das zu berechnen wird immer mühsamer. Zum Glück gibt es eine einfache Formel, die das Ergebnis sofort liefert: = 6 6 = = 7 7 = = 8 8 = (n 3) + (n 1) = n n Wieso stimmt die Formel? Das soll die Skizze beantworten. Kannst du diesen Beweis erklären?

6 Summe der Quadratzahlen I Was passiert, wenn man die Quadratzahlen aufsummiert? Dafür gibt es eine interessante Formel: ) = 1 3 ( ) = 1 3 ( ) ( ) n = 1 3 (n n + 1 n + 1 Wieso gilt diese Formel? Das soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären? Quelle: Man-Keung Siu, University of Hong Kong

7 Summe der Quadratzahlen II Was passiert, wenn man Quadratzahlen aufsummiert? Dafür gibt es eine interessante Formel: = 1 3 ( 5 + 1) ( ) = 1 3 ( 6 + 1) ( ) n = 1 3 ( n + 1) ( n) Wieso gilt diese Formel? Das sollen die Skizzen beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

8 Summe der Kubikzahlen I Was passiert, wenn man Kubikzahlen aufsummiert? Dafür gibt es eine interessante Formel: = ( ) = ( ) = ( ) n 3 = ( n) Wieso gilt diese Formel? Das soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

9 Summe der Kubikzahlen II Was passiert, wenn man Kubikzahlen aufsummiert? Dafür gibt es eine interessante Formel: = 1 4 (4 + 4 ) = 1 4 (5 + 5 ) = 1 4 (6 + 6 ) = 1 4 (7 + 7 ) = 1 4 (8 + 8 ) n 3 = 1 4 (n + n ) Wieso gilt diese Formel? Das soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

10 Was passiert, wenn man Dreier-Potenzen aufsummiert? Dafür gibt es eine kurze Formel: = = = n = 3n+1 1 Wieso gilt diese Formel? Das soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären? Summe der Dreierpotenzen

11 Ungerade Zahlen I Es gilt 1 3 = = = =... = (n 1) (n + 1) + (n + 3) (4n 1) Warum ist das so? Das soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

12 Es gilt Ungerade Zahlen II 1 3 = = = =... = (n 1) (n + 1) + (n + 3) (4n 1) Warum ist das so? Das soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

13 Unendliche Summe der Potenzen von 1 I Den Wert der folgenden unendlichen Reihe kann man explizit angeben: = 1 Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären? Übrigens: Im Dualsystem hat die Reihe eine interessante Interpretation. Sie ist dann analog zur Zahl 0, im Zehnersystem.

14 Unendliche Summe der Potenzen von 1 II Den Wert der folgenden unendlichen Reihe kann man explizit angeben: = 4 Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

15 Unendliche Summe der Potenzen von 1 3 Den Wert der folgenden unendlichen Reihe kann man explizit angeben: = 1 Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

16 Unendliche Summe der Potenzen von 1 4 I Den Wert der folgenden unendlichen Reihe kann man explizit angeben: = 1 3 Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

17 Unendliche Summe der Potenzen von 1 4 II Den Wert der folgenden unendlichen Reihe kann man explizit angeben: = 1 3 Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

18 Geometrische Reihe Für a R und 0 < r < 1 kann man den Wert der folgenden unendlichen Reihe explizit angeben: Die Skizze zeigt, dass Kannst du den Beweis erklären? a + a r + a r + a r = a + a r + a r + a r /r a 1 r = ar 1 r.

19 Binomische Formel I Man verwendet ja oft die binomische Formel (a + b) = a + ab + b. Diese Formel kann man durch händisches Ausmultiplizieren bestätigen. Die Skizze liefert dir aber auch einen geometrischen Beweis. Kannst du ihn erklären? a b b b a a a b

20 Man verwendet ja oft die binomische Formel Binomische Formel II (a b) = a ab + b. Diese Formel kann man durch händisches Ausmultiplizieren bestätigen. Die Skizze liefert dir aber auch einen geometrischen Beweis. Kannst du ihn erklären? b b (a b) (a b) a

21 Man verwendet ja oft die binomische Formel Binomische Formel III (a + b) (a b) = a b. Diese Formel kann man durch händisches Ausmultiplizieren bestätigen. Die Skizze liefert dir aber auch einen geometrischen Beweis. Kannst du ihn erklären?

22 Satz des Pythagoras I Der Satz des Pythagoras besagt: Errichtet man auf den drei Kanten eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils ein Quadrat, so sind die beiden kleineren Quadrate zusammengenommen genauso groß wie das größte Quadrat (siehe Skizze rechts). Als Formel: a + b = c. Wieso ist das so? Das sollen die beiden anderen Skizzen beantworten. Kannst du diesen Beweis erklären?

23 Satz des Pythagoras II Der Satz des Pythagoras besagt: Errichtet man auf den drei Kanten eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils ein Quadrat, so sind die beiden kleineren Quadrate zusammengenommen genauso groß wie das größte Quadrat (siehe Skizze rechts). Als Formel: a + b = c. Wieso ist das so? Die untere Skizze zeigt, dass c + a b = b. Kannst du diesen Beweis erklären? c a

24 Mittelungleichung I und das ge- Für zwei positive relle Zahlen a und b ist das arithmetische Mittel AM(a, b) = a + b ometrische Mittel GM(a, b) = ab. Dann gilt: ab a + b. Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

25 Mittelungleichung II Für zwei positive relle Zahlen a und b ist das arithmetische Mittel AM(a, b) = a + b und das geometrische Mittel GM(a, b) = ab. Dann gilt: Die Skizze zeigt, dass ab a + b. 4ab (a + b). Kannst du den Beweis erklären?

26 Mittelungleichung III Für zwei positive relle Zahlen x und y ist x das quadratische Mittel QM(x, y) = + y, das arithmetische Mittel AM(x, y) = x + y, das geometrische Mittel GM(x, y) = xy, das harmonische Mittel HM(x, y) = 1. x + 1 y Dann gilt: QM(x, y) AM(x, y) GM(x, y) HM(x, y). Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

27 Ungleichung am rechtwinkligen Dreieck Es seien a, b und c die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks wie im Bild. Dann gilt a + b c und a + b = c genau dann, wenn a = b. Wieso ist das so? Das soll die Skizze beantworten. Kannst du diesen Beweis erklären?

28 Inkreisradius eines rechtwinkligen Dreiecks I Es seien a, b und c die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks und r der Inkreisradius wie im Bild. Dann gilt r = a + b c. Wieso ist das so? Das soll die Skizze beantworten. Kannst du diesen Beweis erklären?

29 Inkreisradius eines rechtwinkligen Dreiecks II Es seien a, b und c die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks und r der Inkreisradius wie im Bild. Dann gilt r = ab a + b + c. Wieso ist das so? Das soll die Skizze beantworten. Kannst du diesen Beweis erklären?

30 Summe der quadrierten Fibonacci-Zahlen Bei den Fibonacci-Zahlen ergibt die Summe zweier benachbarter Zahlen die nächste: 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89,... Die Quadrate der Fibonacci-Zahlen erfüllen eine interessante Rechenregel: = = = 13 1 Erkennst du das Muster? Wieso die Formeln stimmen, soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

31 Ein Kästchen verschwindet Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b ist a b. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit Grundseite a und Höhe h ist a h (siehe Skizze rechts). Diese beiden Formeln helfen dir vielleicht für die Aufgabe (oder auch nicht, es gibt mehrere Lösungswege). In den unteren beiden Skizzen ist irgendwo der Wurm drin. Denn die beiden Figuren scheinen denselben Flächeninhalt zu haben, doch die linke scheint offensichtlich aus einem Kästchen mehr als die rechte zu bestehen! Kannst du erklären, was schief läuft? a h

32 Mersenne-Primzahlen und perfekte Zahlen Eine perfekte Zahl ist eine Zahl, die gleich der Summe ihrer echten Teiler ist. Die kleinsten perfekten Zahlen sind 6, 8 und 496: 6 = = = Bisher hat man nur gerade perfekte Zahlen gefunden. Man weiß noch nicht, ob es auch ungerade perfekte Zahlen gibt das ist ein offenes Forschungsproblem. Eine Mersenne-Primzahl ist eine Primzahl der Form p = m 1. Die ersten Mersenne-Primzahlen sind: 1 = = = = = 8191 Es gibt nun folgendes zahlentheoretische Theorem: Ist p = n+1 1 eine Mersenne-Primzahl, so ist die Zahl N = n p eine perfekte Zahl. Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

33 Drei Kreise und Tangentenschnittpunkte Zeichnet man drei beliebige Kreise und zugehörige Tangenten wie in der Skizze, so liegen die drei Tangentenschnittpunkte auf einer gemeinsamen Gerade (blau markiert). Wieso ist das so? Um das zu erklären, versuche, dir die Situation dreidimensional mit Kugeln statt Kreisen vorzustellen!