Gymnasium Muttenz Maturitätsprüfung 2014 Mathematik Profile A und B

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1 Gymnasium Muttenz Maturitätsprüfung 2014 Mathematik Profile A und B Name, Vorname:... Hinweise: Klasse:... Die Prüfung dauert 4 Stunden. Es können maximal 48 Punkte erreicht werden. Es werden alle Aufgaben bewertet. Der Lösungsweg muss bei allen Aufgaben ersichtlich und vollständig sein. Der Einsatz des CAS-Rechners ist klar anzugeben. Vorgehen: Teil A: Sie erhalten die Aufgaben (1), (2) und (3), die Sie mit Hilfe des CAS- Rechners und der Formelsammlung (FS A. Wetzel, 4. Auflage) lösen. Teil B: Nach Abgabe des CAS-Rechners erhalten Sie die Aufgaben (4) und (5), zu deren Lösung nur noch die Formelsammlung als einziges Hilfsmittel zugelassen ist. Die Aufgaben (1), (2) und (3) dürfen Sie bei Bedarf ohne Rechner weiterbearbeiten. Am Ende der Prüfung werden alle Lösungen der Aufgaben zusammen abgegeben. Klasse 4AB 4B Bewertung: Aufgabe (1) Analysis 10P (2) Stochastik 10P (3) Komplexe Zahlen 10P (4) Vektorgeometrie 10P Examinatorin/Examinator (5) Kegelschnitte 4P, Folgen & Reihen 4P Anzahl erreichte Punkte Punktesumme: Note = P unktesumme Note: gerundet auf halbe Noten

2 Teil A mit Rechner Aufgabe 1 (10 Punkte) Gegeben ist die Funktionsschar mit der Gleichung f t (x) = x2 t 2 x 2 +t mit t R +. (a) Untersuchen Sie f t anhand folgender Eigenschaften: Definitionsmenge, Asymptoten, Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Wende-, und Sattelpunkte in Abhängigkeit von t. Die Nachweise sind zu erbringen. [5.5P] (b) Berechnen Sie den Parameterwert t so, dass der zugehörige Graph an der Stelle x = 1 die Steigung m = 11 besitzt. [0.5P] 6 (c) Zeichnen Sie den Graphen von f t für t = 3. [0.5P] (d) Zeichnen Sie in das gleiche Koordinatensystem ein Dreieck ABC, das zur y-achse symmetrisch ist, dessen Spitze im Punkt C(0 1) liegt und dessen Basisendpunkte A und B auf dem Graphen von f t mit t = 3 liegen. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte A und B so, dass das Dreieck ABC den grösstmöglichen Flächeninhalt besitzt. [2.5P] (e) Welchen Flächeninhalt hat die ins Unendliche reichende Fläche im ersten Quadranten, die von der Geraden g mit der Gleichung x = 3, der waagerechten Asymptote und dem Graphen von f t mit t = 3 begrenzt wird? [1P]

3 Aufgabe 2 (10 Punkte) Frau Wohltat betreut auf einem Wohltätigkeitsbasar einen Stand, bei dem Kugeln aus einer Urne gezogen werden können. Die Urne enthält 19 weisse, 57 schwarze und 24 rote Kugeln. (a) Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugeln gezogen, ohne dass die erste gezogene Kugel in die Urne zurückgelegt wird. Mit welcher Wahrscheinlichkeit, werden zwei gleichfarbige Kugeln gezogen? [1.5P] (b) Es werden mit einem Griff aus derselben Urne fünf Kugeln gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mindestens 3 rote Kugeln dabei? [2P] Die 57 schwarzen Kugeln tragen die Aufschrift (-7), die 19 weissen Kugeln die Aufschrift (+6) und die 24 roten Kugeln die Aufschrift (+3). Ein Spiel besteht darin, dass zweimal hintereinander eine Kugel mit Zurücklegen gezogen und deren Aufschrift festgestellt wird. Anschliessend werden die zwei Zahlen auf den Kugeln unter Beachtung ihrer Vorzeichen addiert. Ist diese Summe n positiv, hat der Spieler gewonnen und es werden ihm n Franken ausbezahlt. Ist die Summe n negativ, hat der Spieler verloren und muss n Franken an Frau Wohltat bezahlen. (c) Welche Beträge n sind möglich? [1P] (d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt der Spieler bei diesem Spiel? [1P] (e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt ein Spieler in sechs Spielrunden genau zwei Mal? [1.5P] (f) Wie viele Spielrunden müssen mindestens gespielt werden, damit die Wahrscheinlichkeit für den Spieler, mindestens einmal zu gewinnen, mindestens 99 % beträgt? [1.5P] (g) Berechnen Sie den Erwartungswert für dieses Spiel. [1P] (h) Frau Wohltat schätzt, dass an Ihrem Stand 500 Spielrunden gespielt worden sind. Welchen Betrag kann sie den Organisatoren des Basars demnach ungefähr abgeben? [0.5P]

4 Aufgabe 3 (10 Punkte) In Abbildung 1 ist die eiförmige Kurve K dargestellt, deren obere Hälfte durch die Funktionsgleichung y(x) = ( x) x 2 gegeben ist. (a) Wenn K um die x-achse rotiert, entsteht ein eiförmiges Volumen. Berechnen Sie den Volumeninhalt dieses Eis. [1.5P] (b) Der Durchmesser d des Eis wird senkrecht zur x-achse gemessen (s. Abbildung 2). Wie gross ist der maximale Eidurchmesser? [1.5P] Abbildung 1: zu Aufgabe (a) Abbildung 2: zu Aufgabe (b) (c) Abbildung 3 zeigt eine symmetrische, aus 6 sich berührenden Eikurven aufgebaute Figur. Geben Sie für die Gerade g eine Funktionsgleichung an. [1P] (d) Die Kurve K ergibt sich, indem K nach rechts verschoben wird. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung für die obere Hälfte von K gemäss Abbildung 3. [2P] Abbildung 3: zu Aufgaben (c), (d), (e) Abbildung 4: zu Aufgabe (g) (e) Geben Sie für eine Hälfte von K (s. Abbildung 3) eine komplexwertige Funktionsgleichung an (Hinweis: Verwenden Sie K : y(x) = ( x) x x falls Sie die Aufgabe (d) nicht lösen konnten). [1P] (f) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes auf K, der am weitesten von der Geraden g entfernt ist. [1.5P] (g) Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 4 dargestellten sternförmigen Fläche A. [1.5P]

5 Teil B ohne Rechner Aufgabe 4 (10 Punkte) Gegeben sind die Punkte A(1 0 1), B(3 0 3) und C(1 0 3) sowie die Gerade g, die durch die beiden Punkte P ( 1 1 1) und Q(1 2 1) geht. (a) Bestimmen Sie eine Parametergleichung von g. [0.5P] (b) Zeigen Sie, dass es keinen Punkt T so auf g gibt, dass das Dreieck AT B bei T rechtwinklig ist. [2.5P] (c) Das Dreieck ABC ist Grundfläche einer Pyramide, deren Spitze S auf g liegt. Bestimmen Sie die Koordinaten von S so, dass das Pyramidenvolumen V = 8 beträgt. [4P] (d) Wo liegen alle Punkte der xy-ebene, von denen aus die Punkte P und Q unter einem rechten Winkel erscheinen? Bestimmen Sie zur Beantwortung dieser Frage eine Gleichung für die gesuchte Punktmenge. [3P]

6 Aufgabe 5 (8 Punkte) Kurzaufgabe 5.1 (a) Einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 werden gemäss Abbildung (A) vier Viertelkreise einbeschrieben. Berechnen Sie den Inhalt der grau hervorgehobenen Fläche. Vereinfachen Sie Ihr Resultat so weit als möglich. [0.5P] (b) Den vier Viertelkreisen werden gemäss Abbildung (B) wieder vier Quadrate und diesen wiederum jeweils vier Viertelkreise einbeschrieben. Berechnen Sie die Summe der Flächeninhalte aller grau hervorgehobenen Figuren und vereinfachen Sie Ihr Resultat so weit als möglich. [2.5P] (c) Wie in Abbildung (C) angedeutet wird der obige Prozess ad Infinitum immer wieder durchgeführt. Berechnen Sie den Grenzwert der Summe der Flächeninhalte aller grau hervorgehobenen Figuren und vereinfachen Sie das Resultat so weit als möglich. [1P] Kurzaufgabe 5.2 P (a b) sei ein Punkt auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt M(4 0) und dem Radius R = 4 welcher mit dem Punkt Q( 3a 0) verbunden wird. Wenn P sich auf dem Kreis bewegt, beschreibt der Mittelpunkt M P Q (x y) der Strecke von P nach Q eine Kurve K. Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes sowie die Längen der beiden Halbachsen von K. [4P]

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