Vorlesung: Grundzüge Ökologische Systemanalyse

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1 Vorlesung: Grundzüge Ökologische Systemanalyse Übung 3: Matrix-Inversion 1

2 ab Raffinerie Funktionelle Einheit: 1 kg 2

3 Prozessbaum (vereinfacht) Erdöl Stahl Strom Stahl Erz Strom Kohle Stahl Erdöl Stahl Stahl 3

4 Prozessbaum (vereinfacht) Erdöl Stahl Strom Stahl Erz Strom Kohle Stahl Erdöl Stahl Stahl 4

5 Prozess-Matrix / Nachfrage-Matrix A Input Output Erdöl Stahl Strom [kwh] Erz Kohle Erdöl Stahl Strom [kwh] Erz Kohle

6 Umweltbelastung Die Umweltbelastungsmatrix B (Beispiel mit 3 Emissionen) Emission Prozess Erdöl Stahl Strom [kwh] Erz Kohle CO CH 4 [g] NO X [g]

7 Theorie n = Anzahl Prozesse, m = Anzahl Emissionen/Resourcenverbräche f = Nachfragevektor / Vektor der funktionellen Einheit; n 1 A = Technosphären-Matrix (Nachfragematrix); n n f = 1 Erdöl 0 Stahl 0 Strom [kwh] 0 Erz 0 Kohle 0 x = Output-vektor; n 1 x = (I-A) -1 * f B = Umweltbelastungsmatrix (Biosphären- matrix); m n y = Umweltbelastungsvektor; m 1 y = B*x 7

8 Aufgaben 1. Quadrieren Sie die Nachfragematrix von Hand, was beschreibt die resultierende Matrix, welche Einheiten haben die Elemente? 2. Berechnen Sie den totalen Erzbedarf pro Liter. Entwickeln Sie die Reihe für den Erzbedarf pro Liter von n=0 bis n=3. 3. Wie interpretieren sie den Verlauf der Daten? Vergleichen sie ihn mit demjenigen für Strom. 4. Berechnen Sie den Erzbedarf mit Hilfe der Matrix-Inversion. Vergleichen Sie das Resultat mit dem der Reihenentwicklung. 5. Berechnen sie die Emissionen von CO 2,CH 4 und NO X der Produktion einer funktionellen Einheit. 8

9 1. Quadrieren Sie die Nachfragematrix von Hand, was beschreibt die resultierende Matrix, welche Einheiten haben die Elemente? A 2 = Die Werte beschreiben den indirekten Bedarf an Zwischenprodukten von der zweiten Ebene des Prozessbaums 9

10 1.07 kg/kg 0.01 kg/kg 0.05 kwh/kg Erdöl Stahl Strom (0.17 kg/kwh) Stahl Erz Strom Kohle Stahl Erdöl Stahl Stahl Erdöl Stahl Strom [kwh] Erz Kohle Erdöl Stahl Strom [kwh] Erz Kohle

11 Einheiten der quadrierten Nachfragematrix A 2 Erdöl Stahl Strom [kwh] Erz Kohle kg / kg kg / kg Erdöl kg / kg Stahl kg / kwh Strom kg / kg Erz kg / kg Kohle Erdöl kg Erdöl/ kg..... Stahl kg Stahl/ kg kg Stahl / kg Erdöl kg Stahl / kg Stahl kg Stahl / kwh Strom kg Stahl / kg Erz kg Stahl/ kg Kohle Strom [kwh] Erz Kohle kwh Strom/ kg kg Erz/ kg kg Kohle/ kg Die Einheiten bleiben die gleichen 11

12 Aufgaben 1. Quadrieren Sie die Nachfragematrix von Hand, was beschreibt die resultierende Matrix, welche Einheiten haben die Elemente? 2. Berechnen Sie den totalen Erzbedarf pro Liter. Entwickeln Sie die Reihe für den Erzbedarf pro Liter von n=0 bis n=3. 3. Wie interpretieren sie den Verlauf der Daten? Vergleichen sie ihn mit demjenigen für Strom. 4. Berechnen Sie den Erzbedarf mit Hilfe der Matrix-Inversion. Vergleichen Sie das Resultat mit dem der Reihenentwicklung. 5. Berechnen sie die Emissionen von CO 2,CH 4 und NO X der Produktion einer funktionellen Einheit. 12

13 2. Erzbedarf für 1 kg Input Output Erdöl Stahl Strom [kwh] Erz Kohle Erdöl Stahl Strom [kwh] Erz Kohle Ebene Prozessbaum: 0 kg Erz/kg 13

14 2. Erzbedarf für 1 kg (A 2 Matrix) Erdöl Stahl Strom [kwh] Erz Kohle kg] Erdöl Stahl Strom [kwh] Erz Kohle Ebene Prozessbaum: kg Erz/kg 14

15 2. Erzbedarf für 1 kg (A 3 Matrix) Erdöl Stahl Strom [kwh] Erz Kohle kg] Erdöl Stahl E E Strom [kwh] E Erz Kohle Ebene Prozessbaum: kg Erz/kg 15

16 kg Erz / kg 2. Reihenentwicklung Erzbedarf n=3: n= : Grenzwert Reihenentwicklung n 16

17 kg Erz / liter : ρ 0.83 kg/liter n=3: kg Erz/Liter n= : kg Erz/Liter Grenzwert Reihenentwicklung n 17

18 Aufgaben 1. Quadrieren Sie die Nachfragematrix von Hand, was beschreibt die resultierende Matrix, welche Einheiten haben die Elemente? 2. Berechnen Sie den totalen Erzbedarf pro Liter. Entwickeln Sie die Reihe für den Erzbedarf pro Liter von n=0 bis n=3. 3. Vergleichen Sie den Verlauf der Daten des Erzbedarfs mit demjenigen für Strom. 4. Berechnen Sie den Erzbedarf mit Hilfe der Matrix-Inversion. Vergleichen Sie das Resultat mit dem der Reihenentwicklung. 5. Berechnen sie die Emissionen von CO 2,CH 4 und NO X der Produktion einer funktionellen Einheit. 18

19 kg Erz / kg kwh Strom / kg 3. Vergleich Erz-/Strombedarf Erz Grenzwert Reihenentwicklung Grenzwert Strom Reihenentwicklung n n 19

20 Aufgaben 1. Quadrieren Sie die Nachfragematrix von Hand, was beschreibt die resultierende Matrix, welche Einheiten haben die Elemente? 2. Berechnen Sie den totalen Erzbedarf pro Liter. Entwickeln Sie die Reihe für den Erzbedarf pro Liter von n=0 bis n=3. 3. Vergleichen Sie den Verlauf der Daten des Erzbedarfs mit demjenigen für Strom. 4. Berechnen Sie den Erzbedarf mit Hilfe der Matrix-Inversion. Vergleichen Sie das Resultat mit dem der Reihenentwicklung. 5. Berechnen sie die Emissionen von CO 2,CH 4 und NO X der Produktion einer funktionellen Einheit. 20

21 4. Matrix Inversion Inverse berechnen: Von Hand (Gauss-Verfahren) Mit MS Excel: Funktion MINVERSE Mit Matlab 21

22 4. Matrix Inversion (I-A) -1 = f = Erdöl Stahl Strom [kwh] Erz Kohle x = (I-A) -1 *f = : ρ 0.83 kg/liter kg Erz/Liter Erdöl Stahl Strom [kwh] Erz Kohle 22

23 5. Emission pro kg ab Raffinerie: B = Prozess Emission Erdöl Stahl Strom [kwh] Erz Kohle CO CH 4 [g] NO X [g] x = Erdöl Stahl Strom [kwh] Erz B*x = y = CO 2 CH 4 [g] NO x [g] 0.01 Kohle 23

24 Fazit der Übung Matrixinversion bietet eine smarte Lösung zum Beschrieb komplex interagierender Systeme (Rekursionen) Die Berechnung der Sachbilanz ist einfach wenn die Nachfragematrix sowie die Umweltbelastungsmatrix bekannt sind Die in Tabellen gelieferten Einheiten müssen genau angeschaut werden 24

25 A Anhang A A E E E

26 A 4 A 5 A E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-06 1E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-06 26