Hauptseminar Quantenmechanisches Tunneln WS 2010/2011. Thema: Tunneln durch einfache Potentialbarrieren und Alphazerfall

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1 Hauptseminar Quantenmechanisches Tunneln WS 2010/2011 Thema: Tunneln durch einfache Potentialbarrieren und Alphazerfall Torben Kloss, Manuel Heinzmann

2 Gliederung Was ist tunneln? Tunneln durch ein beliebiges Potential Tunneln durch ein rechteckiges Potential Der Atomkern Instabile Kerne Zerfallsgesetz allgemein α-zerfall

3 Was ist tunneln? Der Tunneleffekt tritt nur in der QM auf Klassisch kann ein Teilchen mit E < V die Potentialbarriere nicht überwinden. Quantenmechanisch ist dies durch die Wellennatur der Teilchen und der Unbestimmtheit des Ortes möglich.

4 Tunneln durch ein beliebiges Potential

5 Das Maximum des Potentials soll größer als die Energie des Teilchens sein. Man unterteilt in 3 Bereiche: x < -a als Bereiche 1, -a < x < a Bereich 2 und x > a als Bereich 3. In allen 3 Bereichen muss die Schrödingergleichung erfüllt werden: Im Bereich 1 ein findet man mit : Daraus folgt im Bereich 3 : Die Linearkombination der beiden Lösungen liefert dann die Allgemeine Lösung:

6 Daraus kann man die Transformationsmatrix M ableiten: mit Wenn V(x) reell ist, ist, gilt: ist auch eine Lösung der Schrödingergleichung. Dann gilt: Und somit auch Damit ergibt sich M zu: Außerdem gilt:

7 A und B' sind die Koeffizienten der einlaufenden Wellen, also sind A' und B die Koeffizienten der auslaufenden Wellen. Nun stellt man die Matrix auf, mit der sich die Koeffizienten der auslaufenden Wellen aus den einlaufenden Wellen bestimmen lassen. Durch die Transformationsmatrix erhält man: Und somit : Betrachtet man nun eine von links einlaufende Welle, dann ist A=1 und B'=0. Dann ergibt sich ein Transmissionskoeffizient von F hängt von der Energie des Teilchens und dem Potential ab und muss für jedes Potential bestimmt werden.

8 Tunneln durch ein rechteckiges Potential Die Lösungen der Schrödingergleichung für die 3 Bereiche ergeben folgende Wellenfunktionen:

9 Die Transformationsmatrix erhält man nun durch die Stetigkeitsbedinungen: Damit ergibt sich die Transformationsmatrix zu: Damit ergibt sich für den Transmissionskoeffizienten: mit

10 Atomkern Atomkern besteht aus Protonen & Neutronen (zusammen Nukleonen) positiv geladen Befindet sich im Zentrum des Atoms Besitzt über 99,9% der gesamten Atommasse Anzahl der Nukleonen heißt Massenzahl

11 Atomkern Atomsorte ist von der Anzahl der Protonen und Neutronen abhängig Ordnungszahl/Kernladungszahl Z ist die Anzahl der Protonen im Kern Atomsorten mit gleichem Z heißen Isotope Schreibweise: X Z A X..Atomsorte, A..Massenzahl,Z..Kernladungszahl

12 Atomkern 1 3 R K =r 0 A Kernradius: leichte Kerne: r 0 = 1,3±0, m mittelschwer bis schwere Kerne: 0, m r 0 1, m Kerndurchmesser ist 10 5 mal kleiner als der Atomdurchmesser Kernvolumen ist mal kleiner als das Atomvolumen

13 Instabile Kerne Instabile Kerne können unter Aussendung von Strahlung in andere Kerne übergehen Drei Arten von Strahlung: α-/β-/γ-strahlung Zerfallskriterium: Masse des Mutterkerns muss größer sein, als die Massen der Zerfallsprodukte (notwendig)

14 Instabile Kerne Zerfall kann Potentialbarrieren verhindert werden aus G.Gamow: Zur Quantentheorie des Atomkerns 1928

15 α-zerfall Momentan sind über 200 α-aktive Kerne bekannt Haupsächlich schwere Kerne mit A>200 und Z>82

16 Eigenschaften der α-strahlung Ablenkung in magnetischen und elektrischen Feldern Große Ionisierungsfähigkeit Kurze Reichweite Stellt Strom von Heliumkernen dar ( ) α-teilchen trägt die Ladung +2e

17 Zerfallsgesetz Betrachte N Teilchen Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen ausgesendet wird ist für alle Teilchen einer Sorte immer gleich groß = d P d t Für die Anzahl der Zerfälle pro Zeiteinheit ergibt sich dn dt = N = A t Integration liefert N t =N 0 exp t

18 Zerfallsgesetz Zahl der instabilen Kerne N(t) über die Zeit t und Aktivität A(t) (aus W.Demtröder, Experimentalphysik 4) Halbwertszeit t 1/ 2 = ln 2 mit = 1

19 Zerfallsgesetz Geiger-Nuttal-Regel (1911) (empirisch) mit der Zerfallskonstanten λ und der Reichweite der α-teilchen in Luft 2 Mit folgt mit R ~E 3 a= A B und b= 1 B R

20 Zerfallsgesetz A und B sind für alle Elemente einer Zerfallsreihe gleich Durch Messung der Reichweite fand man heraus, dass die α-teilchen eine niedrigere Energie besitzen, als sie benötigen würden um das Kernpotential klassisch zu verlassen Erklärung im Gamow-Modell

21 Gamow-Modell Idee: Im Kern bildet sich spontan ein α-teilchen Freiwerdende Bindungsenergie regt den Kern an Teilchen durchtunnelt die Coulomb-Barriere Ansatz zur Berechnung der Zerfallskonstanten = 0 T wobei T die Tunnelwahrscheinlichkeit und 0 die reduzierte Zerfallskonstante darstellen

22 Gamow-Modell Weiter gilt S ist die Rate, mit der das α-teilchen im Kern auf den Potentialberg stößt. 0 = S ist die Wahrscheinlichkeit, mit der sich ein α- Teilchen bildet

23 Berechnung der Tunnelwahrscheinlichkeit Kastenpotential der Höhe U und Breite d WKB-Näherung: T exp 2d ħ 2m U E Genauer Potentialverlauf unbekannt allgemeines Potential r a T exp 2 ħ r i 2m V r E dr =exp G Exponent heißt Gamow-Faktor

24 Potentialverlauf Annahme: Potentialberg hat die Form eines Coulomb-Potentials (verändert aus W.Demtröder, Experimentalphysik 3)

25 Berechnung der Tunnelwahrscheinlichkeit Coulomb-Barriere V r = Z Z e r Analytische Lösung des Integrals G= 2 ħ 2m E Z Z e arccos r i r a r i r a [1 r i r a ] Somit folgt für die Geiger-Nuttal-Regel ln =ln 0 G=const 1 const 2 Z E

26 Gamow-Modell Experimentelle Bestätigung des Gamow-Modells (aus W.Demtröder: Experimentalphysik 4)

27 Gamow-Modell Gamow: Geradengleichung ln =Const 1 Const 2 E Experimenteller Wert: Const 2,exp =1, Theoretisch berechneter Wert: Const 2,theor =0, aus G.Gamow: Zur Quantentheorie des Atomkerns 1928

28 Beispiele Beispielwerte für verschiedene Alpha-Strahler (aus W.Demtröder: Experimentalphysik 4)

29 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit

30 Quellen ( ) ( ) Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 3, 3. Auflage, Springer Verlag Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 4, 3. Auflage, Springer Verlag ( ) 10.pdf ( ) G.Gamow: Zur Quantentheorie des Atomkerns (1928, Göttingen) C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe: Quantenmechanik Band 1, 4. Auflage, de Gruyter Verlag