a) Notieren Sie die grundlegenden Modellvorstellungen zum Tröpfchenmodell.

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1 ufgabe a) Notieren Sie die grundlegenden Modellvorstellungen zum Tröpfchenmodell. b) Interpretieren Sie die einzelnen Terme der semiempirischen Massenformel von v. Weizsäcker: W m c m c N ges n p 5 c) Berechnen Sie mit der folgenden Formel W ges N MeV 99,5 ( - ) + 98, - 5,5 +6,8 ( ) + 0,7 +,7 - i) die Bindungsenergie eines lpha-teilchens. ii) die freiwerdende Energie beim Ra-6 lpha-erfall iii) die freiwerdende Energie bei der durch ein thermisches Neutron induzierten Uranspaltung von U-8 in zwei gleichschwere Tochterkerne. d) Was versteht man unter mittlerer Bindungsenergie? Diskutieren Sie die nachstehende Grafik hinsichtlich der physikalischen Grundlagen der Energiegewinnung durch Kernfusion und Kernspaltung. Mittlere Bindungsenergie in bhängigkeit von der Massenzahl Mittlere Bindungsenergie nach obiger Massenformel berechnet. Dabei wird für die stabilen Kerne die Näherung (N-) = 0,0060 5/ benutzt.

2 Lösung zu a) Rutherfords Versuche im Jahre 9 ergaben erste Erkenntnisse über den Kernaufbau und dessen Dimension: Der tomkernradius läßt sich gemäß der Beziehung r, 0 5 m bestimmen. Das Volumen des Kerns ist demzufolge zur Massenzahl proportional. Da die Nukleonen (Protonen und Neutronen) als gleichartige Bausteine mit nahezu gleicher Masse betrachtet werden können, herrscht überall im Kern die gleiche Nukleonendichte. Da nun die Kernkräfte nur eine sehr geringe Reichweite besitzen, die lediglich die direkt benachbarten Nukleonen erfaßt, kommt man zu der Vorstellung, daß sich die Nukleonen im Kern wie die Wassermoleküle im Wassertropfen verhalten. Im Innern des Wassertropfens halten die atomaren Bindungskräfte die Moleküle ähnlich zusammen wie die Kernkräfte die Nukleonen im Kerninnern. Dann muß es für den tomkern eine Oberflächenspannung zwischen den Randnukleonen geben, die eine gestalterhaltende Wirkung auf des ganze tom besitzt. Lösung zu b).f. v. Weizsäcker hat im Rahmen des Tröpfchenmodells eine Formel aufgestellt, mit der die gesamte potentielle Energie eines tomkern berechnet werden kann. Die uordnung geschieht nach dem Prinzip der Äquivalenz von Masse und Energie gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie: E m c Die ersten beiden Glieder geben die relativistische Energie der Neutronen der Protonen m c m c und p n wieder. Der Term ist für die Kernbindungsenergie verantwortlich,wenn man annimmt, daß alle Nukleonen symmetrisch von Partnern umgeben sind. Da die Kernkräfte nicht über mehr als ein Nukleon hinausgehen, ist der lineare usammenhang verständlich, wenn man von der Oberflächenwirkung absieht. Der Term ist zur Oberfläche des Kern proportional und korrigiert die Kernbindungsenergie. Er bringt die rbeit zum usdruck, die verrichtet werden muß, wenn ein Nukleon aus dem Kerninneren gegen die Oberflächenspannung an die Oberfläche gebracht werden soll.

3 Der Term beschreibt die oulomb-energie, die zur Der Term Der Term N 5 gegenseitigen bstoßung der Protonen führt. Er ist entsprechend dem oulomb Potential zweier Ladungen q im bstand r aufgebaut. hängt vom Neutronenüberschuß ab. Besonders stabil sind Elemente, bei denen die nzahl der Protonen gleich der nzahl der Neutronen sind (für <6 gut erfüllt). Je mehr sich N und unterscheiden, um so größer ist der bstand vom möglichen Minimum der potentiellen Energie. liefert für große Kerne einen kleinen Beitrag zur Energie. Für uu-kerne (ungerade nzahl von Protonen und Neutronen) bleibt je ein Partner ungebunden, die - ug- bzw. gu-

4 Lösung zu c) ci) Für = und = ergibt sich nach der Massenformel: WB ,,,, MeV 9, 8 MeV Der Literaturwert beträgt 8, MeV. cii) Sei W BK die Bindungsenergie des Radiumkerns, W BK die des Tochterkerns und W -Teilchens, so ist die freiwerdende Energie gegeben durch W = W + W BK - W BK. Mit = - und = - ergibt sich: W = 8, MeV +... =,7 MeV. ciii) Durch Einfang eines Neutrons bildet sich aus U 8 der instabile U 9 - Kern, der sich sofort spaltet: 8 9 U ls Spaltprodukte X und Y seien zwei gleichschwere Kerne angenommen. Die mittlere Bindungsenergie steigt von ca. 7,5 MeV bei = 9 auf ungefähr 8,5 MeV bei = 9/, die Differenz beträgt somit etwa 0,9 MeV pro Nukleon und somit für die gesamte Spaltung 9 0,9 MeV = 0 MeV. Die Massenformel liefert für die symmetrische Spaltung: W = W (,)- W ( /, / ) B B 6,8 - / + 0,7 - Im Fall von Uran 8 ergibt sich, / / MeV W = - 0 MeV + 00 MeV = 70 MeV Der Unterschied resultiert daraus, daß die Weizsäckersche Formel nur für stabile Kerne gilt. Die Energiedifferenz von ca 0 MeV ist also die Energie, die in radioaktive Strahlung umgewandelt wird.

5 Lösung zu d) Das Tröpfchenmodell legt es nahe, von einer mittleren Bindungsenergie pro Nukleon zu sprechen. Man erhält sie, indem man die Bindungsenergie durch die Massenzahl dividiert. W B -/ ( N ) = 5,5 + 6,8 + 0,7 / +,7 - / 7 MeV nmerkung: gerade ungerade ur Berechnung der mittleren Bindungsenergie wird gemäß obigem Diagramm die Näherung (N-) = 0,0060 5/ verwendet. (N-) - - Diagramm Die Grafik zeigt, daß die mittlere Bindungsenergie pro Nukleon bei =80 ein Maximum besitzt. Dort beträgt sie ca. 8,5 MeV. Der Verlauf der Kurve zeigt, daß durch Kernfusion von Elementen mit kleinem Energie gewonnen werden kann und zwar mehr, als durch Spaltung von Elementen mit hoher Massenzahl. Beispielsweise ist die Bindungsenergie von H gleich, MeV, die von He dagegen 7 MeV, so daß bei einer Fusion von zwei Deuteronen zu einem -Teilchen: He die Energie von 8 MeV -, MeV =,6 MeV freigesetzt wird. Bei der Spaltung benötigt man eine totale Masse von ca. 0 u, um 00 MeV freizumachen, bei der Fusion braucht man Kerne der totalen Masse von u, um 0 MeV freizumachen.

6 Weitere nützliche und mögliche Fusionsreaktionen sind: D + D He + n +,5 MeV Schulstempel D + He + 8, MeV He + p D + D T + p + MeV D + T He + n + 7,6 MeV D + p + 6 Li He +, MeV 7 Li He + 7, MeV

7 . ufgabe Weizsäckersche Massenformel a) Notieren Sie die grundlegenden Modellvorstellungen zum Tröpfchenmodell. b) Interpretieren Sie die einzelnen Terme der semiempirischen Massenformel von v. Weizsäcker: 5 p n ges δ N c m c m W c) Was versteht man unter mittlerer Bindungsenergie? Diskutieren Sie die nachstehende Grafik hinsichtlich der physikalischen Grundlagen der Energiegewinnung durch Kernfusion und Kernspaltung. Mittlere Bindungsenergie in bhängigkeit von der Massenzahl

8 d) Berechnen Sie mit der folgenden Formel W ges N MeV 99,5 ( - ) + 98, - 5,5 +6,8 ( ) + 0,7 +,7 - i) die Bindungsenergie eines lpha-teilchens. ii) die freiwerdende Energie bei der durch ein thermisches Neutron induzierten Uranspaltung von 5 U in 96 Y- und 9 J (Benutzen Sie für die Bindungsenergie des Neutrons den Wert von, MeV). e) Notieren Sie in Stichworten die wesentlichen Leistungen und Grenzen des Tröpfchenmodells und des Potentialtopfmodells des Kerns.

9 . ufgabe Lösung zu a) Kernmodelle (7) Das Tröpfchenmodell ist intensiv besprochen worden. Entsprechend ist diese ufgabe eher Reproduktion, wenngleich sie, wie auch die folgenden ufgaben, vertieftes physikalisches Verständnis zur Lösung benötigt (. -.). Rutherfords Versuche im Jahre 9 ergaben erste Erkenntnisse über den Kernaufbau und dessen Dimension: Der tomkernradius läßt sich gemäß der Beziehung r, 0 5 m bestimmen. Das Volumen des Kerns ist demzufolge zur Massenzahl proportional. Da die Nukleonen (Protonen und Neutronen) als gleichartige Bausteine mit nahezu gleicher Masse betrachtet werden können, herrscht überall im Kern die gleiche Nukleonendichte. Da nun die Kernkräfte nur eine sehr geringe Reichweite besitzen, die lediglich die direkt benachbarten Nukleonen erfaßt, kommt man zu der Vorstellung, daß sich die Nukleonen im Kern wie die Wassermoleküle im Wassertropfen verhalten. Im Innern des Wassertropfens halten die atomaren Bindungskräfte die Moleküle ähnlich zusammen wie die Kernkräfte die Nukleonen im Kerninnern. Dann muß es für den tomkern eine Oberflächenspannung zwischen den Randnukleonen geben, die eine gestalterhaltende Wirkung auf des ganze tom besitzt.

10 Lösung zu b) Elektrisches Feld (E) Kernmodelle (7) Relativitätstheorie (.) Im Unterricht durch ein rbeitsblatt vorbereitet. Wegen der Vielfältigkeit der rgumentation dennoch von höherer Schwierigkeit..F. v. Weizsäcker hat im Rahmen des Tröpfchenmodells eine Formel aufgestellt, mit der die gesamte potentielle Energie eines tomkern berechnet werden kann. Die uordnung geschieht nach dem Prinzip der Äquivalenz von Masse und Energie gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie: E m c Die ersten beiden Glieder geben die relativistische Energie der Neutronen der Protonen m c m c und p n wieder. Der Term ist für die Kernbindungsenergie verantwortlich, wenn man annimmt, daß alle Nukleonen symmetrisch von Partnern umgeben sind. Da die Kernkräfte nicht über mehr als ein Nukleon hinausgehen, ist der lineare usammenhang verständlich, wenn man von der Oberflächenwirkung absieht. Der Term ist zur Oberfläche des Kerns proportional und korrigiert die Kernbindungsenergie. Er bringt die rbeit zum usdruck, die verrichtet werden muß, wenn ein Nukleon aus dem Kerninneren gegen die Oberflächenspannung an die Oberfläche gebracht werden soll. Der Term beschreibt die oulomb-energie, die zur Der Term N gegenseitigen bstoßung der Protonen führt. Er ist entsprechend dem oulomb-potential zweier Ladungen q im bstand r aufgebaut. hängt vom Neutronenüberschuß ab. Besonders stabil sind Elemente, bei denen die nzahl der Protonen gleich der nzahl der Neutronen sind (für <6 gut erfüllt). Je mehr sich N und unterscheiden, um so größer ist der bstand vom möglichen Minimum der potentiellen Energie.

11 Der Term Lösung zu c) 5 liefert für große Kerne einen kleinen Beitrag zur Energie. Für uu-kerne (ungerade nzahl von Protonen und Neutronen) bleibt je ein Partner ungebunden, die Bindungsener - ug- bzw. gu- Kernmodelle (7) Kernenergie und ihre uswirkung (8) durch Referat und rbeitsblatt sind die Fragestellung bekannt. Das Tröpfchenmodell legt es nahe, von einer mittleren Bindungsenergie pro Nukleon zu sprechen. Man erhält sie, indem man die Bindungsenergie durch die Massenzahl dividiert. W B -/ ( N ) = 5,5 + 6,8 + 0,7 / +,7 - / 7 MeV Die Grafik zeigt, daß die mittlere Bindungsenergie pro Nukleon bei =80 ein Maximum besitzt. Dort beträgt sie ca. 8,5 MeV. Der Verlauf der Kurve zeigt, daß durch Kernfusion von Elementen mit kleinem Energie gewonnen werden kann und zwar mehr, als durch Spaltung von Elementen mit hoher Massenzahl. Beispielsweise ist die Bindungsenergie pro Nukleon von H gleich, MeV, die von He da -Teilchen: He die Energie von 7 MeV - (, +,) MeV =,6 MeV freigesetzt wird. Bei der Spaltung benötigt man eine totale Masse von ca. 0 u, um 00 MeV freizumachen, bei der Fusion braucht man Kerne der totalen Masse von u, um 0 MeV freizumachen. Lösung zu d) Kernenergie und ihre uswirkung (8) Relativitätstheorie (.) di) im Unterricht eingeübt, dii) ähnlich mit U8 geübt. di) Für = und = ergibt sich nach der Massenformel: W B 5,5 6,8 0,7,7 MeV 9, 8MeV

12 dii) Durch Einfang eines Neutrons bildet sich aus 5 U der instabile 6 U - Kern, der sich sofort spaltet: Y- und 9 J Die mittlere Bindungsenergie steigt von ca. 7,5 MeV bei = 5 auf ungefähr 8,5 MeV bei = 5/, die Differenz beträgt somit etwa 0,9 MeV pro Nukleon und somit für die gesamte Spaltung 5 0,9 MeV = 0 MeV. Obige Überlegung wird nicht erwartet, ist aber möglich und zeigt vertieftes Verständnis) Die Massenformel liefert (mit Bindungsenergie neutron =, MeV) Kern N Wbin/MeV W/Nukleon /MeV U ,6 7,5 n 0 0, J ,0 8, Y ,8 8,5-8, Konstanten av as ac aa ap -5,5 6,8 0,7,7 -,0 Mneutron*c² Mproton*c² 99,5 98, Der Unterschied resultiert daraus, daß die Weizsäckersche Formel nur für stabile Kerne gilt. Die Energiedifferenz von ca 0 MeV ist also die Energie, die in radioaktive Strahlung umgewandelt wird. Lösung zu e) Modellvorstellungen in der Physik (7) physikalische Modelle (. und.) Grenzen von Modellen werden stets betrachtet, so auch hier. Daher eher Reproduktion, wenngleich vergleichende und bewertende Gedankengänge gefordert sind. Die Grenzen des Tröpfchenmodells: + Für > 0 gute Näherung - Für kleine Massenzahlen schlechte Näherung, da sich diese Kerne schlecht als "Flüssigkeit" interpretieren lassen - Kernspektren können nicht erklärt werden Das Potentialtopfmodell: + Erklärung diskreter Energiezustände im Kern + Erklärung des lpha- und Betazerfalls.

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