Einstieg in die Koordinatengeometrie - lineare Funktionen -

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1 Einstie in die Koordinateneoetrie - lineare Funktionen - Was ist eine Funktion? Definition: Funktion Eine Zuordnun f: D}, D eißt Funktion, wenn sie jede Eleent xd enau eine reelle Zal y zuordnet. f(x)=y (Gelesen: f von x ist leic y ) Das edeutet also, dass ir eine Funktionen eine x-wert, den ic ir üeree, einen y-wert liefert. Der x-wert uss i Definitionsereic D der Funktion lieen. Das wiederu edeutet, dass der x-wert für die Funktion keine ateatiscen Reeln verletzt. Ein einfaces Beispiel: eeen sei die Funktion f (x) =. Diese x Funktionsvorscrift ilt für alle x, außer in eine esonderen Fall: wenn x=0 ist. Setzt an 0 nälic ein, eräe sic f (0) =, und die Division durc Null ist in der 0 Mateatik nict estattet. Den Definitionsereic der Funktion screit an i Noralfall direkt neen die Funktionsleicun, in etwa so: f (x) = ; D= \{0} x (Gelesen: D ist leic die Mene aller reellen Zalen außer Null ) Neen wir ein x, welces i Definitionsereic der Funktion liet, also verscieden von Null ist, z.b. x=5. Dann erit sic: f (x) = f(5) = x 5 Ist also der x-wert eeen, kann i it der Funktion der y-wert werden. zuewiesen 5 Nun it es einie Funktionen, ei denen, eal, was an für x einsetzt, estite y- Werte nieals vorkoen können. Eine Beispiel-Funktion wäre ierfür: f (x) = x Eal, was an für x einsetzt, y wird nieals neativ (das Quadrieren verindert dies). Die y-werte sind Eleente des so enannten Werteereics W. Wir stellen für die o.. Funktion also fest: f (x) = x ; D= ; W= S0 Der Werteereic ist also ein Eleent der reellen Zalen, die rößer oder leic Null sind. Die Screiweise von oen (W= S0 ) kann auc alternativ darestellt werden it: W= + Beide Screiweisen saen das leice aus, da die Null i eientlicen Sinne auc positiv, zuindest aer neutral ist. Scauen wir uns zur Üun einie Funktionstypen, deren Definitions- und Werteereice an: Lineare Funktion: f (x) = x + ; D= ; W= Quadratisce Funktion: f(x) = a x + x + c ; a,, c ; D= ; W ist aäni von den Koeffizienten a, und c y Kevin Kaatz Seite von 7

2 Betrasfunktion: f (x) = x ; D= ; W= W= S0 Intervalle Intervalle sind Bereice von Zalen. Ein Beispiel dafür wären alle Zalen von is. Es wird in der Mateatik zwiscen drei Intervalltypen unterscieden: de offenen Intervall, de aesclossenen Intervall und de aloffenen Intervall. Beinnen wir it de aesclossenen Intervall: [a;] (Gelesen: aesclossenes Intervall von a is ) Das edeutet, dass ein Eleent dieses Intervalls jede reelle Zal zwiscen a und, aer auc a oder selst sein kann. Mateatisc screit an: [a;] = {x a R x R } (Nac de Gleiceitszeicen elesen: x ist Eleent der reellen Zalen it a kleiner/leic x kleiner/leic ) Der Senkrecte Stric edeutet soviel wie it. Scauen wir uns nun ein offenes Intervall an. ]a;[ I Geensatz zu aesclossenen Intervall kann ein Eleent i offenen Intervall nur zwiscen a und lieen, aer nict leic a oder leic sein. Es ilt: ]a;[ = {x a < x < } Nun zu letzten Intervalltypus: de aloffenen. Das aloffene Intervall ist eine Miscun aus offene und aesclossene Intervall: [a;[ zw. ]a;] Es it also zwei Mölickeiten für aloffene Intervalle. In der ersten Mölickeit ist ein Eleent rößer oder leic a, aer kleiner als. In der Zweiten ist ein Eleent rößer als a, aer kleiner oder leic. Es ilt: [a;[ = {x a R x < } und ]a;] = {x a < x R } Anwendunseispiele Geeen sei die Funktion f(x)=x³. Geen Sie die Funktionswerte für die folenden Stellen (also x-werte) an: a) x= ) x=5 c) x= 7 d) x=a² e) x=a+ Wie et an nun an eine solce Aufaenstellun eran? Ganz einfac: da der x-wert eeen ist, uss dieser ledilic in die Funktionsvorscrift einesetzt werden: a) f() = = 7 ) f(5) = 5 = 5 c) d) e) f = = f (a ) = (a ) = a 4 f (a + ) = (a + ) = 8a + a + 6a + Neen wir noc eine weitere Aufae: eeen sei die Funktion f(x)=5+x und folende Koordinaten: a) (0?) y Kevin Kaatz Seite von 7

3 ) (5?) c) (? 7) d) (? a) Bei a) und ) können wir wie in der vorerien Aufae voreen, da wir die x- Koordinaten eeen aen. Also: a) f (0) = = 5 ) f (5) = = 0 Bei c) und d) sind nur die y-koordinaten eeen, also die Funktionswerte. Von der Definition wissen wir, dass f(x)=y ist. Also können wir ustellen: f(x) = 5 + x x = f(x) 5 = y 5 Und einesetzt: c) x = 7 5 = d) x = a 5 Lineare Funktionen Eine lineare Funktion erit rapisc darestellt ier eine Gerade. Diese Gerade wird festelet durc zwei Eienscaften: ire Steiun und der Scnittpunkt it der y-acse i Koordinatensyste. Die Noralfor einer linearen Funktion lautet: f (x) = x +, woei die Steiun und der so enannte y-acsenascnitt ist, also der Wert, ei de die Gerade die y-acse scneidet. Geraden werden (i Noralfall) ier durc indestens zwei Punkte festelet. Neen wir eine Beispielerade: die Gerade et durc die Punkte P(5 ) und Q(8 ). Das siet rapisc darestellt dann so aus: Die Steiun der Geraden eralten wir durc die Gleicun y x y = =. In unsere Beispiel waren die eiden x-werte 5 und 8, die eiden y-werte und. Es folt also: 0 = = = 8 5 Für die Noralfor einer Geraden erit sic also in unsere Falle: : f(x) = x + Wie kot an nun an das? Ganz einfac: an setzt einen der eiden Punkte in die Gleicun ein. Da eide auf der Geraden lieen, ist dies auc ölic: x y x y Kevin Kaatz Seite von 7

4 : f(x) = y y = x + = y x = 5 = 4 : f(x) = x 4 Und die Geradenleicun ist uns scon ekannt. Steiun und Steiunswinkel Ist eine Gerade eeen, so at sie eine Steiun. Was uns als interessierte Mateatiker nun interessiert, ist der Steiunswinkel, also der Winkel, den die Gerade it der x-acse ildet. Scauen wir uns dazu ein Beispiel an: Woru es et ist der Winkel α. In der Zeicnun ist ereits ein Steiunsdreieck einezeicnet. Dieses Dreieck at einen recten Winkel (eildet durc a und, also unten rects), was für unser Prole nict anz unwicti ist. Denn ei recten Winkeln liet es doc nae, trionoetrisce Funktionen zu verwenden. Rein teoretisc könnte an sic jetzt eine aussucen, aer sinnvoll wäre es, wenn wir eine nutzen würden und daei noc Zusaenäne erkennen könnten. Für den Winkel α wäre der Tanens anerauct. Zur Erinnerun: Geenkatete tan( α ) =, in der Zeicnun Ankatete a links also tan( α ) =. Was sind nun a und? Wenn wir uns an das Steiunsdreieck von weiter oen noc al erinnern, stellen wir fest, dass a= y und = x ist. Also: a y tan( α) = = = x Wir wissen nun also, dass tan( α ) = ist. Ist der Steiunswinkel eeen, so ist sein Tanens leic der Steiun. Uekert ilt: α = arctan() zw. α = tan () Zwei kleine Beispiele:.) Geeen sei die Steiun =,8. Wie roß ist der Steiunswinkel? α = arctan(,8) = 60, 95.) Geeen sei der Steiunswinkel α=75. Wie roß ist die Steiun? = tan(75 ) =,7 Parallelität zweier Geraden y Kevin Kaatz Seite 4 von 7

5 Zwei Geraden und sind zueinander parallel, wenn die Steiunen der Geraden leic sind. Beispiel: : f(x) = x + und : f(x) = x +. I Grapen siet an das auc ser deutlic: Es ilt für und : = Das edeutet natürlic auc, dass die Steiunswinkel der eiden Geraden leic roß sein üssen, da ilt: = tan( α ) = tan( α ) = tan( α) α = α = tan( α ) Eine ölice Beispielaufae: eeen sei die Gerade :f(x)=7x+5. Es soll eine parallele Gerade erecnet werden, die durc den Punkt P(0 ) et. = 7 = : f(x) = = : f(x) = 7x + = 7x + Ortoonale Geraden Zwei Geraden und sind ortoonal zueinander, wenn die eine Gerade senkrect auf der anderen stet und uekert. Beispiel: : f(x) = x + ; : f(x) = x + Dait zwei Geraden zueinander ortoonal sind, uss für ire Steiunen elten: y Kevin Kaatz Seite 5 von 7

6 = zw. = Eine Beispielaufae: eeen sei die Gerade :f(x)=x+7. Es soll eine Gerade durc den Punkt P( -5) een, die ortoonal zu ist. = = : f(x) = x + : f(x) = x + 5 = + 5 = + = 4 : f(x) = x 4 Man kann auc von zwei eeenen Geraden den Scnittpunkt erecnen, inde an ire Funktionsleicunen leic setzt: y = y x + 7 = x 4 x = x = 0 Den y-wert erecnet an wie weiter oen scon al erklärt, inde an den eeenen x-wert in eine der eiden Geradenleicunen einsetzt. Man kann in eide Gleicunen einsetzen, da ei Geraden, sofern sie denn nict identisc sind, nur ein Scnittpunkt vorliet, und der ier den leicen y-wert für eide Geraden at. Soit: 9 y = x + 7 y = + 7 = Soit ist der esucte Scnittpunkt der eiden Geraden 9 S Berecnun des Mittelpunktes einer Strecke Es sei die Strecke AB it A( ) und B(7 ) eeen. Gesuct ist der Mittelpunkt M dieser Strecke. Der Punkt M at die Koordinaten M(x M y M ). Es ilt: x x y y x = ; y = (Also die Mittelwerte der Koordinaten) M M Für unser Beispiel erit sic soit: 7 4 x M = = = M( 6) y M = = = 6 Der Mittelpunkt der Strecke AB ist also M( 6). Veralleeinert ist der Mittelpunkt einer Strecke AB : x x y M AB y y Kevin Kaatz Seite 6 von 7

7 Berecnun der Streckenläne Geeen sei weiterin die o.. Strecke A ( )B(7 ). Gesuct ist diesal die Streckenläne. Scauen wir uns das einal in einer Planzeicnun an: In der Zeicnun wurde a und einezeicnet, also das Steiunsdreieck. Das ist auc ar nict so sclect, da das Dreieck ein rectwinklies Dreieck ist. Für diesen Spezialfall ilt der Satz des PYTHAGORAS: a²+²=c². In der Zeicnun ist die Läne der Strecke leic c. Soit ilt: c = a + c = a + Wie wir vo Steiunsdreieck wissen, ist a= y und = x. Soit ilt weiterin: c = ( y y ) + ( x x ) AB = Für unser Beispiel von een ilt dann also ei der Streckenläne: AB = ( ) + ( 7 ) = 44 6, Die eiden Punkte A und B sind also etwa, Läneneineiten voneinander entfernt. Berecnun der Nullstellen einer Geraden Nullstellen sind die Stellen, an denen der Funktionswert einer eeenen Funktion leic Null sind (ei Geraden it es öcstens eine Nullstelle, es sei denn, sie sind it der x-acse identisc. Es kann auc keine Nullstellen een, wenn =0 ist). Neen wir als Beispiel die Funktion f(x)=x+. Der Funktionswert f(x) uss leic Null sein, soit ilt: 0 = x + = x x = 6 Die Nullstelle der Funktion f(x)=x+ ist N(6 0). Alleein ilt für Nullstellen: y = x + 0 = x + = x x = N y Kevin Kaatz Seite 7 von 7

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