Übungsaufgaben zur Kursarbeit

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1 Übungsaufgaben zur Kursarbeit I) Tema Funktionen. Gib jeweils die maximale Definitionsmenge der Funktion an f(x) = (x ) D f = R (x) = x D = {x R /x } g(x) = (x ) D = {x R /x } g k(x) = x D = {x R /x > } k l(x) = x x+ 0 + x+ D = {x R /x 0und x } l

2 . Gib die Wertemenge der folgenden Funktionen an f(x) = x ; x R g(x) = x ; x R W f = R alle Zalen werden als Funktionswerte angenommen! (x) = sin(x) ; x R ] ] W g = ; alle Zalen werden als Funktionswerte angenommen! k(x) = [ sin(x) ] ; x R [ ] W = ; alle Zalen zwiscen und einscließlic werden als Funktionswerte angenommen! x l(x) = ;x R [ ] Wk = 0; alle Zalen zwiscen 0 und einscließlic werden als Funktionswerte angenommen! ] [ + Wl = 0; = R alle Zalen zwiscen 0 und (0 ausscließlic) werden als Funktionswerte angenommen!

3 . Erkläre die Begriffe Funktionsname, Funktionsterm, Funktionsgleicung, Definitionsmenge, Wertemenge, Funktion an einem selbst gewälten Beispiel Matematisc vollständige Bescreibung einer Funktion (Beispiel) 7 f: x f(x) = x 7 D f = {x R / x > } f ist der Name der Funktion x 7 ist der Funktionsterm f(x) = x 7 ist die Funktionsgleicung 7 D f = {x R / x > } ist die Definitionsmenge. Sie entält alle Werte für x, die man in die Funktionsgleicung einsetzen darf. W f = R + 0 = {x R / x 0} = [ 0; [ ist die Wertemenge von f. Sie entält alle reellen Zalen, die von f als Funktionswerte angenommen werden..4 Wie lauten die Aussagen verbal? f()= Der Funktionswert an der Stelle X= ist f(-)=0 Der Funktionswert an der Stelle X=- ist 0 - ist eine Nullstelle der Funktion f f(0)< Der Funktionswert an der Stelle x=0 ist kleiner als f(x)>0 für alle x Die Funktionswerte der Funktion f sind alle größer als 0 Alle punkte des Grapen G f liegen oberalb der x-acse (5 / ) G f Der Funktionsgrap G f entält den Punkt (5/-) Der Funktionswert an der Stelle x=5 ist

4 II) Tema Lineare Funktionen. Durc f(x) t = tx+ t Df = R t R ist eine Scar von Funktionen festgelegt. t a) Zeicne die Grapen zu f 0 ; f ;f ;f 0,5 ;f 0,5 ;f in ein gemeinsames Koordinatensystem b) Zeige, dass alle Grapen einen gemeinsamen Punkt besitzen.möglickeit (wenn ic den Punkt kenne!) Der Punkt (/0) liegt auf allen Grapen d.. alle Funktionen aben an der Stelle x= eine Nullstelle : tx+ t = 0 tx = t : t t.fall t 0 : x = = d.. Nullstelle bei x = t.fallt = 0 : 0x = 0 allgemeingültig d.. jede Zal ist Nullstelle also auc x =! 4

5 .Möglickeit (wenn ic den Punkt nict kenne!) Dann muss ic zwei beliebige Grapen nemen und deren Scnittpunkt berecnen: f(x) = ax+ a D = R a R a f a f(x) = bx+ b D = R b R b a b f b ax + a = bx + b + bx a (b a) x = b a : (b a) b a X = = d..alle Grapen scneiden sic b a bei x = Wegen f () = f () = 0 a b 0 liegt der gemeinsame Scnittpunkt aller Grapen bei S(/0) c) Für welce Funktion f t verläuft der Grap durc den Punkt P( - )? t ( ) + t = t = d.. die Funktion f(x) = x+ at an der stelle den Funktionswert. Erläutere, was man unter der Steigung einer Geraden verstet. Wenn ic mic auf irgend einem Punkt P(x/y) auf einer Geraden befinde und mic von dort aus um Eineit nac rects bewege dann gibt die Steigung m an, dass ic mic gerade m Eineiten in y-rictung bewegen muss, um wieder auf der Geraden zu landen. 5

6 m. Was bedeuten die Aussagen a) Die Steigung der Geraden beträgt 0, Steigungsdreieck : nac rects 0, nac oben b) Die Steigung der Geraden beträgt 0 Die Gerade verläuft orizontal d.. nac rects 0 nac oben/unten b) Die Steigung der Geraden beträgt 5 Steigungsdreieck : nac rects nac unten 5 bzw. 5 nac rects und nac unten! c) Die Steigung der Geraden beträgt % d) Steigungsdreieck : nac rects 0, nac oben bzw. 00 nac rects und nac oben! 6

7 e) Die Steigungswinkel der Geraden beträgt 4 Der Winkel zwiscen x-acse und Gerade beträgt 4 m = tan(4 ) 0,900 Die Steigung beträgt 0,9 oder 90% III) Tema ganzrationale Funktionen. Erkläre den Begriff ganzrationale Funktion Eine GRF ist eine Funktion mit folgender Funktionsgleicung : n i f(x) = ai x ; n N und alle ai R i= 0. Erkläre den Begriff Grad einer ganzrationale Funktion Wenn a n ungleic 0 ist, dann ist die Funktion vom Grad n Der Grad ist der öcste vorkommende Exponent von x im Funktionsterm!. Welce Funktionen sind ganzrational? Gib jeweils eine Begründung! Falls die Funktion ganzrational ist, gib jeweils den Grad an f(x) = x x 4 5 GRF 5 ten Grades 5 g(x) = x 6 x keine GRF, da x (x) = (x x) 4 = x x + x GRF 4 5x k(x) = x x keine GRF nict erlaubt ist. ten Grades Aufpassen: die Funktion k(x) = 5x ist nict identisc mit der Funktion k, da sie nict den gleicen Definitionsbereic besitzt!. Woran erkennt man sofort, dass eine GRF a) symmetrisc zur y-acse ist? Wenn eine GRF nur gerade Exponenten at (0 ist eine gerade Zal), dann ist sie acsensymmetrisc zur y-acse. 7

8 b) punktsymmetrisc zu (0/0) ist? Wenn eine GRF nur ungerade Exponenten at, dann ist sie punktsymmetrisc zu (0/0)..4 Welces Veralten für x ± zeigen die folgenden Funktionen? f(x) = x x lim f(x) = lim f(x) = g(x) = x + 000x ( 4 = + 4 x) (x ) x lim g(x) = x x x lim g(x) = x lim(x) = lim (x) = x = + ) = ) = k(x) x(x )(x limk(x) lim k(x x x.4 Welcen Grad at die GRF f, deren Grap die nebensteende Form at? Die Antwort ist korrekt zu begründen! Bildet man eine neue Funktion g(x)=f(x)+, dann ist diese Funktion auc eine GRF und at 5 Nullstellen d.. sie ist mindestens 5-ten Grades! 8

9 .5 Gegeben ist die Funktion f(x) = x + x 7x + 6 ; D f = R a) Bestimme die Nullstellen der Funktion raten: x= ist eine Nullstelle Polynomdivision : (x + x 7x + 6):(x ) = x + 5x also ist f(x) = (x ) (x + 5x ) Die Lösungen von (x 5x ) 0 sind + = 5 5 x = und x = + x 5,4 x 0,7 b) Bestimme das Veralten für x ± lim f(x) = lim f(x) = x x weil x den Verlauf für große (kleine) x bestimmt. c) Bestimme den y-acsenabscnitt f(0)=6 d) Skizziere mit diesen Angaben den Grap zu f 9

10 .6 Füre die Polynomdivisionen aus : (4x 4x 5x 0):(x ) + = x (4x x ) x ( + 5x x x) 6x + 0 ( 6x+ ) 7 x also ist 7 (4x 4x 5x + 0):(x ) = x 7x + + x 4 (a ) : (a ) = a + a + a+ Eine änlice Aufgabe aben wir scon einmal gerecnet! IV) Tema Differenzierbarkeit - Ableitung 4. Erkläre folgende Aussagen: a) die Funktion f(x) ist an der Stelle x= differenzierbar f(+ ) f() Der Grenzwert des Differenzenquotienten lim 0 existiert. oder: Der Grap G f besitzt im Punkt (/f()) eine eindeutige Tangente b) f'() = Die Funktion f ist an der Stelle x= differenzierbar. Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist bzw. die Tangentensteigung an der Stelle ist. 0

11 f(7+ ) f(7) c) lim = 0 f'(7) = oder : Die Tangentensteigung an der Stelle 7 ist e) f besitzt an der Stelle x= keine Ableitung f( + ) f() Der Grenzwert des Differenzenquotienten lim 0 existiert nict. An den Grapen kann an der Stelle x= keine Tangente gelegt werden. 4. Zeige, dass die Funktion f(x)=x - an jeder Stelle x differenzierbar ist. lim f(x+ ) f(x) ((x+ ) ) (x ) = lim 0 0 = = (x + 6x + ) (x ) lim 0 (x + 6x + ) (x ) lim 0 (6x + ) lim 0 = (6x + ) = lim 0 lim(6x + ) = 6x 0 also gilt f'(x) = 6x

12 + 4. Zeige, dass für g(x) = ; Dg = R x + die Ableitungsfunktion g'(x) = ; D g =R ist. x g(x + ) g(x) (x + ) x lim = lim 0 0 x (x + ) x(x + ) x (x + ) = lim = lim 0 0 x(x+ ) = lim 0 x(x + ) lim = = 0 x(x ) x x x + 4. Sizziere den Verlauf von x f(x) = D f = R a) Bestimme Näerungsweise die Steigung der Tangente an der Stelle x=0 indem du den Wert des Differenzenquotienten für =0,00 (=0,00000) berecnest ,00 0 f(0 + ) f(0) = 0,69 0, , f(0+ ) f(0) = 0,694 0,00000 also ist f'(0) 0,69

13 b) Wie lautet dann näerungsweise Funktionsgleicung der Tangente? t(x) = m x + b 0,69 x + b Die Tangente verläuft durc den Punkt (0/) d.. t(0) = t(0) = = m 0 + b b = Gleicung der Tangente: t(x) 0,69 x + 4. Bestimme die Ableitungen : 5 f(x) x 5x = + 4 f'(x) 5x 5 = 7 6 g(x) = x + x g'(x) = 7x + x (x) = + '(x) = + x x x x x x 4

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