Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen

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1 R. Brinkmann Seite..0 Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen Wir erinnern uns, um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen waren die Koordinaten von drei Punkten nötig um die Koeffizienten a, a und a 0 zu bestimmen. Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion. Grades lautet: = ax + ax + ax+ a0 Für die 4 Variablen a, a, a, a 0 benötigt man 4 Bedingungen und damit 4 Bestimmungsgleichungen. Allgemein lässt sich feststellen, das man für eine Ganzrationale Funktion n ten Grades n + Bedingungen und damit n + Bestimmungsgleichungen benötigt. Training GRF_07: Ganzrationale Funktionen durch 4 Punkte Finden Sie die Funktionsgleichung und zeichnen Sie den Graphen. Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte und fehlende Werte mit dem Horner-Schema.) P( 4 );P ( );P ( 4 4 );P ( 5 0 ).) 4 9 P ;P ;P( );P 5 4 P 6 ;P ;P 4 ;P 6 9.) 4 4.) P( 7 );P( 6 );P( );P4( ) 5.) P( );P( 4 44 );P( 4 4 );P4( 40) 6.) P( 0 );P( );P( 6 );P4( 4) 7.) P ( );P ( 0 );P ( 4 );P ( 9).) 9.) P( 6 );P( 4 );P ;P P ;P ;P ;P 4 P 5 ;P 49 ;P 7 ;P ) 4 Erstellt von R. Brinkmann p_gr_fkt_05.doc :07 von 7

2 R. Brinkmann Seite..0 Beispiel für eine Ganzrationale Funktion. Grades. Die Koordinaten von 4 Punkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen sollen, sind wie folgt vorgegeben: P ;P ;P 44 ;P 0 4 Zunächst wird das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte aufgestellt. P : f = a + a a + a = 0 P : f = a + 4a + a + a = 0 P 44 : f = 7a + 9a a + a = 44 0 P 0 : f = a + a + a + a = Lösung des Gleichungssystems mit dem Gauß Algorithmus. a0 a a a 4 II I III I 0 IV I 0 9 : : 0 0 : III + II 0 0 IV+ III : : IV III Bestimmen der Koeffizienten durch Rückwärtseinsetzen: a = a = a a = 4 a = a + = 4 a = a + a + a = a + + = a + = a = a = 0 a a + a a = 0 a 0+ = a = a + = a = 0 0 Funktionsgleichung: f x = x + x Probe: ( ) = + P :f = + = P :f = = + = P 44 :f = + = 44 P 0 :f 0 Erstellt von R. Brinkmann p_gr_fkt_05.doc :07 von 7

3 R. Brinkmann Seite..0 Beispiel für eine Ganzrationale Funktion 4. Grades. Die Koordinaten von 5 Punkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen sollen, sind wie folgt vorgegeben: P ; P 0 ; P 0 ; P und P 4 5 Zunächst wird das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte aufgestellt. P : f = 6a a + 4a a + a = 4 0 P 0 : f = a a + a a + a = P 0 : f = a + a + a + a + a = P : f = 6a + a + 4a + a + a = P : f = a + 7a + 9a + a + a = a0 a a a a II I 0 III I 4 6 IV I 9 7 V I III II IV 4 II V 5 II IV III : V III a = 0 7 0a4 = 7 a4 = 0 60a + 00a = a = a = 4 a a 5a = 4 7 a 5 = 4 0 a = 0 a + 4a + 6a = a = 0 a 0 9 = 0 Funktionsgleichung: = x + x Erstellt von R. Brinkmann p_gr_fkt_05.doc :07 von 7

4 R. Brinkmann Seite 4..0 Der Funktionsgraph kann über eine Wertetabelle ermittelt werden und hat folgenden Verlauf: fx () := 7 0 x x x Sind weitere Eigenschaften über den Funktionsgraphen bekannt, so kann die Anzahl der Bestimmungsgleichungen reduziert werden. Beispiel eines punktsymmetrischen Graphen: Der Graph einer ganzrationalen Fuktion. Grades ist punktsymmetrisch und durchläuft folgende Punkte: P und P = + Wegen der Punktsymmetrie besteht die Funktionsgleichung nur aus Summanden mit ungeraden Exponenten. Ansatz: f x ax ax P : f = a + a = P : f = a + a = a a a = : a + a = a + = a = II I Funktionsgleichung: = x + x 0 Erstellt von R. Brinkmann p_gr_fkt_05.doc :07 4 von 7

5 R. Brinkmann Seite 5..0 Beispiel einer ganzrationalen Funktion 4. Grades durch den Ursprung. Die Koordinaten von 4 Punkten sind gegeben. Der 5. Punkt ist der Ursprung. Dadurch entstehen 4 Bestimmungsgleichungen. ( ) ( ) ( ) Punktvorgabe: P ; P ; P 4 ; P = Allgemeine Funktionsgleichung: f(x) a x a x a x a x a P0 0 : f 0 = a = 0 a = 0 Ansatz: f(x) = ax + ax + ax + ax P : f = a 4 a + a a = P : f = a 4 + a + a + a = P 4 : f = 6a4 + a + 4a + a = 4 P : f = a + 7a + 9a + a = 4 a4 a a a II I a = III 6 I 7 9 IV I a = 4 a = III II a = a = IV 4,5 III a4 a + a = a4 + = a4 = IV,5 III Funktionsgleichung: 4 = x x x Erstellt von R. Brinkmann p_gr_fkt_05.doc :07 5 von 7

6 R. Brinkmann Seite 6..0 Beispiel: Ganzrationale Funktion 4. Grades achsensymmetrisch Der Graph einer ganzrationalen Fuktion 4. Grades ist achsensymmetrisch 5 und durchläuft folgende Punkte: P( 0 4 ) P und P( ) Ansatz: f(x) = a x + a x + a wegen Achsensymmetrie nur gerade Exponenten P 0 4 : f 0 = a = 4 a = P : f () a 4 a 4 a 4 a = + + = + = P : f = 6a + 4a + 4 = 6a + 4a = 4 4 a4 a 7 6a = 6 a = a4 + a = : 7 a4 = 7 a4 = II I 4 7 = x x Vorgabe aller Nullstellen und eines Punktes. Ganzrationale Funktion. Grades P 0 ;P 0 ;P 0 ;P 0 x x x Ansatz über Linearfaktoren: = ( + )( + )( ) f x a x x x P0 ( : ) f0 = a ( ) = a= = ( x+ )( x+ )( x ) = x + x x Ganzrationale Funktion 4. Grades P 0 ;P 0 ;P 0 ;P 0 ;P 0,5 ( ) ( ) ( ) x x x 4 Ansatz über Linearfaktoren: = ( + ) ( ) f x a x x P ( 0, 5 ): f ( 0 ) = a ( ) =, 5 4a =, 5 a = = = ( x+ ) ( x ) = x x + x + x Erstellt von R. Brinkmann p_gr_fkt_05.doc :07 6 von 7

7 R. Brinkmann Seite 7..0 Training GRF_0: Ganzrationale Funktionen aus gegebenen Bedingungen Finden Sie die Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen..) grad, punktsymmetrisch P( ) P( ).) grad, Nullstellen x = ; x = ; x = ; P( ).) grad, Nullstellen x/ = 0 ; x = ; P( 5) 4.) grad, Nullstellen x/ = ; x = ; P( 4) 5.) grad, Nullstellen x/ / = ; P( ) 6.) grad 4, achsensymmetrisch P( ) ; P( ) ; P( ) 7.) grad 4, Nullstellen x/ / = ; x4 = ; P( ).) grad 4, durch den Ursprung P( ) ; P( ) ; P( ); P4( ) 9.) grad 4, Nullstellen x = ; x = ; x = ; x4 = 5 ; P( ) 0.) grad 4, Nullstellen x = ; x = ; P( 4) / / 4 Erstellt von R. Brinkmann p_gr_fkt_05.doc :07 7 von 7