Skript. 1. Allgemeine Einführung. zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften (Steckbriefaufgaben)

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1 Bestimmung gnzrtionler Funktionen Stekriefufgen Berufskolleg Mrienshule Lippstt Shule er Sekunrstufe II mit gymnsiler Oerstufe - sttlih nerknnt - Skript zur Bestimmung gnzrtionler Funktionen mit vorgegeenen Eigenshften Stekriefufgen Shuljhr / Kurs Mthemtik AHR. Kurslehrer Göe / Lngenh. Allgemeine Einführung Aners ls ei er Kurveniskussion, in er usgehen von er Funktionsgleihung ie vershieenen mrknten Punkte es zugehörigen Funktionsgrphen erehnet wuren, ist hier er Genkengng genu umgekehrt. Einzelne spezielle Punkte zw. Eigenshften eines Funktionsgrphen sin gegeen. Gesuht wir nun ie Funktionsgleihung erjenigen Funktion, ie iese Vorgen erfüllt. Dei läuft ie Bestimmung er Funktionsgleihung einer gnzrtionlen Funktion n-ten Gres immer nh emselen Shem Aus vorgegeenen Angen un Eigenshften weren vershieene Beingungen erstellt, enen ie gesuhte Funktion genügen soll. Soll ie gesuhte Funktion zw. Funktionsgleihung eineutig estimmt sein, müssen ies so viele sein, wie Koeffizienten im Funktionsterm vorkommen. Somit sin s ei einer gnzrtionlen Funktion n-ten Gres n Beingungen. Aus iesen Beingungen erstellen wir nn ein lineres Gleihungssystem mit genu n Gleihungen. Inhlt. Allgemeine Einführung.... Üersetzungshilfen für en Anstz von Stekriefufgen.... Beispiele zur Erstellung er Beingungsgleihung un er Bestimmungsgleihung.... Lösung von Lineren Gleihungssystemen LGS mittels Guß shem Algorithmus.... Beispiele für vollstänige Stekriefufgen.... Üungsufgen zur Bestimmung gnzrtionler Funktionen... Dei wenet mn folgenes Verfhren n. Mn geht von er llgemeinen Funktionsgleihung f n n n n... für gnzrtionle Funktionen us un ilet ie erste un zweite Aleitung von f.. Sin eie Koorinten eines Punktes gegeen, so weren sie in f eingesetzt.. Informtionen üer Steigungen un Etremstellen weren in f ' eingesetzt.. Informtionen üer ie Wenepunkte weren in f eingesetzt. Dei ist es ist zwekmäßig, immer zuerst ie Gleihungen ufzustellen, ie sih urh s Einsetzen es Argumentes ergeen, weil iese unmittelr zur Ange von Koeffizienten führen.

2 Bestimmung gnzrtionler Funktionen Stekriefufgen Bestimmung gnzrtionler Funktionen Stekriefufgen. Üersetzungshilfen für en Anstz von Stekriefufgen Sollen ie Funktionen us vorgegeenen Eigenshften ermittelt weren, so muss er Aufgentet genu interpretiert weren, ie Angen zur Aufstellung er notwenigen Gleihungen oft vershleiert sin. Deshl sollen nun zuerst ein pr Formulierungen erläutert weren. Wer llerings ei er Kurveniskussion keine Proleme htte, sollte versuhen, ohne iese Erläuterungen ei vershieenen Aufgen m Ene ieses Ashnittes zum iel zu kommen. Bei Prolemen sollten ie Üersetzungshilfen T. oer ie Beispielsüersetzungen T. hinzugezogen weren. T. Üersetzungshilfen für Stekriefufgen Erfhrungsgemäß hen viele Shüler Proleme mit er Üersetzung er Tetngen in s zu lösene Gleihungssystem. Dher geen wir in T. weitere Üersetzungseispiele n, ei enen us en Angen im Tet ie jeweiligen Beingungsgleihungen geleitet weren. Diese Beingungsgleihungen führen üer s Einsetzen in ie jeweiligen llgemeinen Funktionsgleihungen er Funktion f zw. er ersten oer zweiten Aleitung von f f zw. f zu en Bestimmungsgleihungen, us enen shließlih s zu lösene Gleihungssystem geilet wir. Setzen wir ie Lösungen es Gleihungssystems nn wieer in ie llgemeine Funktionsgleihung von f ein, so erhlten wir ie gesuhte Funktionsgleihung. Ange im Tet Der Grph er Funktion verläuft symmetrish zur f -Ahse. Der Grph er Funktion f verläuft urh en Punkt P / mthemtishe Interprettion Alle Koeffizienten ungerer -Potenzen sin. Die Funktionsgleihung enthält nur Potenzen mit geren Eponenten un. Der Punkt liegt uf em Grphen von f, lso gilt f.. Beispiele zur Erstellung er Beingungsgleihung un er Bestimmungsgleihung Um ie Inizierung er Koeffizienten zu vermeien, weren wir für ie folgenen Beispiele T. ie Koeffizienten is enutzen. Somit ist f hier stets eine gnzrtionle Funktion ritten Gres mit er llgemeinen Funktionsgleihung f. Der Grph er Funktion f ht n er Stelle ein Etremum. Die Funktion f ht n er Stelle einen Wenepunkt. Es liegt ein Mimum zw. Minimum n er Stelle vor. Ds eeutet f '. An er Stelle ist f ''. Die Funktion f ht in einen Sttelpunkt. An er Stelle gilt f ' un f ''. Der Grph er Funktion f ht n er Stelle ie Steigung m; m IR. Die Gere g mit g m erührt en Grphen er Funktion f n er Stelle. Der Grph er Funktion f erührt n er Stelle ie -Ahse. An er Stelle gilt f ' m. Die Gere ist ie Tngente n en Grphen von f. Es gilt f ' m un g m. Der Punkt P / liegt uf em Grphen von f,. h. er Grph ht ort eine Nullstelle un er Grph von f ht ei ie gleihe Steigung wie ie -Ahse. Es ist lso f un f '. Demnh ist nn zw. f f. Die jeweilige Beingungsgleihung ergit sih us er Üersetzung er Angen im Tet. Die Bestimmungsgleihung erhlten wir, inem wir ie -Koorinte er Beingungsgleihung in ie zugehörige Funktionsgleihung er Funktion f zw. er zugehörigen ersten oer zweiten Aleitung einsetzen un gleih er y-koorinte us er Beingungsgleihung setzen. Die folgene Telle vereutliht noh einml s Gemeinte un emonstriert in einer ersten Weise ie Üersetzung er Angen im Tet in eine Bestimmungsgleihung.

3 Bestimmung gnzrtionler Funktionen Stekriefufgen Bestimmung gnzrtionler Funktionen Stekriefufgen T. Beispiele zur Erstellung er Beingungsgleihung un er Bestimmungsgleihung Ange im Tet Beingungsgleihung Bestimmungsgleihung verläuft urh en f f Punkt P / lso ie Tngente in P / ist prllel zur Geren f f un f f lso f lso ht eine Nullstelle ei shneiet ie y-ahse ei f f f lso 7 f lso um Ashluss unserer isherigen Üerlegungen führen wir nun rei Beispiele einer vollstänigen Bestimmung er gesuhten Funktion f n. Dei weren wir im ersten Beispiel noh einml ie zu Beginn es Kpitels enutzten inizierten Koeffizienten,, un verwenen, in en neren eien Beispielen weren nn ie Koeffizienten is e zw. is enutzt. shneiet ie Gere mit f 7 uf er y-ahse f 7 f lso 7 7. Lösung von Lineren Gleihungssystemen LGS mittels Guß shem Algorithmus erührt ie -Ahse n er Stelle ht einen Tiefpunkt ei T / 7 f f f 7 un f ' f lso f lso 7 f lso f lso 7 7 Der Algorithmus von Guß, uh s guß she Elimintionsverfhren oer einfh Guß-Verfhren gennnt, ist ein wihtiges Verfhren zum Lösen von lineren Gleihungssystemen. Es eruht ruf, ss Äquivlenzumformungen ie Lösung eines Gleihungssystems niht veränern. iel es Verfhrens ist es s Gleihungssystem uf eine Dreieksform oer Digonlform zu ringen, n er ie Lösung leiht ermittelt zw. ie Lösungsmenge gelesen weren knn. Durh Aition von Gleihungen in enen jeweils iesele Vrile ie gleihen Koeffizienten llerings mit entgegen gesetztem Vorzeihen esitzt, wir us iesen Gleihungen eine estimmte Vrile eliminiert. ht einen Wenepunkt ei P / esitzt in P / ie Steigung f un f f un f f lso f lso f lso f lso Definition Guß sher Algorithmus Die wieerholte Anwenung es Aitionsverfhrens zur Lösung eines lineren Gleihungssystems heißt Guß sher Algorithmus, ennnt nh em eutshen Mthemtiker Krl Frierih Guß 777-.

4 Bestimmung gnzrtionler Funktionen Stekriefufgen Beispiel Elimintion von in eile un eile Wir multiplizieren ie erste Gleihung mit -. Dort erhält mn, s ei er Aition mit zu Null wir. Wir hlten ie erste Gleihung fest. Durh Aition er ersten Gleihung zur zweiten un ritten erhlten wir in er zweiten un ritten eile Gleihungen ohne. Elimintion von Wir multiplizieren ie zweite eile mit -, so ss s in er zweiten eile un in er ritten eile ie gleihen Koeffizienten mit vershieenem Vorzeihen erhält - un. Wir ieren ie zweite Gleihung zur ritten Gleihung. Dmit erhlten wir eine Gleihung, in er nur noh vorkommt. In er zweiten Gleihung soll nun ie Vrile eliminiert weren. Ds soll zu in er zweiten un in er ritten eile en selen Koeffizienten erhlten. Die ritte eile wir enutzt, mit keine neuen Vrilen in er zweiten eile zukommen. Aiert mn ie ritte Gleihung zur zweiten, fällt in er zweiten Gleihung s weg. Bestimmung gnzrtionler Funktionen Stekriefufgen 7 Nun müssen noh us er ersten Gleihung s un s eliminiert weren. Dzu müssen ie Koeffizienten gleihnmig gemht weren. Wir ieren nun ie zweite un ie ritte Gleihung zur ersten. Durh ie Vereinfhung ller Gleihungen mittels Division urh ie vorhnenen Koeffizienten weren lle Vrilen estimmt. Die Lösung ieses Gleihungssystems lutet lso { } / / IL. Alterntiv wäre enkr, ei Kenntnis eines Koeffizienten, s oige Shem zu verlssen un uf ein neres Verfhren zurükzugreifen. ur Vernshulihung greifen wir noh einml uf ein wishenergenis zurük Durh Äquivlenzumformung erhlten wir shon hier unseren ersten Koeffizienten. Wir setzen nun in ie zweite Gleihung ein. Dort ist nn nur noh ie Vrile enthlten, ie nn mittels Äquivlenzumformung estimmt weren knn.

5 Bestimmung gnzrtionler Funktionen Stekriefufgen Bestimmung gnzrtionler Funktionen Stekriefufgen Lösung Gesuht ist eine gnzrtionle Funktion ritten Gres,. h. ie llgemeine Funktionsgleihung genügt er Gleihung Nun setzen wir un in ie erste eile ein, um ort ie Vrile zu estimmen. f f ' f '' ur Bestimmung er Funktionsgleihung enötigen wir ufgrun er vier uneknnten Koeffizienten ; ; ; - un - ergeen zusmmen -. vier Gleihungen. Diese erhlten wir urh folgene Üerlegungen T. Herleitung er Bestimmungsgleihungen zur Stekriefufge Die Lösung ieses Gleihungssystems lutet emnh { / } IL /. Ange im Tet Beingungsgleihung Bestimmungsgleihung Der Punkt P / liegt uf f em Grphen von f. Im Punkt P / esitzt er Grph ie Steigung. f '. Beispiele für vollstänige Stekriefufgen Der Punkt P / liegt uf em Grphen von f. f Beispiel Stekriefufge Der Grph einer gnzrtionlen Funktion ritten Gres esitzt im Punkt P / ie Steigung. Im Punkt P / liegt ein Wenepunkt. f '' Im Punkt P / liegt ein Wenepunkt. Bestimmen Sie ie Funktionsgleihung. Nun weren wir s zugehörige Gleihungssystem lösen

6 Bestimmung gnzrtionler Funktionen Stekriefufgen Bestimmung gnzrtionler Funktionen Stekriefufgen einsetzen estimmen einsetzen estimmen Beispiel Stekriefufge Bestimmen Sie ie Gleihung erjenigen gnzrtionlen Funktion vierten Gres, ie urh ie Punkte P / un P / verläuft un zuem in N / ein reltives Etremum un ei ie Steigung esitzt. Lösung Es gilt für gnzrtionle Funktionen vierten Gres f f e Auf Grun er im Aufgentet vorgegeenen Eigenshften von f gilt T. Herleitung er Bestimmungsgleihungen zur Stekriefufge Ange im Tet Beingungsgleihung Bestimmungsgleihung Nullpunkt / f Etremum ei / f ' f e e f verläuft urh en Punkt P / verläuft urh en Punkt P / f f f e f e Nh Einsetzen er erehneten Koeffizienten in ie llgemeine ei ie Steigung f ' f 7 Ausgngsgleihung f erhlten wir folgene Funktionsgleihung ls Lösung f Somit ergit sih

7 Bestimmung gnzrtionler Funktionen Stekriefufgen Bestimmung gnzrtionler Funktionen Stekriefufgen e 7. un einsetzen in 7 7 Durh s Einsetzen von, un in ie Ausgngsgleihung Wir lösen ieses Gleihungssystem wie folgt 7 f e erhlten wir ie gesuhte Funktionsgleihung f Beispiel Stekriefufge Der Grph einer gnzrtionlen Funktion ritten Gres esitzt im Punkt P / einen Hohpunkt un im Punkt P / einen Wenepunkt. Es gilt für gnzrtionle Funktionen ritten Gres f f f. Auf Grun er im Aufgentet vorgegeenen Eigenshften von f gilt T. Herleitung er Bestimmungsgleihungen zur Stekriefufge Ange im Tet Beingungsgleihung Bestimmungsgleihung im Punkt P / f f einsetzen in 7 im Punkt P / f im Punkt P / einen Hohpunkt f f f im Punkt P / einen Wenepunkt f f

8 Bestimmung gnzrtionler Funktionen Stekriefufgen Dmit ergit sih s folgene Gleihungssystem Dieses lösen wir wie folgt Bestimmung gnzrtionler Funktionen Stekriefufgen Somit esteht ie Möglihkeit zu erehnen einsetzen in un einsetzen in, un einsetzen in Durh s Einsetzen von,, un in ie Gleihung f erhlten wir ie gesuhte Funktionsgleihung f.

9 Bestimmung gnzrtionler Funktionen Stekriefufgen. Üungsufgen zur Bestimmung gnzrtionler Funktionen. Geen Sie lle Beingungsgleihungen un lle Bestimmungsgleihungen für ie in en folgenen Aufgen gesuhten Funktionen n. Geen Sie zunähst ie enötigten llgemeinen Funktionsgleihungen n Gesuht ist eine gnzrtionle Funktion. Gres, eren Grph im Ursprung ein Minimum un in A / ein Mimum ht. Gesuht ist eine gnzrtionle Funktion. Gres, eren Grph in P / ie Steigung t 7 ls Wenetngente esitzt. m esitzt un in W, / ie Gere Welhes zum Ursprung symmetrishe Polynom. Gres ht in P / ein Mimum? Eine gnzrtionle Funktion ritten Gres esitzt im Punkt W / eine Wenetngente mit er Steigung un eine Nullstelle ei. Welhe Funktion erfüllt iese Beingungen?. Eine gnzrtionle Funktion ritten Gres esitzt im Punkt W / eine Wenetngente mit er Steigung un eine Nullstelle ei. Bestimmen Sie ie Funktionsgleihung. Hinweis Lösung f.. Bestimmen Sie ie Gleihung erjenigen gnzrtionlen Funktion ritten Gres, ie urh en Nullpunkt un en Punkt P / verläuft, ei eine Nullstelle ht un ei eine Wenestelle esitzt. Hinweis Die Lösung ist f.