Beispielaufgaben zum Vorbereitungskurs Mathematik

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1 Erik Sperfeld, Coronula Grauf & Thomas Massie Beispielaufgaben zum Vorbereitungskurs Mathematik Die folgenden Aufgaben stellen beispielhaft dar, was im Vorbereitungskurs geübt wird. Aufgabe 1 Zwei Bauern mit ihren Küken treffen sich auf dem Markt. Sagt der eine: Gib mir 3 von deinen Küken, dann haben wir gleich viele. Der andere entgegnet: Wenn du mir 5 von deinen Küken gibst, dann habe ich doppelt so viele wie du. Wie viele Küken hat jeder? Aufgabe a) Herr Müller muss monatlich 588,- für Miete ausgeben. Das sind 7/6 seines Gehaltes. Wie viel Geld bleibt ihm nach Abzug der Miete? b) Nach einer Gehaltserhöhung macht diese Miete nur noch 6/6 seines Gehaltes aus. Um welchen Betrag wurde das Gehalt erhöht? Aufgabe 3 In einem südamerikanischen Land wurde die Regierung gestürzt. Dies blieb nicht ohne Folgen für die Preise und die Löhne in diesem Land. Die Preise stiegen innerhalb eines Jahres um 80%, die Löhne dagegen aber nur um 30%. Wie hat sich die Kaufkraft real verändert? Aufgabe 4 Ein Biochemiker verfügt in seinem Labor über 4%ige und 36%ige Salzsäure. Wie viel muss er von beiden Säuren mischen, wenn er einen Liter 8%ige Salzsäure haben möchte? Aufgabe 5 Ein Stück Eisen (Dichte = 7,85 g/cm³) und ein gleichgroßes Stück Holz (Dichte = 0,8 g/cm³) haben zusammen eine Masse von 865 g. Welches Volumen und welche Masse haben beide Stücke? 1

2 Aufgabe 6 Schreibe als Potenz einer einzigen Basis! Aufgabe 7 Fasse zusammen und vereinfache! Aufgabe 8 Bestimme jeweils den Wert der Variablen! Aufgabe 9 Fasse den Term zu einem einzigen Logarithmus zusammen und vereinfache! Aufgabe 10 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen auf Dezimalstellen! Aufgabe 11 Fasse mit Hilfe des Summenzeichens die folgende Summen zusammen! =. x 1 + x + x 3 + x x 11 = = 4. (a -1)+ (a 3 -)+ (a 4-3)+...+ (a 10-9) = Aufgabe 1 Schreibe die folgenden Summen aus! 1.

3 Aufgabe 13 Zwei Variablen nehmen folgende Werte an: x 1 =, x = -1, x 3 = 3, x 4 = 0 und y 1 = -1, y = -4, y 3 = 0, y 4 = 3 Berechne die folgenden Summen! Aufgabe 14 Finde die Funktionsgleichung f(x) des gezeigten Graphen! Wie lautet die Funktionsgleichung der Senkrechten zu f(x), die durch den Ursprung verläuft?

4 Aufgabe 15 Bestimme die Gleichung der Geraden g, welche durch den Punkt P(3 -) geht und auf der negativen x-achse Einheiten abschneidet. Aufgabe 16 Welcher Graph stellt welche Funktion dar? Ordne zu! f(x) = - sinα f(x) = sinα f(x) = cosα f(x) = - cosα Aufgabe 17 Eine Gerade geht durch den Ursprung und den Wert (100 30). Welcher von den folgenden Werten liegt am weitesten von der Gerade entfernt? (15 44) (54 17) (0 6) (03 51) Aufgabe 18 Gegeben sei die Funktion f(x) = - ln(x). Skizziere die Funktion g(x) = ln(x) und h(x) = log 10 (x) in das Koordinatensystem!

5 Aufgabe 19 Welche Funktion f(x) liegt folgendem Graph zu Grunde? Skizziere - f(x), - f(x) + 5, ½*f(x), f(x)² und f(x) 3/ in das Koordinatensystem! Aufgabe 0 Gegeben sei die Funktion f(x) = e x. Skizziere g(x) = e -x und h(x) = - e -x in das Koordinatensystem!

6 Aufgabe 1 Die Anfangskonzentration einer Bakterienkultur beträgt 1000ml -1. Jedes Bakterium teilt sich zur gleichen Zeit nach einer Stunde (Verdopplung der Bakteriendichte nach 1 h). Stelle das bakterielle Wachstum über 5 h graphisch dar! Wie viele Bakterien befinden sich nach a) ½ h und b) h in der Kultur? Gib eine praktikable Formel für die Berechnung an (Gleichung der Funktion)! Zu welcher Zeit weist die Kultur 7000 Bakterien pro Milliliter auf? Aufgabe Löse die folgenden Gleichungen bzw. Gleichungssysteme! (x + 5) + (x + 3) = 1 (8 x) 0,5( x 30 ) 4. abx ( a + b ) x + ab = x + y = 10 5x(15x + y) = x + 5x 38x + 5x + 6 = 0 5. x 5 + y + = 5 x + y = log ( x + x + 6) 3 = 7. log ( x 1) + log 4( x 1) 1 = 0 x 1 x 1 x 1 8. e e 1 = e ln x 6 0,5ln81 3 = Aufgabe 3 Zwei Zahlen verhalten sich wie 1:3, während die Summe ihrer Quadrate 560 beträgt. Wie heißen diese Zahlen? 6

7 Aufgabe 4 Auf einer Wiese an einem Teich laufen Enten und Schweine. Zusammen haben sie 50 Köpfe und 116 Beine. Wie viele Enten und wie viele Schweine sind es? Aufgabe 5 Ein Bauer möchte für seine fünf Pferde eine Weide abgrenzen, auf der die Pferde eine Woche lang grasen können. Er hat 60 m Zaun zur Verfügung. Wie muss die (rechteckige) Weidefläche dimensioniert sein, wenn jedes Pferd pro Tag 75 m² abgrast? Aufgabe 6 Spaßeshalber nimmst du einen Alkoholmesser mit auf eine Party und misst den Alkoholspiegel von 9 Freunden. Diese haben folgende Werte: X 1 =0.5, X =0.4, X 3 =0.1, X 4 =1.5, X 5 =.1, X 6 =0.7, X 7 =0.5, X 8 =0.8, X 9 =0.1. Wie viel Alkohol hatten deine Freunde durchschnittlich im Blut? Aufgabe 7 Du befindest dich in einem Schlauchboot auf einem See und misst bei bestem Wetter den Sauerstoffgehalt des Wassers in verschiedenen Tiefen: 0-m: 1mg l -1, -6m: 5mg l -1, 6-10m: mg l -1 und 10-18m: 0.mg l -1. Wie hoch ist die mittlere Sauerstoffkonzentration im See? Aufgabe 8 Ein Guthaben G wird im ersten Jahr mit %, im zweiten Jahr mit 7% und im dritten Jahr mit 5% verzinst. Welcher über die drei Jahre konstanter Zinssatz p hätte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben? Aufgabe 9 Zeichnen sie in ein Koordinatensystem folgende Punkte A(1,8), B(6,-4), C(-6,7) und D(3,) und die dazugehörenden Vektoren u = AD, v = CD, w = BC und z = AC ein. (empfohlene Einteilung der Achsen: x = [-7,15], y = [-5,9]) 1. In welchem Punkt E endet der Vektor e = u w z?. Zeichnen sie den Vektor e in das Koordinatensystem ein! 3. Welche Länge besitzt e? 7

8 4. Wo liegt der Punkt F, welcher sich aus dem Vektor r 3 = u z ergibt? 5. Bestimmen sie α und β so, dass gilt α u + β v = ( 1, 8). Aufgabe 30 Eine Gruppe Blattläuse lässt sich auf deinem Hibiskus nieder. Der Befall schadet dem Strauch zwar nicht, er wächst aber auch nicht weiter. Der experimentierfreudige Hobbygärtner und Bio-Student in dir tötet die Tiere nicht und beschließt ihre Populationsgröße zu verfolgen. Täglich zählst du die Anzahl der Läuse auf dem Hibiskus und erhältst nach einiger Zeit folgendes Ergebnis: Blattläuse [Individuen] Zeit [Tage] Die Anzahl Läuse nimmt erst rasch zu und wächst dann immer langsamer an. Nach einiger Zeit erreicht die Population einen bestimmten Wert. Dieser scheint sich nicht mehr zu verändern. Dir stellt sich nun die Frage, warum sich dieser konstante Wert einstellt. Vor allem zwei Hypothesen scheinen dir plausibel: a) Das Wachstum der Population ist dichteabhängig, d.h. es kann nur eine bestimmte Anzahl von Tieren auf dem Hibiskus leben! b) Die (spezifische) Sterberate steigt mit zunehmender Populationsgröße! Du vermutest, dass dieser Sachverhalt nicht einzigartig ist und noch andere Populationen dieses Wachstumsverhalten zeigen müssten. Daher kommt dir die Idee, ein Modell für jede 8

9 deiner beiden Hypothesen aufzustellen. Für welche Differentialgleichungen entscheidest du dich? 1. = ab( 1 mb). = ( a mb) B 3. = ( ab mb) B m 4. = ab ( ) B 5. = ab( a mb) 6. = ( ab mb) B² a K B B 7. = ab(1 ) 8. = ab(1 ) 9. = ab( 1) B K K wobei: B a m K Anzahl Blattläuse am Hibiskus (Blattlausdichte) spezifische Wachstumsrate spezifische Sterberaterate Kapazität (Grenzwert, den die Populationsgröße anstrebt) Du fragst dich nun bei welcher Populationsgröße sich die Blattlausanzahl nicht mehr verändert. Wie berechnest du diese Anzahl in beiden Modellen und wie groß sind die charakteristischen Blattlausdichten jeweils? 9