Statistische Methoden in der MMST: Deskriptive Statistik

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1 Statistische Methoden in der MMST: Deskriptive Statistik VL MMS Wintersemester 2014/15 Professur für Prozessleittechnik L. Urbas; J. Pfeffer

2 Ziele und Inhalt Statistik in der MMST Anwendungsgebiete Evaluationen Data Mining Werkzeuge Einführung in die deskriptive Statistik Typen von Messgrößen / Skalen Deskriptive Kennwerte Häufigkeitsverteilungen Empirische Verteilungsfunktion Verteilungsarten Verteilungskennwerte Korrelation von Merkmalen Lineare Regression MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 2

3 Überblick STATISTIK IN DER MMST

4 S5 - Datenanalyse Versuchsdurchführung Versuchsaufbau Auswertung (Datenanalyse) Versuchsplan 2 Fragen 6 Hypothese 1 Schlussfolgerungen Antworten Problem [nach Sarris 2005, S.44] MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 4

5 Statistik in der MMST Anwendungsgebiete Evaluationen mit empirischen Methoden Data Mining MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 5

6 Evaluation mittels Stichproben Stichprobenziehung Inferenzstatistischer Schluss Beschreibende Statistik Population Stichprobenmitglieder MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 6

7 Teilbereiche der Statistik Statistik Beschreibende Statistik Explorative Statistik Schließende Statistik MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 7

8 Werkzeuge SPSS Statistics STATISTICA R MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 8

9 Statistiken sind mit Vorsicht zu genießen und mit Verstand einzusetzen. Carl Hahn (*1926), Vorstandsvorsitzender Volkswagen AG EINFÜHRUNG IN DIE DESKRIPTIVE STATISTIK

10 Übersicht der Themengebiete Grundbegriffe Skalenarten (Typen von Merkmalen) Nominal, Ordinal, Kardinal Datenerhebung Tabellarische & grafische Analyse Häufigkeitsverteilung diskreter Daten Empirische Verteilungsfunktion Histogramme Verteilungskennwerte und statistische Maßzahlen zentrale Tendenz, Streuung, Schiefe Boxplots Korrelation zweier Merkmale Lineare Regression MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 10

11 Grundbegriffe Grundgesamtheit Merkmale Merkmalsträger Ausprägungen Stichprobenumfang Stichprobenwerte Urliste MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 11

12 Typen von Merkmalen (Skalenarten) Skalenarten Nominalskala Ordinalskala Kardinalskala Intervallskala Verhältnisskala Absolutskala MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 12

13 Kardinalskala Intervallskala Verhältnisskala Absolutskala Weitere Unterteilung der Kardinalskala Intervallskala Nullpunkt & Maßeinheit nicht eindeutig festgelegt Beispiele: Temperatur in Celsius, Fahrenheit, Kalenderzeit Verhältnisskala Fester Nullpunkt Beispiele: Länge, Masse, Dauer, Winkel, Preise, Temp. in Kelvin Absolutskala Einheit a priori festgelegt (natürlich gegeben) Beispiele: Froschbevölkerung verschiedener Tümpel (F), NP keine Frösche Anzahl Personen/Hörsaal (P/H), MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 13

14 Beispiel: Usability Evaluation mit Studenten Statistische Fragestellung: Wie ist die Altersstruktur und Geschlecht der Versuchsteilnehmer einer Usability Evaluation am 5. Februar eines Jahres Grundgesamtheit: Studenten der TU-Dresden Stichprobenumfang: 25 Merkmalsträger: Student Merkmale: Alter Geschlecht Ausprägungen: 16, 17, 18, Jahre m/w Stichprobenwerte: 23 Jahre, w 19 Jahre, m 35 Jahre, m MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 14

15 Arten der Datenerhebung Primärerhebung Befragung Beobachtung Automatische Erfassung Experiment Auch möglich: Sekundärerhebung MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 15

16 Urliste MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 16

17 Urliste MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 17

18 Häufigkeitstabelle Beispiel: Von 20 Studenten wurden Reaktionszeiten auf einen Alarm gemessen (hypothetische Daten) Absolute Häufigkeit: Anzahl der Beobachtungswerte mit einer bestimmten Ausprägung h(a j )=h j Relative Häufigkeit: f ( a ) j h ( a n j ) MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 18

19 Häufigkeitstabelle Merkmal a 1 a 2 a 3 a 4 Ausprägung h j f j 0,25 0,45 0,2 0,1 n=20 Summe: 1,00 MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 19

20 Empirische Verteilungsfunktion F n 0 für x a1 ( x ) F für a x a j j j 1 ( j 1,, k 1) 1 für a k x x <- c(3,2,1,2,2,1,1,2,2,3,1,4,3,1,2,3,4,2,2,2) plot(ecdf(x), main="empirische Verteilungsfunktion [Reaktionszeit in s]", xlab="x", ylab="f_n") MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 20

21 Histogramme Primär Sekundär Reaktionszeit Reaktionszeit hist(x,breaks=c(0.5,1.5,2.5,3.5,4.5)) hist(x,breaks=c(0.5,2.5,4.5),labels=c("schnell","langsam")) MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 21

22 Histogramm n=1000 y=rnorm(1000, mean=0, sd=1) hist(y) MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 22

23 Empirische Verteilungen Zweck ist, Grundgesamtheiten bezüglich bestimmter Merkmale auf einfache Weise als Ganzes zu überblicken Es wird quantifiziert welche Merkmale wie oft vorkommen -> Histogramm MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 23

24 Eigenschaften von Verteilungen Symmetrie Symmetrisch (Körpergröße) Asymmetrisch (Einkommen) Modalität Unimodal (Einkommen BRD) Bimodal (Einkommen in Stadt mit Armenviertel) Multimodal Breite Schmalgipflig (Laufzeiten Profis) Breitgipflig (Laufzeiten untrainierte Personen) Schiefe Linkssteil (rechtsschief): Streckenlänge mit Auto, Bier/PartyTN Rechtssteil (linksschief): Wie schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit ein, dass Deutschland sich für die WM 2018 qualifiziert? MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 24

25 Verteilungskennwerte Statistische Maßzahlen Maße der zentralen Tendenz (Lageparameter) Arithmetisches Mittel, empirischer Median, Modalwert Zentrum einer Verteilung Maße der Streuung (Dispersion) Varianz, Standardabweichung, Quartilsabstand Ausmaß an Unterschiedlichkeit in einer Verteilung Maße der Schiefe (Formparameter) Symmetrie der Verteilung MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 25

26 Arithmetischer Mittelwert ( Durchschnitt ) x 1 n n i 1 x i Mindestens kardinalskalierte Messwerte Eigenschaften Summe der Abweichungen der Messwerte vom Mittelwert ist 0 Summe der quadrierten Abweichungen = min Lineare Transformation der Einzelwerte führt zu gleicher Transformation beim arithmetischen Mittel MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 26

27 Typen von Merkmalen (Skalenarten) Skalenarten Nominalskala Ordinalskala Kardinalskala Intervallskala Verhältnisskala Absolutskala MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 27

28 Median ( 50%-Wert, Zentralwert ) Mindestens ordinalskalierte Merkmale Der Wert x i für den gilt, dass 50% aller Werte größer und 50% kleiner sind. x n ungerade: ((n+1)/2)-ter Wert der Rangliste der Beobachtungswerte n gerade: arithmetisches Mittel des (n/2)-ten und des (n/2+1)-ten Wertes Beachte: x* -> der Größe nach geordnet (Rangliste) x Med * n 2 2 x x * n 1 2 * n 1 2, falls, falls n n gerade ungerade MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 28

29 Modus / Modalwert Merkmalsausprägung x i, die am häufigsten gemessen wird Wenig aussagekräftig bei multimodalen Verteilungen Bereits für nominalskalierte Merkmale sinnvoll x mod arg max x x i h ( x ) oder auch x mod x mit h h für alle i 1,, j j i k MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 29

30 Zentrale Tendenz und Ausreißer Beispiel: Monatliches Budget von 30 Studenten 29 mit Finanzbudget zwischen , Mittelwert ~ 550 Ein Student mit 5000 Mittelwert über alle: 700 MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 30

31 Probleme mit dem arithmetischen Mittelwert bei ordinalskalierten Daten Wie würden Sie die Fachkompetenz der folgenden Politiker einschätzen? 1=niedrig, 2=eher hoch, 3=hoch, 4=sehr hoch Punktzahl: Politiker A Politiker B MW(Politiker A): 2.06, MW(Politiker B): 2.03 Median(PA): 1, Median(PB): 2 MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 31

32 Wichtigste Streuungsparameter Varianz (mittl. quadratische Abweichung) var 1 n ( x ) i n i 1 n 1 i µ wahrer Mittelwert der Grundgesamtheit x Stichprobenmittelwert n ( x i x ) 2 Standardabweichung s var MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 32

33 Weitere Streuungsparameter Spannweite (Range) R = x max -x min Informationsverlust bei Ausreißern Quartilsabstand (Interquartilbereich) Q = Q 3 -Q 1 = x 0,75 -x 0,25 MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 33

34 Box-Whisker-Plots Kombination verschiedener Kennwerte Range Quartil Quartilsabstand Alter boxplot(santa,col="green", range=1) Ja! MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 34

35 Mehrere Boxplots Benzinverbrauch von PKWs desselben Typs nach Betriebsdauer Quelle: Bankhofer U., Vogel J. (2008) MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 35

36 Korrelation Beispiel 1 MMST-Fragen lassen sich häufig als Zusammenhangssaussagen (wenndann, jedesto) formulieren Nutzung mobiler Geräte Wenn ein mobiles Gerät genutzt wird, dann werden weniger Fehler gemacht Merkmal A: Mobiles Gerät vs. kein Mobiles Gerät Merkmal B: Anzahl Fehler Wenn ein bestimmtes mobiles Gerät genutzt wird, dann werden deutlich weniger Fehler gemacht Merkmal A: verschiedene mobile Geräte Merkmal B: Anzahl Fehler MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 36

37 Korrelation Beispiel 2 Selbstwirksamkeitsüberzeugung korreliert mit Lerngeschwindigkeit Je höher die Selbstwirksamkeitsüberzeugung, desto schneller wird gelernt (weniger Fehler) Merkmal A: Selbstwirksamkeitsüberzeugung Merkmal B: Lerngeschwindigkeit In allen Beispielen werden Merkmale in Beziehung gesetzt MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 37

38 Möglichkeiten zur Analyse des Zusammenhangs Mittelwertvergleich Unterscheiden sich Gruppen hinsichtlich der durchschnittlichen Ausprägung eines Merkmals? Zusammenhangsanalyse (Korrelationsanalyse) Gehen hohe/niedrige Werte in einem Merkmal mit hohen/niedrigen Werten eines anderen Merkmals einher? Regressionsanalyse Wie lässt sich ein Merkmal X aus einem korrelierten Merkmal Y am besten vorhersagen? Welche Transformation der x-werte führt zu einer möglichst präzisen Schätzung der y-werte? MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 38

39 Korrelationsrechnung Gesucht: Maß für Stärke eines linearen Zusammenhangs zwischen zwei Größen Wie stark spiegeln sich Veränderungen in einem Merkmal in einem anderen wider? Ansätze: Zur Anschauung: Fechners Korrelationsindex r F Kovarianz (zentrales Produktmoment): cov(), s xy Korrelationskoeffizient r MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 39

40 n d n k Fechners Korrelationsindex r F Δy Einfaches und anschauliches Maß Abweichungsprodukt awp: n k Δx n d awp i x x y y x y i i i i n k = Anzahl der Objekte mit awp >0 n d = Anzahl der Objekte mit awp <0 r F n n k k n n d d Interpretation: r F =-1 Nur gegengerichtete Objekte r F =0 Gleich/gegengerichtet gleich häufig r F =1 Nur gleichgerichtete Objekte MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 40

41 Kovarianz Berücksichtigt auch Stärke der Abweichung vom Mittelwert pro Objekt: COV ( x, y ) s xy 1 n n x x y y x y x y i 1 i 1 COV(x,y)<0 negativer linearer Zusammenhang COV(x,y)~0 Kein Zusammenhang COV(x,y)>0 positiver linearer Zusammenhang i i 1 n n i i MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 41

42 Pearsons Korrelationskoeffizient Normierung durch Produkt der Standardabweichungen r COV s ( x, x s y y ) Invariant ggü. Lineartransformation r = -1 : perfekt negativ linearer Zusammenhang r ~ 0 : kein linearer Zusammenhang (X,Y müssen dennoch nicht unabhängig sein!) r =+1 : perfekt positiv linearer Zusammenhang MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 42

43 Scatterplots zu Korrelationskoeffizienten a) b) c) Quelle: Bankhofer U., Vogel J. (2008) MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 43

44 Ungewöhnliche Scatterplots zu Korrelationskoeffizienten a) b) c) Quelle: Bankhofer U., Vogel J. (2008) MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 44

45 Lineare Regression Quelle: Bankhofer U., Vogel J. (2008) MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 45

46 MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 46 Berechnung der Regressionsgeraden x b a y ˆ ˆ. ˆ ˆ, ) var( ), cov( ˆ 2 x b y a x y x s s b x xy

47 Abschließende Hinweise Ergebnisse der hier berichteten Verfahren haben nur Gültigkeit für die Stichprobe Beispiel: Experiment mit 10 Probanden Merkmal 1: Verschiedene HMIs Merkmal 2: Effizienz r=0.3 Falsch: HMI-Varianten und Effizienz korrelieren zu r =0.3 Richtig: In dieser Untersuchung mit diesen Probanden korrelieren die HMI-Varianten und die Effizienz zu r=0.3 MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 47

48 Zusammenfassung Statistik in der MMST Anwendungsgebiete: Evaluationen, Data Mining Werkzeuge: R, SPSS, Statistica und viele andere Abgrenzung der deskriptiven zur induktiven Statistik Einführung in die deskriptive Statistik Die Skalenart entscheidet häufig darüber, welches statistische Verfahren überhaupt sinnvoll anwendbar ist Deskriptive Kennwerte geben einen schnellen Überblick über grundlegende Eigenschaften einer Verteilungsfunktion Berechnung verschiedener Kennwerte Gefahren: Nicht alle Kennwerte sind immer sinnvoll Grafische Darstellungen ermöglichen es, Sachverhalte schnell zu erkennen, ohne Zahlen erfassen und Werte miteinander vergleichen zu müssen Ab zwei verbundenen Messgrößen kann die Korrelation von Merkmalen betrachtet werden Die lineare Regression wird verwendet um ein Merkmal Y aus einem korrelierten Merkmal X vorherzusagen MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 48

49 Literatur Einführung in die Statistik [1] Bankhofer U., Vogel J. (2008). Datenanalyse und Statistik. Gabler, Wiesbaden. [2] Wirtz, M., Nachtigall, Ch. (2006). Deskriptive Statistik. Juventa, Weinheim. [3] Bortz, J., Döring, N. (2006). Forschungsmethoden und Evaluation. Springer, Berlin. Einführung R [4] Dalgaard, P. (2008, 2nd. Ed). Introductory Statistics with R. Springer, Berlin. [5] Adler, J. (2009). R in a Nutshell. O Reilly, Sebastopol (CA). Weiterführendes Material [6] Cohen, J. (1992). A power primer. Psychological Bulletin, 112, [7] Sarris, V., & Reiß, S. (2005). Kurzer Leitfaden der Experimentalpsychologie. Pearson Studium. MMST Urbas, Pfeffer Folie Nr. 49

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