(Ausschnitt aus Karl Friedrich Schinkel, Die Erfindung des Zeichnens, 1830)

Transkript

1 Projektionen transformieren 3D-Objekte in 2D-Biler (mathematisch: lineare Abb., aber nicht bijektiv ugehörige Matrix singulär,.h. Determinante ) Projektion ist Grunaufgabe in er Grafik Zeichnen als Projektion: (Ausschnitt aus Karl Frierich Schinkel, Die Erfinung es Zeichnens, 83)

2 Frühe Beispiele für Projektionen: Gebäueplan (orthografische Projektion) aus Mesopotamien (25 v. Chr.) früheste bekannte, noch existierene technische Zeichnung griechische Vasen aus em späten 6. vorchristl. Jh. eigen perspektivische Darstellungen er röm. Architekt Vitruvius publiierte Beschreibungen perspektivischer Darstellung (ie ugehörigen Illustrationen ieses Werkes sin verlorengegangen) Hauptcharakteristiken er Perspektive: parallele Linien konvergieren im Bil in einem Fluchtpunkt (vanishing point) entfernte Objekte erscheinen kleiner als nahe (perspektivische Verkürung)

3 Frühe Ansäte ur Perspektive: Schattierung suggeriert Körperlichkeit konvergierene Linien suggerieren Tiefe anfangs nicht systematisch Linien konvergieren nicht in einelnem Fluchtpunkt Gemäle von Giotto von ca (Assisi, obere Basilika) Umstäne er (Wieer-) Enteckung er perspektivischen Projektion: Renaissance neues Bewusstsein er Wichtigkeit es eigenen Stanpunktes un er Beobachtung er Welt, insbes. er Natur (Astronomie, Anatomie, Botanik etc.) Donatello, Leonaro, Galilei,..., Newton mechanistisches Weltbil: Universum als Uhrwerk Streben nach präiser Abbilung er Wirklichkeit (auch wichtig für ökonomische Expansion: Seefahrt, Kartographie, Funktion technischer Geräte...)

4 Brunelleschi ( ): entwickelte im frühen 5. Jh. systematische Methoe er perspektivischen Projektion. Ziel: vollstänige Genauigkeit er Wieergabe es Motivs. (Perspektive ist nur von einem Betrachterstanpunkt aus genau siehe sein "Abenmahl") Alberti (44-472): erste Arbeit über Perspektive, "Della Pittura" (435) entwickelte en Begriff er "Sichtpyramie" Berechnung es projiierten Biles mittels ähnlicher Dreiecke (Strahlensäte) AB: Höhe es abubilenen Objekts, CB: Abstan es Betrachters vom Objekt, CD: Abstan es Betrachters von er Projektionsfläche CB : CD AB : ED Konept er ähnlichen Dreiecke wure auch beschrieben in Abhanlung von Dürer (47-528), ie große Verbreitung fan

5 Albrecht Dürer: Der Zeichner er Laute (525) Perspektive kann künstlerisch eingesett weren, um ie Wahrnehmung es Betrachters u lenken Beispiel: Piero ella Francesca, Die Auferstehung (46) urch en Bilaufbau konentriert sich er Blick es Betrachters auf as Christusgesicht un auf en Sarg

6 Vermeer ( ): benutte wahrscheinlich eine Lochkamera (camera obscura) als Hilfsmittel bei er Schaffung seiner Werke arbeitete mit naheu fotografischer Genauigkeit schuf auch "Perspektiv-Kästen", in enen as Bil, urch Guckloch betrachtet, ie korrekte Perspektive hat erste Ansäte u 3D-Simulationen realer Senen! Websites u Vermeer: wichtig: perspektivische Zeichnungen können mathematisch konstruiert weren insofern Nähe ur Algorithmik / Informatik (aus Vreeman e Vries, "Perspektive", nach van Dam 2)

7 Wir beschränken uns (unächst) auf planare Projektionen: ie Projektionsstrahlen sin Geraen ie Projektionsfläche ist eine Ebene Haupttypen planarer Projektionen: Parallelprojektion: Projektionsentrum (Center of Projection, COP) liegt im Unenlichen ( ist u erseten urch "Direction of Projection", DOP) Projektionsstrahlen verlaufen parallel ueinaner keine perspektivische Verkürung

8 Verwenung er Parallelprojektion: Ingenieurwesen un Architektur kann für Messungen verwenet weren: Längenverhältnisse bleiben erhalten Perspektivische Projektion: imitiert unser Auge oer eine Kamera natürlichere Wirkung Verwenung, wenn as Ziel Fotorealismus ist, u. generell in Kunst u. Design Parallelprojektion mathematisch: (Darstellung hier ebenfalls mit homogenen Koorinaten!) analog für ie aneren Koorinatenebenen: "Hauptrisse" in Grafik- un Konstruktions-Software oft in 3 Fenstern argestellt (4. Fenster: perspektivische Ansicht es Objekts) (AutoCAD, Maya, LightWave, 3D Stuio Max, Photoshop...) "Multiview-Darstellung". "Top", "Front", "Sie": Draufsicht, Voreransicht, Seitenansicht.

9 Hauptrisse: Stimmt ie Projektionsrichtung mit einer er Koorinatenrichtungen überein, so erhält man je nach Wahl er Koorinatenrichtung un es Voreichens einen er sechs Hauptrisse eines Objekts. Matrixarstellung er Projektion auf ie Ebene (häufig wir gewählt): (uerst -Koorinate u machen, ann konstanten Translationsanteil (; ; ) aieren.) Analog für ie Projektionen auf x x bw. y y. Die Hauptrisse gehören u en rechtwinkligen (auch: orthografischen) Parallelprojektionen: ie Projektionsstrahlen treffen senkrecht auf ie Projektionsebene.

10 rechtwinklige Parallelprojektionen, ie keine Hauptrisse sin, heißen "axonometrisch". Kenneichen: Projektionsebene nicht parallel u einer er Koorinatenebenen uniforme Verkürung (unabhängig von er Entfernung) Parallelität bleibt erhalten, Winkel nicht Man unterteilt weiter: isometrische Projektion: selbe Verkürung entlang aller rei Achsen imetrische Projektion: selbe Verkürung auf 2 er Achsen, anerer Faktor gilt für ie ritte trimetrische Projektion: unterschieliche Verkürungsfaktoren für alle 3 Koorinatenachsen links: isometrische Projektion eines Würfels, Mitte: imetrische Projektion (selber Verkürungsfaktor entlang er x- un er - Achse), rechts: trimetrische Projektion. Aus Rauber (993). Nicht-rechtwinklige Parallelprojektionen heißen schiefwinklig (oblique): Projektionsstrahlen treffen nicht im rechten Winkel auf ie Projektionsfläche auf. Häufig gebrauchte Speialfälle:

11 Kavalierperspektive: Winkel wischen Projektionsrichtung un Projektionsebene ist 45. Senkrecht ur Projektionsebene verlaufene Geraen weren ohne Verkürung wieergegeben. Kabinettperspektive: Winkel 63,4 arctan(2), Verkürung senkrechter Geraensegmente um Faktor /2. Darstellung eines Einheitswürfels mit schiefwinkliger Parallelprojektion. Links: Kavalierprojektion, Mitte: Kabinettprojektion, rechts: Variante mit 56 -Winkel er Projektionsstrahlen, entsprechen einer Verkürung von 2/3 (liefert oft natürlicheres Bil). Verkürung er ur Projektionsebene senkrechten Achse: links: Kavalierprojektion, rechts: Kabinettprojektion.

12 Matrixarstellung einer schiefwinkligen Parallelprojektion mit er xy-ebene als Projektionsebene un Projektionsstrahlen mit Richtungsvektor (rx, ry, r): P obl rx / r ry / r Perspektivische Projektionen Vorteile gegenüber Parallelprojektion: realistischerer Einruck er Dreiimensionalität bessere (keine perfekte!) Entsprechung um Foto Nachteil: Längenverhältnisse un Winkel bleiben nicht erhalten (außer bei Objekt-Teilen, ie parallel ur Projektionsebene liegen) Verwenung: Präsentationseichnungen, Werbeeichnungen, Architektur, Kunst, Design Unterschiee ur Parallelprojektion: parallele Geraen, ie nicht parallel ur Projektionsebene sin, konvergieren Größe von Objekten verringert sich mit em Abstan perspektivische Verkürung ist nicht einheitlich für alle Abstäne Fluchtpunkte: je nach Lage es abubilenen Objekts relativ ur Projektionsebene hat man, 2 oer 3 Fluchtpunkte (vanishing points) 3 Typen von Perspektive

13 Ein-Punkt-Perspektive (Fluchtpunkt auf -Achse): Zwei-Punkt-Perspektive (Fluchtpunkte auf - un x-achse): Drei-Punkt-Perspektive (Fluchtpunkte auf allen rei Koorinatenachsen):

14 Wie kommen ie Fluchtpunkte ustane? perspektivisches Bil Schnitt er Projektionsebene mit Lichtstrahlen vom Objekt um Auge (Center of projection COP). In er Projektionsebene sin ie Biler paralleler Geraen nicht immer parallel: Fall : wir haben 2 parallele Linien AB, CD, ie parallel ur Projektionsebene verlaufen (hier in er xy-ebene): Die Projektionsstrahlen vom Auge nach AB un CD efinieren 2 Ebenen, ie sich in einer Geraen schneien, ie as Auge enthält. Diese Gerae schneiet ie Projektionsebene nicht, a sie parallel au ist. Daher gibt es keinen Fluchtpunkt.

15 Fall 2: A un C haben größeren Abstan von er Projektionsebene als B un D. Es liegen.b. B un D in er Projektionsebene, A un C ahinter. Projektionen er parallelen Strecken AB un CD auf ie Projektionsebene: A'B un C'D. A'B ist nicht parallel u C'D! ie Projektionsstrahlen vom Auge u A'B un C'D efinieren wieer 2 Ebenen, ie sich in einer Geraen schneien, ie as Auge enthält iese Gerae schneiet ie Projektionsebene er Schnittpunkt ist er Fluchtpunkt!

16 Matrixarstellung er Zentralprojektion Urbilraum mit Koorinaten x, y, Bilebene: xy-ebene Projektionsentrum bei < ( hinter er Bilebene ) Bilpunkt ' v u P v u y x P α, ) / ( ) ( α α α α somit (aus en ersten beien Komponenten er Vektorgleichung): x x u u x α α y y v v y α α Matrixarstellung: / ) ( / ' y x y x y x P h

17 äquivalent ist ie Darstellung: ' y x y x y x P h Beachte: Um auf kartesische Koorinaten u kommen, ist im letten Schritt jeweils eine Normalisierung er homogenen Koorinaten urchuführen (Division urch ie 4. Komponente, um ort eine u ereugen). Für nähert man sich er orthogonalen Parallelprojektion an: x x x lim lim (Regel von e l Hospital), analog für y, also ' y x P h (vgl. Parallelprojektion). Beispiel: Das Projektionsentrum liege im Abstan 2 hinter er Projektionsebene, er xy-ebene. Was ist as Bil es Objektpunktes (; ; 5)? 2/7 2/7 7 /2 5 /2 Der Bilpunkt hat ie kartesischen Koorinaten x y 2/7,. Projektionen aus beliebigen Richtungen un mit beliebigem Projektionsentrum (Blickpunkt) können urch Translationen un Drehungen in ie obige Form überführt weren.

18 Übersicht: Typen von Projektionen