Unter der Drehgruppe verstehen wir diegruppe der homogenen linearen Transformationen

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1 Darstellunstheore der SO() und SU() Powtschnk Alexander. Defnton Darstellun Ene Darstellun ener Gruppe G st homomorphe Abbldun von deser Gruppe auf ene Gruppe nchtsnulärer lnearer Operatoren auf enem Vektorraum L. Ist dese Abbldun somorph, so sprcht man von ener treuen oder etreuen Darstellun. De Dmenson der Darstellunen st de Dmenson des Vektorraums L. Zwe Darstellunen snd Äquvalent (D(ϕ,L)<=>D(ϕ,L )), wenn ene Basswechsel-Matrx M exstert, so dass lt G:ϕ () = M -1 ϕ()m Was bedeutet "SO() und SU()? { R } { C } SO() = A GL(, ) A A=1 det(a)=1 SU() = A GL(, ) A A=1 det(a)=1. Also spezelle orthoonale Matrzen bzw. spezelle untäre Matrzen. Warum snd SO() und SU() nteressant? Drehruppe "SO(),SU()" (kompakt, halbenfach) Lorentztransformaton Lorentz-Gruppe (ncht kompakt) ranslatonen Poncare-Gruppe (ncht halbenfach) Durch komplexe Rechnun D x ( y1, y) ( y1 y) e α α = = + = ( x1 + x) = ( x1 cosα x sn α) + ( x1 snα + x cos α) Unter der Drehruppe verstehen wr degruppe der homoenen lnearen ransformatonen ' x = Rx enes eukldschen dredmensonalen Raumes n sch, welche Länen nvarant lassen und Orentrunen ncht ändern. Es bt dre ransformatonen (abstrakte aktve passve)

2 a) Abstrakte ransformaton: x X, läßt nvarant (x,x) = x > 0 x = (Rx). b) Matrxlechun für aktve ransformaton bzl fester ON Bass: x = R x,mt det(r)=1., µ µ ν ν c) Matrxlechun für de passve ransformaton x ' = R x µ µ ν ν be der nur de Bassvektoren verdreht werden Bsp. Parametrserun n Drehwnkel α = α α x α x ε α x α α α α α α α α ν ν µνλ λ ν ' µ µ ν µ ν µ x = x cos + x cos + (1 cos ) + sn Mt Matrx von: µνλ λ µ µ α µ ε α R cos ν ν = δν α + α (1 cos α) + snα α α Bsp: Eulersche Wnkel { µ } { ' } se e ON Rechtsystem von Bassvektoren e verdrehtes System, dann e ' µ µ R(,, )eµ Formal: α β γ e ' 1 cosγ snγ cosα snα 0 e1 e ' = snγ cosγ 0 0 cos β sn β snα cosα 0 e ' e 0 sn β cos β e =R( α, β, γ ) De nverse Matrx zu R( α, β, γ ) st α β γ -1 R (,, ) = R( π γ, β, π α) = Betrachten erst für klene Drehun R=1+ Ω mt RR = 1, Ω + Ω = 0 Ω st ene antsymmetrsche Matrx 0 α α Ω = α 0 α ατ 1 = α α 0 1 τ st en rplet von Matrzen

3 = τ, τ, τ 1 = = Se snd de Generatoren von nfntesmalen Drehunen um de dre Achsen. Dese Generatoren und deren Vertauschunsrelaton (de soenannte Le-Alebra) leen de Gruppe vollständ fest. Es muss auch elten (τ ) =-ε jk jk Den Zusammenhan zwschen nfntesmalen und endlchen Drehun können wr so herstellen:de endlche Drehun R( α) schreben wr als N α α α R( α) = R( )R( ) =... = R( ) ; N α ατ Bem rossen N wrd hnrechend klen, wr können we oben R( α) 1 + setzen, und N N ατ N N erbt R( α) = exp( ατ ) = exp( ) so kann jede Drehun aus N,,nfntesmalen Drehunen" erzeut werden. Dese Generatoren ehören zu ener Le-Gruppe. Ene Le-Gruppe st ene Gruppe, de sch n der Nähe des neutralen Elements durch reelle Parameter beschreben läßt so dass das Gruppenprodukt n desen Parameter dfferenzerbar st. Le-Gruppen snd charaktersert duch de fundamentale Forderun: { k} γ β α { k} Parameter { α },{ β } der beden Faktoren sen: γ der Operaton R( )=R( )R( ). Dann soll γ analytsche Funktonen der γ φ (α ;β ) k k m n D.h., alle Abletunen, { β }{ α } n m j jk k,auch de höheren, exsteren. mt τ,τ = ε τ. De Generatoren snd also durch de Strukturkonstrukton festelet. Solche Darstellun nennt man"adjunerte Darstellun". We seht also de Le-Alebra des SO() aus?

4 Wähllen wr de Generatoren hermtsch d.h.: J = und R( ) = exp( J ) Dann erhalten wr de Le-Alebra SO() J,J =ε J τ α α J jk k (Der Alebra der quantenmechanschen Drehmpulsoperatoren). De Grundaufabe der Darstellunstheore st es de rreduzblen Darstellunen der Gruppe zu fnden. Irreduzble Darstellun der Gruppe? Orthoonale ransformaton des R als spzelle Darstellun R der Le-Gruppe SO() st Irreduzbel. Es bt m Darstellunsraum R kene nvaranten Unterräume.Da kene Rchtun und damt auch kene Ebene durch alle Drehunen n sch ubereführt wrd. Irreduzble Darstellun von SO() Se SO(),: ene Darstellun mvr-v ener enparametren Unterruppe ( τ ) st en enparametre ransformatons-oder Matrxruppe n VR-V zueordnet. Fürτ 1 lt: d + τ t, t= τ ( τ ) ( τ ) v τ = 0 ( τ ) t erzeuende der ( τ ). De Erzeuenden aller endmensonalen Unterruppen blden enen VR. In desem VR kann ene Bass aus dre Erzeuenden t ewählt werden, de ene Drehun um µ erzeuen und t, t µ ν µ = ε µνλ t λ enüen. t µ blden auch Le-Alebra deren struktur somorph zur Le-Alebra st. Betrachten aktve Drehun se eµ - ONB durch de Matrx R( α) e. Und eµ = S e st ene neue Bass, de durch Drehun SR ( ) S -1 µν ν α eeben. Da α n der neue -1 Bass α =S α wrd, muss S(R( α))s = R(S α) elten. D.h. zu beleber Darstellun n VR muss Bsp. = sen h -1 ( α ) h (S hα ) für τ 1 α τα lt: = d ( ) v + τ t, t = ( τα) τ α τ = 0 τ t = α t = αt, t de Erzeuende von Drehun um de Koordnatenachse µ µ µ t blden VR. µ

5 Ersetzen wr h = dv + τ βt, -1 = d h v τ βt, S hα = α + ατ β α erhalten βt, αt = ( β α ) t oder t µ, t ν = εµνλt λ, λ = beleb. q.e.d. Satz: De rreduzblen Darstellunen ener halbenfach Le-Alebra werden durch de Eenewerte der Casmr-Operatoren klassfzert. Defnton: "Casmr-Operator" Casmr-Operatoren snd Funktonen der Generatoren, de mt allen Generatoren vertauschen. Bsp. so() J J1J 1 +J J +J J, = j, J = 0; = 1,, Für de Berechnun der Eenwerte der Casmr-Operatoren verwese ch auf de Vorlesun der "Quantentheore I" Wenn man de Bezechnun J,m für enen normeerten Eenvektor von j und j wählt j J,m = J ( + J + 1) J,m so dass j J,m = m J,m 1 dann kann j 0,,1,,, m { j, j + 1,... j} De Eeenwert j des Casmr- Operators, also den rößten vorkommenden Wert für m, bezechnet man als "höhstes Gewcht". De Darstellun der Le-Alebra snd also de Eenräume des Casmr-Operators (der höhsten Gewchte) aufzählen lassen Ihre Dmenson st j+1. Bsp1. j=0(endmensonal), trveale Darstellun. R( α) = exp( α j) = 1. j = 0, Bsp. j=1(dredmensonal) "ensordarstellun" Der Darstellunsraum wrd aufespannt { } von 1,1, 1,0, 1, j = J = J =

6 J 1 = (J + + J - ) =, 1 J = (J + -J - ) = Dese Darstellun st en mt dem physkalschen Raum verbunden. Durch de Ähnlchketstransformaton τ 1 0 man zu der defnerenden Darstellun von SO() zurück. -1 S J S = mt S= 0 0 elan De anzzahlen rreduzblen Darstellunen heßen allemen "ensordarstellunen". Bsp. j=1(dredmensonal) "ensordarstellun" mt dem Darstellunsraum { } von 1,1, 1,0, 1, 1 Bemerkun: De Zuständen J,m snd de ensordarstellunen Eenzustände des Dfferentaloperators. ħ L = X ( Drehmpuls der Quantenmechank). m In der Ortsdarstellun snd de Zustände de Kuelflächenfunktonen J,m = Y J Bsp. (zwedmensonal) "Spnordarstellun" Der Darstellunsraum wrd aufespannt von ,,, J = J + = J - = J 1 = J = D.h.:J = σ ( Paul sche Spnmatrzen)Generell versteht man unter Darstellunen mt halbzahlem j "Spnordarsellunen".Damt haben wr alle rreduzblen Darstellunen der Le-Alebra so() efunden und kateorsert. Aus der defnerenden Darstellun der SO() (de ene ensordarstellun mt dm= st) lassen sch alle ensordarstellunen ewnnen ncht jedoch "Spnordarstellunen" der Le-Gruppe SO(). Ausehend von der Le-Alebra kann man auf ren alebraschem We de Eenwerte und zuehören Eenräume fnden, de mt den Generatoren n Verbndun stehen und für rreduzblen Darstellunen de Eenräume der Gruppen blden.

7 Darstellun der SU() Betrachten komplexe untäre -Matrzen: a b U= mt a + b 1 * * -b a = mt zwe komplexe Zahlen und ene Bednun free Parameter dese 1 Generatoren snd de halben Paul-Matrzen:U ( α ) = exp( α σ ) also Spnordarstellun. j k σ σ jk σ De Le-Alebra su() der Le-Gruppe SU() st, = ε J jk Ernnerun:so(): J,J = ε j k d.h de Le-Alebra su() und so() snd lech. su() und so() unterscheden sch durch denfaktor 1/ m Exponenten. für Drehun um α = π folt R( π ) = R(0) =1 aber U(4π)=U(0)=1. jedem Element der SO() R( α) snd zwe Elementen der SU() U( α) und U( α + π ) zueordnet. D.h. m Geensatz zur π -Perodztät der SO() bestzt de SU() ene 4π Perodztät. Betrachten wr den Parameterraum der SU() durch Unmodulartätsbednu a + b = 1 4 erbt sch de Glechun ener (Hyper-)Kueloberfläche m R :u +v +x +y =1 mt den Matrxelementen von a = u+v und b = x+y. Deser soenannte "Parameterraum"von SU() st enfach zusmmenhänend: je zwe Wee zwschen zwe Punkten lassen sch enfach zusammenchänend nenander uberführen. Be SO() snd dese Punkte dentesch man kann sch den Parameterraum von SO() als de obere Halbkuel vorstellen, be der dametrale Punkte auf dem Äquator dentsch snd. Man sat: SU() st Überlaerunsruppe von SO(). Satz: jede Le-Alebra st Le-Alebra enau ener enfach zusammenhänenden Le-Gruppe. jede andere Le-Gruppe mt der lechen Le-Alebra, de n-fach zusamenhänt, wrd von der enfach zusammenhänenden Le-Gruppe n-fach überlaert. De Le-Gruppe SO() und SU() snd lokal um de Identtät somorph. Das folt aus der Glechhet hrer Le-Alebren. Global zerfallen allerdns de rreduzblen Darstellunen n ensordarstellunen und Spnordarstellunen. Bede Arten snd Darstellunen der SU(), aber nur de ensordarstellun snd Darstellunen der SO(). Manchmal sprcht man von Spnordarstellun der SO(). Mathematsch korrekt st allerdns, von ener Überlaerunsruppe zusprechen.

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