Darstellungsformen einer Funktion

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1 Darstellungsformen einer Funktion 9

2 Analytische Darstellung: Eplizite Darstellung Funktionen werden nach Möglichkeit eplizit dargestellt, das heißt, die Glieder mit und ohne Funktionsvariablen stehen auf der einen Seite der Funktionsgleichung und der Funktionswert auf der anderen Seite. Man spricht dann von eplizit definierten Funktionen. y = f y steht isoliert auf einer Seite der Funktionsgleichung Beispiele: y = 3 y = 3 sin y = e 30

3 Analytische Darstellung: Implizite Darstellung Zusammenhänge zwischen den Variablen und y können so in einer Gleichung dargestellt werden, dass die Glieder mit und y auf beiden Seiten der Gleichung stehen, ohne dass erkennbar ist, ob oder y die unabhängige Variable ist. Man spricht dann von implizit definierten Funktionen und Relationen. F, y = 0 Beispiele: F, y = 3 5 y 3 y = 0 F, y = y y y = 0 F, y = y 4 = 0 31

4 Analytische Darstellung: Beispiel y = 4 y = 4 Abb. 1: Darstellung eines Kreises mit dem Radius Wir bestimmen die eplizite Form der impliziten Funktionsgleichung: F, y = y 4 = 0 Die Auflösung nach y ergibt die Gleichungen von zwei Funktionen: f 1 : y = 4, X 1 = [, ], Y 1 = [0, ] f : y = 4, X = [, ], Y = [, 0] 3 Ihre Graphen sind die beiden Halbkreise.

5 Analytische Darstellung: Aufgabe 1 Geben Sie eine eplizite Darstellung folgender implizit definierten Funktionen a ) F, y = 3 y 6 = 0 b ) 6 y 8 = 0 c ) e = y d ) ln y = 33-1

6 Analytische Darstellung: Lösung 1 a ) y = 3 b ) c ) y = y = e e ) y = e 33-

7 Parameterdarstellung g : t f : y t h : t y y Abb. : Die Variablen und y in Abhängigkeit von dem Parameter t Die Variablen und y werden in Abhängigkeit von einer dritten Variablen, dem Parameter, dargestellt. Die allgemeine Form der Parameterdarstellung lautet: = g t, y = h t, t T Jedem Wert des Parameters t wird durch diese Funktionsgleichungen eindeutig ein Wert und ein Wert y zugeordnet. 34

8 Parameterdarstellung y R t Abb. 3-1: Der Kreises mit dem Radius Die Relation R = ± 4, D R = [, ] hat im rechtwinkligen ( y)-koordinatensystem den Kreis (R = ) um den Nullpunkt als Graphen. Geben Sie eine Parameterdarstellung dieser Relation. 35-1

9 Parameterdarstellung t=90 t=135 t=45 t=0 Abb. 3-: Der Kreis (R=) mit einigen Parameterwerten Das ist die Parameterdarstellung des Kreises mit dem Radius R = : = cos t, y = sin t, 0 t y = 4 cos t 4 sin t = 4 y = ± Ma, Vorkurs-009, Lubov Vassilevskaya

10 Parameterdarstellung: Aufgaben 1, Die Funktionen der folgenden Aufgaben sind durch Parametergleichungen definiert. Stellen Sie sie eplizit, d.h. in der Form y = y () dar, und skizzieren Sie Graphen Aufgabe 1: a ) t = t, y t = 5 t b ) t = t 1, y t = t 3 1 Aufgabe : a ) t = t, y t = t b ) t = 4 t, y t = t c ) t = t, y t = 0.5 t 36-A

11 Parameterdarstellung: Lösung 1 a t y Mit der Wertetabelle lassen sich Wertepaare von f bestimmen, z.b. (-, -3), (-1, 0.5). An den Graph von f werden die Parameterwerte geschrieben. Die Elimination von t aus den Gleichungen ergibt mit = t, y = 5 t t =, y = 5 1 Die parameterfreie eplizite Form der Funktionsgleichung ist y = 3 = f 36-1a

12 Parameterdarstellung: Lösung 1 a y t = 0 t = - t = -1 t = 1 t = t = -3 t = 3 t = b Abb. 4-1: Funktion f() mit einigen Parameterwerten f = 3

13 Parameterdarstellung: Lösung 1 b t = t 1, y t = t 3 1 y t = 1 in y = y t : y = y () y = [ t 3 1 ] t= 1 = = = = = 3 3 = 0 Schnittpunkt mit der -Achse Abb. 4-: Graphische Darstellung der Funktion y () = ³ + 3 ²

14 Parameterdarstellung: Lösung Die vier Parameterdarstellungen führen alle auf dieselbe parameterfreie Funktionsgleichung! a ) t = y = = 1 b ) t = 4 y = 3 4 = 1 c ) t = y = =

15 Parameterdarstellung: Aufgabe 3 Für die in Parameterform gegebenen Kurven ist die Darstellung y = f () zu ermitteln. Wodurch unterscheiden sie sich? a ) t = t, y t = t b ) t = cos t, y t = 0.5 cos t 1 Hinweis: cos t = cos t 1 c ) t = e t, y t = e t 37-1

16 Parameterdarstellung: Lösung 3 a ) t = t, y t = t y =, D = [ 0, ) b ) t = cos t, y t = 0.5 cos t 1, D = [ 1, 1] cos t = cos t 1 y = 0.5 cos t 1 1 = cos t = c ) t = e t, y t = e t y =, D = 0, y y y a) b) c) 37-

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