Darstellungsformen einer Funktion

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Darstellungsformen einer Funktion"

Transkript

1 Darstellungsformen einer Funktion 9

2 Analytische Darstellung: Eplizite Darstellung Funktionen werden nach Möglichkeit eplizit dargestellt, das heißt, die Glieder mit und ohne Funktionsvariablen stehen auf der einen Seite der Funktionsgleichung und der Funktionswert auf der anderen Seite. Man spricht dann von eplizit definierten Funktionen. y = f y steht isoliert auf einer Seite der Funktionsgleichung Beispiele: y = 3 y = 3 sin y = e 30

3 Analytische Darstellung: Implizite Darstellung Zusammenhänge zwischen den Variablen und y können so in einer Gleichung dargestellt werden, dass die Glieder mit und y auf beiden Seiten der Gleichung stehen, ohne dass erkennbar ist, ob oder y die unabhängige Variable ist. Man spricht dann von implizit definierten Funktionen und Relationen. F, y = 0 Beispiele: F, y = 3 5 y 3 y = 0 F, y = y y y = 0 F, y = y 4 = 0 31

4 Analytische Darstellung: Beispiel y = 4 y = 4 Abb. 1: Darstellung eines Kreises mit dem Radius Wir bestimmen die eplizite Form der impliziten Funktionsgleichung: F, y = y 4 = 0 Die Auflösung nach y ergibt die Gleichungen von zwei Funktionen: f 1 : y = 4, X 1 = [, ], Y 1 = [0, ] f : y = 4, X = [, ], Y = [, 0] 3 Ihre Graphen sind die beiden Halbkreise.

5 Analytische Darstellung: Aufgabe 1 Geben Sie eine eplizite Darstellung folgender implizit definierten Funktionen a ) F, y = 3 y 6 = 0 b ) 6 y 8 = 0 c ) e = y d ) ln y = 33-1

6 Analytische Darstellung: Lösung 1 a ) y = 3 b ) c ) y = y = e e ) y = e 33-

7 Parameterdarstellung g : t f : y t h : t y y Abb. : Die Variablen und y in Abhängigkeit von dem Parameter t Die Variablen und y werden in Abhängigkeit von einer dritten Variablen, dem Parameter, dargestellt. Die allgemeine Form der Parameterdarstellung lautet: = g t, y = h t, t T Jedem Wert des Parameters t wird durch diese Funktionsgleichungen eindeutig ein Wert und ein Wert y zugeordnet. 34

8 Parameterdarstellung y R t Abb. 3-1: Der Kreises mit dem Radius Die Relation R = ± 4, D R = [, ] hat im rechtwinkligen ( y)-koordinatensystem den Kreis (R = ) um den Nullpunkt als Graphen. Geben Sie eine Parameterdarstellung dieser Relation. 35-1

9 Parameterdarstellung t=90 t=135 t=45 t=0 Abb. 3-: Der Kreis (R=) mit einigen Parameterwerten Das ist die Parameterdarstellung des Kreises mit dem Radius R = : = cos t, y = sin t, 0 t y = 4 cos t 4 sin t = 4 y = ± Ma, Vorkurs-009, Lubov Vassilevskaya

10 Parameterdarstellung: Aufgaben 1, Die Funktionen der folgenden Aufgaben sind durch Parametergleichungen definiert. Stellen Sie sie eplizit, d.h. in der Form y = y () dar, und skizzieren Sie Graphen Aufgabe 1: a ) t = t, y t = 5 t b ) t = t 1, y t = t 3 1 Aufgabe : a ) t = t, y t = t b ) t = 4 t, y t = t c ) t = t, y t = 0.5 t 36-A

11 Parameterdarstellung: Lösung 1 a t y Mit der Wertetabelle lassen sich Wertepaare von f bestimmen, z.b. (-, -3), (-1, 0.5). An den Graph von f werden die Parameterwerte geschrieben. Die Elimination von t aus den Gleichungen ergibt mit = t, y = 5 t t =, y = 5 1 Die parameterfreie eplizite Form der Funktionsgleichung ist y = 3 = f 36-1a

12 Parameterdarstellung: Lösung 1 a y t = 0 t = - t = -1 t = 1 t = t = -3 t = 3 t = b Abb. 4-1: Funktion f() mit einigen Parameterwerten f = 3

13 Parameterdarstellung: Lösung 1 b t = t 1, y t = t 3 1 y t = 1 in y = y t : y = y () y = [ t 3 1 ] t= 1 = = = = = 3 3 = 0 Schnittpunkt mit der -Achse Abb. 4-: Graphische Darstellung der Funktion y () = ³ + 3 ²

14 Parameterdarstellung: Lösung Die vier Parameterdarstellungen führen alle auf dieselbe parameterfreie Funktionsgleichung! a ) t = y = = 1 b ) t = 4 y = 3 4 = 1 c ) t = y = =

15 Parameterdarstellung: Aufgabe 3 Für die in Parameterform gegebenen Kurven ist die Darstellung y = f () zu ermitteln. Wodurch unterscheiden sie sich? a ) t = t, y t = t b ) t = cos t, y t = 0.5 cos t 1 Hinweis: cos t = cos t 1 c ) t = e t, y t = e t 37-1

16 Parameterdarstellung: Lösung 3 a ) t = t, y t = t y =, D = [ 0, ) b ) t = cos t, y t = 0.5 cos t 1, D = [ 1, 1] cos t = cos t 1 y = 0.5 cos t 1 1 = cos t = c ) t = e t, y t = e t y =, D = 0, y y y a) b) c) 37-

Lösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.)

Lösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.) Lösungsmethoden gewöhnlicher Dierentialgleichungen Dgl) Allgemeine und partikuläre Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung Eine Dierentialgleichung ist eine Gleichung! Zum Unterschied von den gewöhnlichen

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen

Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen Grundlagenwissen: Ableitungen, Flächen unter Kurven, Nullstellen, Etremwerte, Wendepunkte.. Bestimmen Sie die Stammfunktion F() der folgenden Funktionen. Die Konstante C darf weggelassen werden. a) f()

Mehr

Einführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten

Einführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten Einführung Zusammenhänge zwischen Größen wie Temperatur, Geschwindigkeit, Lautstärke, Fahrstrecke, Preis, Einkommen, Steuer etc. werden mit beschrieben. Eine Zuordnung f, die jedem x A genau ein y B zuweist,

Mehr

Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil 1

Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil 1 Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil -E -E Trennung der Variablen Die Differenzialgleichung. Ordnung mit getrennten Variablen hat die Gestalt f ( y) dy = g (x) dx Satz: Sei f (y) im Intervall I und g

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 0 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f() = ( sin() + 7) 5. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie eine Stammfunktion

Mehr

Weitere Aufgaben Mathematik (BLF, Abitur) Hinweise und Beispiele zu hilfsmittelfreien Aufgaben

Weitere Aufgaben Mathematik (BLF, Abitur) Hinweise und Beispiele zu hilfsmittelfreien Aufgaben Weitere Aufgaben Mathematik (BLF, Abitur) Hinweise und Beispiele zu hilfsmittelfreien Aufgaben Aufgabe C Gegeben ist eine Funktion f durch f ( ) = + 3. Gesucht sind lineare Funktionen, deren Graphen zum

Mehr

f(x, y) = 0 Anschaulich bedeutet das, dass der im Rechteck I J = {(x, y) x I, y J}

f(x, y) = 0 Anschaulich bedeutet das, dass der im Rechteck I J = {(x, y) x I, y J} 9 Der Satz über implizite Funktionen 41 9 Der Satz über implizite Funktionen Wir haben bisher Funktionen g( von einer reellen Variablen immer durch Formelausdrücke g( dargestellt Der Zusammenhang zwischen

Mehr

2 Funktionen mehrerer Veränderlicher

2 Funktionen mehrerer Veränderlicher 2 Funktionen mehrerer Veränderlicher 4 2 Funktionen mehrerer Veränderlicher Wir betrachten nun Funktionen, die auf einer Teilmenge des R n definiert sind. Wir betrachten eine Funktion f, deren Definitionsbereich

Mehr

Funktionen in der Mathematik

Funktionen in der Mathematik R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 05.0.008 Funktionen in der Mathematik Bei der mathematischen Betrachtung natürlicher, technischer oder auch alltäglicher Vorgänge hängt der Wert einer Größe oft

Mehr

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die

Mehr

Über die Bedeutung der zwei Zahlen m und x 1 für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert.

Über die Bedeutung der zwei Zahlen m und x 1 für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert. Lineare Funktionen - Term - Grundwissen Woran erkennt man, ob ein Funktionsterm zu einer Linearen Funktion gehört? oder Wie kann der Funktionsterm einer Linearen Funktion aussehen? Der Funktionsterm einer

Mehr

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2 Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4

Mehr

Funktionen. 1.1 Wiederholung

Funktionen. 1.1 Wiederholung Technische Zusammenhänge werden meist in Form von Funktionen mathematisch erfasst. Kennt man die Eigenschaften verschiedener Funktionstpen, lässt sich im Anwendungsfall das Arbeiten mit diesen erleichtern.

Mehr

Für die Parameter t und ϕ sind das im angegebenen Bereich Funktionen, d.h. zu jedem Parameterwert gehört genau ein Punkt.

Für die Parameter t und ϕ sind das im angegebenen Bereich Funktionen, d.h. zu jedem Parameterwert gehört genau ein Punkt. PARAMETERFUNKTIONEN Zwei Beispiele: gsave currentpoint translate 21 4 div setlin 1 1 x = 2t 2 1 y = t < t

Mehr

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01 . Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation:

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

Name: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe B

Name: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe B Name: Klasse: Datum: Teil B Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl0-Gruppe B. Gegeben ist die Exponentialfunktion y=f x =0.8 2 x ; x R. (9P) a) Geben Sie die folgenden Eigenschaften dieser Funktion an! Wertebereich,

Mehr

Kosinusfunktion: graphische Darstellung und Interpretation. 1-E Vorkurs, Mathematik

Kosinusfunktion: graphische Darstellung und Interpretation. 1-E Vorkurs, Mathematik Kosinusfunktion: graphische Darstellung und Interpretation 1-E Vorkurs, Mathematik Kosinusfunktion: Erklärung der Aufgabe 1 Aufgabe 1: Zeichnen Sie die trigonometrische Kosinusfunktion g (x) = a cos x.

Mehr

Name: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe A

Name: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe A Name: Klasse: Datum: Teil B Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe A 1. Gegeben ist die Exponentialfunktion y=f x = 0,5 x ; x R. (9P) a) Geben Sie die folgenden Eigenschaften dieser Funktion an! Wertebereich,

Mehr

1.3. Beträge, Gleichungen und Ungleichungen

1.3. Beträge, Gleichungen und Ungleichungen .3. Beträge, Gleichungen und Ungleichungen Das Maimum zweier Zahlen a, b (also die größere von beiden) wird mit ma(a,b) bezeichnet, ihr Minimum (also die kleinere von beiden) mit min(a,b). Der Absolutbetrag

Mehr

Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion.

Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion. Tutorium Mathe 1 MT I Funktionen: Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion 1 Definitionsbereich/Wertebereich

Mehr

Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale

Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale 1 E Linearisierung einer Funktion Abb. 1 1: Die Gerade T ist die Tangente der Funktion y = f (x) im Punkt P Eine im Punkt x = a differenzierbare Funktion

Mehr

7 Aufgaben im Dokument. Aufgabe P5/2010

7 Aufgaben im Dokument. Aufgabe P5/2010 Aufgabe P5/2010 7 Aufgaben im Dokument Die nach unten geöffnete Parabel hat die Gleichung 5. Zeichnen Sie die Parabel in ein Koordinatensystem. Die Gerade hat die Steigung und schneidet die -Achse im Punkt

Mehr

= 26 60 (Hauptnenner) 15x 12x + 10x = 26 60 zusammenfassen 13x = 26 60 :13 (Variable isolieren) x =

= 26 60 (Hauptnenner) 15x 12x + 10x = 26 60 zusammenfassen 13x = 26 60 :13 (Variable isolieren) x = WERRATALSCHULE HERINGEN KOMPENSATION MATHEMATIK JG. 11 1 Lineare Gleichungen Das Lösen linearer Gleichungen ist eine wichtige Rechenfertigkeit, die immer wieder gefordert wird und für den Mathematikunterricht

Mehr

1. Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS

1. Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS . Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS Arbeitszeit: 50 Minuten Lernstoff: Mathematische Grundkompetenzen: (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme: AG. Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

Aktualisierte Grundkompetenzen zu den Inhaltsbereichen Algebra und Geometrie und Funktionale Abhängigkeiten sowie zur Beschreibenden Statistik

Aktualisierte Grundkompetenzen zu den Inhaltsbereichen Algebra und Geometrie und Funktionale Abhängigkeiten sowie zur Beschreibenden Statistik Aktualisierte Grundkompetenzen zu den Inhaltsbereichen Algebra und Geometrie und Funktionale Abhängigkeiten sowie zur Beschreibenden Statistik Aufgrund der Erfahrungen bei der Aufgabenentwicklung, beim

Mehr

Parameterdarstellung einer Funktion

Parameterdarstellung einer Funktion Parameterdarstellung einer Funktion 1-E Eine ebene Kurve Abb. 1-1: Die Kurve C beschreibt die ebene Bewegung eines Teilchens 1-1 Eine ebene Kurve Ein Teilchen bewegt sich in einer Ebene. Eine ebene Kurve

Mehr

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.1 Einführung

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.1 Einführung Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap 9: Funktionen von mehreren Variablen 91 Einführung wwwmathethzch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/

Mehr

Lernkontrolle Relationen, Funktionen, lineare Funktionen

Lernkontrolle Relationen, Funktionen, lineare Funktionen Lernkontrolle Relationen, Funktionen, lineare Funktionen A 1) Im folgenden Diagramm bedeuten A, B, C, D jeweils die Kinder einer Familie; die Pfeile drücken die Relation "hat als Schwester" aus. a) Wie

Mehr

Lösungen zu ausgewählten Aufgaben der Klasse 11

Lösungen zu ausgewählten Aufgaben der Klasse 11 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben der Klasse 11 S. 9 Nr. a) K() = 0,001 1,9 + 600 + 1000 U() = 00.10 5..10 5 K () U ()..10 5 1.6.10 5 8.10 b) Monotonie : 0 00 00 600 800 1000 K() U() 0 1000 0 00 8800 60000

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Goniometrische Gleichungen

Goniometrische Gleichungen EL / GS - 3.8.5 - e_triggl.mcd Goniometrische Gleichungen Definition: Gleichungen, in denen die Variable als Argument von Winkelfunktionen vorkommen, nennt man "goniometrische Gleichungen". sweg: Mit Hilfe

Mehr

Betragsfunktion 6-E1. Vorkurs, Mathematik

Betragsfunktion 6-E1. Vorkurs, Mathematik Betragsfunktion 6-E1 Betragsfunktionen: Aufgabe 6 a) Zeichnen Sie folgende Betragsfunktionen f (x) = x 2, g (x) = x + 1 Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich dieser Funktionen. b) Wie

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

PFLICHTTEIL FRANZ LEMMERMEYER

PFLICHTTEIL FRANZ LEMMERMEYER PFLICHTTEIL FRANZ LEMMERMEYER ( Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion f(x mit f(x = (3x x + und Vereinfachen Sie so weit wie möglich. ( Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F (x von ( π f(x =

Mehr

Exponentialgleichungen: Teil 1. 1-E Mathematik, Vorkurs

Exponentialgleichungen: Teil 1. 1-E Mathematik, Vorkurs Exponentialgleichungen: Teil 1 1-E Mathematik, Vorkurs Exponentialgleichungen: Aufgaben 1, 2 Aufgabe 1: Berechnen Sie mithilfe der Potenzgesetze [ 36 2 3 6 ] : 1 3 6 ; [ 35 : 2 2 ] 3 2 5 3 Aufgabe 2: Fassen

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Die in diesem Skriptum behandelten Themen entsprechen etwa dem Niveau der Sekundarstufe I. Kontakt zum Autor:

Die in diesem Skriptum behandelten Themen entsprechen etwa dem Niveau der Sekundarstufe I. Kontakt zum Autor: Rüdiger Kuhnke Mathematischer Vorkurs zur Physik Die in diesem Skriptum behandelten Themen entsprechen etwa dem Niveau der Sekundarstufe I. Version 0. vom.0.008 Noch nicht vollständig korrigiert Kontakt

Mehr

Wahlfach Mathematik: Funktionen

Wahlfach Mathematik: Funktionen Wahlfach Mathematik: Funktionen In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-wert)

Mehr

4.1. Aufgaben zu linearen Funktionen

4.1. Aufgaben zu linearen Funktionen .. Aufgaben zu linearen Funktionen Aufgabe : Koordinatensstem a) Gib die Koordinaten der Punkte P - P 8 in dem rechts abgebildeten Koordinatensstem an. P P b) Markiere die Punkte A( ); B( ); C( ); P P

Mehr

Explizite und Implizite Darstellung einer Funktion

Explizite und Implizite Darstellung einer Funktion Eplizite un Implizite Darstellung einer Funktion Für ie implizite Differentiation weren ie Begriffe implizite un eplizite Darstellung von Funktionen benötigt. Bisher haben wir eine Funktion (Zusammenhang

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

1.3. Beträge, Gleichungen und Ungleichungen

1.3. Beträge, Gleichungen und Ungleichungen 1.3. Beträge, Gleichungen und Ungleichungen Das Maximum zweier Zahlen a, b wird mit max(a,b) bezeichnet, ihr Minimum mit min(a,b). Der Absolutbetrag einer reellen Zahl a ist a = max ( a, a ) oder auch

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

CAS-Einheit: Formen der Funktionsgleichung bei rationalen Funktionen

CAS-Einheit: Formen der Funktionsgleichung bei rationalen Funktionen CAS-Einheit: Formen der Funktionsgleichung bei rationalen Funktionen Die folgende Bildfolg zeigt, wie man Funktionsgraphen mit dem CAS-Rechner zeichnen kann: Aufgaben Lasse mit Hilfe des CAS-Rechners die

Mehr

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort: Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung

Mehr

9 Funktionen und ihre Graphen

9 Funktionen und ihre Graphen 57 9 Funktionen und ihre Graphen Funktionsbegriff Eine Funktion ordnet jedem Element aus einer Menge D f genau ein Element aus einer Menge W f zu. mit = f(), D f Die Menge aller Funktionswerte nennt man

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2014 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen

Abiturprüfung Mathematik 2014 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de Pflichtteil Aufgabe : Bilden Sie die Ableitung der Funktion f

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Quadratische Funktionen Aufgabe 1 Verschieben Sie die gegebenen Parabeln so, dass ihr Scheitelpunkt in S liegt. Gesucht sind die Scheitelpunktsform und die allgemeine Form der Parabelgleichung a) y = x²,

Mehr

10 Extremwerte mit Nebenbedingungen

10 Extremwerte mit Nebenbedingungen 10 Extremwerte mit Nebenbedingungen 49 10 Extremwerte mit Nebenbedingungen Wir betrachten nun Extremwertaufgaben, bei denen nach dem Extremwert einer fx 1,, x n gesucht wird, aber die Menge der zulässigen

Mehr

Selbsttest in Schulwissen Mathematik

Selbsttest in Schulwissen Mathematik Selsttest in Schulwissen Mathematik Falls Sie den Test von uns korrigieren und ewerten lassen wollen, machen Sie itte folgende Angaen: Name: Schulaschluss im Jahre: Vorname: im Bundesland oder Staat: Schulische

Mehr

Herbst b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t und Ihren Schnittpunkte A mit der x-achse. t geht durch B(1/2) und hat die Steigung m=-6 :

Herbst b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t und Ihren Schnittpunkte A mit der x-achse. t geht durch B(1/2) und hat die Steigung m=-6 : Herbst 24 1. Gegeben ist eine Funktion f : mit den Parametern a und b. a) Bestimmen Sie a und b so, dass der Graph von f durch den Punkt B(1/2) verläuft und die Tangente t in B parallel ist zur Geraden

Mehr

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten

Mehr

1. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner

1. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner 1. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner Arbeitszeit: 50 Minuten Lernstoff: Mathematische Grundkompetenzen: AG1.1 Wissen über die Zahlenmengen,,, verständig einsetzen können

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Rheinland-Pfalz. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Rheinland-Pfalz. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Rheinland-Pfalz Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen Vorwort Vorwort Erfolg von Anfang an Dieses Übungsbuch ist auf die

Mehr

Download. Mathematik üben Klasse 8 Funktionen. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Jens Conrad, Hardy Seifert

Download. Mathematik üben Klasse 8 Funktionen. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Jens Conrad, Hardy Seifert Download Jens Conrad, Hard Seifert Mathematik üben Klasse 8 Funktionen Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr Downloadauszug aus dem Originaltitel: Mathematik üben Klasse 8 Funktionen Differenzierte

Mehr

2. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner

2. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner . Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner Arbeitszeit: 50 Minuten Lernstoff: Mathematische Grundkompetenzen: AG1.1 Wissen über die Zahlenmengen,,, verständig einsetzen können

Mehr

Thüringer Kultusministerium

Thüringer Kultusministerium Prüfungstag: Mittwoch, den 07. Juni 2000 Prüfungsbeginn: 8.00 Uhr Thüringer Kultusministerium Realschulabschluss Schuljahr 1999/2000 Mathematik Hinweise für die Prüfungsteilnehmerinnen und -teilnehmer

Mehr

Bestimme dazu die Nullstellen, Scheitelpunkt und Schnittpunkt mit der y-achse und ergänze evtl. einige Punkte durch eine Wertetabelle.

Bestimme dazu die Nullstellen, Scheitelpunkt und Schnittpunkt mit der y-achse und ergänze evtl. einige Punkte durch eine Wertetabelle. Klasse Art Schwierigkeit Mathematisches Schema Nr. 9 Üben xx Quadratische Funktion 1 Skizziere den Graphen der durch y = 0,5 x 2 + x - 4 gegebenen quadratischen Funktion. Bestimme dazu die Nullstellen,

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 13 Technik A II - Lösung mit CAS

Abiturprüfung Mathematik 13 Technik A II - Lösung mit CAS GS.6.6 - m6_3t-a_lsg_cas_gs.pdf Abiturprüfung 6 - Mathematik 3 Technik A II - Lösung mit CAS Teilaufgabe Gegeben ist die Funktion f mit ( x ) mit der Definitionsmenge D ( x ) ( x 3) f IR \ { ; 3 }. Teilaufgabe.

Mehr

Relationen / Lineare Funktionen

Relationen / Lineare Funktionen Relationen / Lineare Funktionen Relationen Werden Elemente aus einer Menge X durch eine Zuordnungsvorschrift anderen Elementen aus einer Menge Y zugeordnet, so wird durch diese Zuordnungsvorschrift eine

Mehr

x 3 Genau dann liegt ein Punkt X mit dem Ortsvektor x auf g, wenn es ein λ R gib,t so dass

x 3 Genau dann liegt ein Punkt X mit dem Ortsvektor x auf g, wenn es ein λ R gib,t so dass V. Geradengleichungen in Parameterform 5. Definition ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 3 v a x x x Definition und Satz :

Mehr

Passerellen Prüfungen 2009 Mathematik

Passerellen Prüfungen 2009 Mathematik Passerellen Prüfungen 2009 Mathematik 1. Analysis: Polynom und Potenzfunktionen Gegeben sind die beiden Funktionen 21 und 32. a) Bestimmen Sie die Null, Extremal und Wendepunkte der beiden Funktionen.

Mehr

HRP 2007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag 2) HRP BOS-

HRP 2007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag 2) HRP BOS- HRP 007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag ) Bildung, Wissenschaft und Forschung HRP 007 -BOS- Name: Datum: Vorschlag : Aus 5 Aufgaben können Sie 3 auswählen. Sie müssen

Mehr

Funktionale Abhängigkeiten

Funktionale Abhängigkeiten Funktionale Abhängigkeiten Lehrplan Die Lehrpläne für die allgemein bildenden Schulen finden Sie online unter: http://www.bmukk.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_abs.xml 5. Klasse (Funktionen) Beschreiben

Mehr

ELEMENTE. Grundkompetenzen DER MATHEMATIK. für die neue Reifeprüfung. Mit Lösungen

ELEMENTE. Grundkompetenzen DER MATHEMATIK. für die neue Reifeprüfung. Mit Lösungen 5 ELEMENTE DER MATHEMATIK GK Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung Mit Lösungen Die Formulierung der Grundkompetenzen (GK) bezieht sich auf den Stand von August 2010. 1. Auflage, 2010 Gesamtherstellung:

Mehr

2 Kegelschnitte, Normalformen und Konstruktion

2 Kegelschnitte, Normalformen und Konstruktion Mathematik fur Ingenieure Institut fur Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik Dr. Dirk Windelberg Universitat Hannover Stand: 8. August 008 http://www.iazd.uni-hannover.de/windelberg/teach/ing

Mehr

Einführung in die Integralrechnung. Mag. Mone Denninger 13. November 2005

Einführung in die Integralrechnung. Mag. Mone Denninger 13. November 2005 Einführung in die Integralrechnung Mag. Mone Denninger. November 5 INHALTSVERZEICHNIS 8. Klasse Inhaltsverzeichnis Einleitung Berechnung einfacher Stammfunktionen. Integrationsregeln.........................

Mehr

Grundwissen Mathematik 8.Jahrgangsstufe G8

Grundwissen Mathematik 8.Jahrgangsstufe G8 Grundwissen Mathematik 8.Jahrgangsstufe G8 Funktionale Zusammenhänge Direkte Proportionalität Entspricht bei zwei einander zugeordneten Größen und y dem -, -, -, k-fachen der einen Größe das -, -, -, k-fache

Mehr

Aufgabensammlung zum Üben Blatt 1

Aufgabensammlung zum Üben Blatt 1 Aufgabensammlung zum Üben Blatt 1 Seite 1 Lineare Funktionen ohne Parameter: 1. Die Gerade g ist durch die Punkte A ( 3 4 ) und B( 2 1 ) festgelegt, die Gerade h durch die Punkte C ( 5 3 ) und D ( -2-2

Mehr

Übungsaufgaben zur Analysis

Übungsaufgaben zur Analysis Serie Übungsaufgaben zur Analysis. Multiplizieren Sie folgende Klammern aus: ( + 3y)( + 4a + 4b) (a b )( + 3y 4) (3 + )(7 + y) + (a + b)(3 + ). Multiplizieren Sie folgende Klammern aus: 6a( 3a + 5b c)

Mehr

Lineare Funktionen. Klasse 8 Aufgabenblatt für Lineare Funktionen Datum: Donnerstag,

Lineare Funktionen. Klasse 8 Aufgabenblatt für Lineare Funktionen Datum: Donnerstag, Lineare Funktionen Aufgabe 1: Welche der folgenden Abbildungen stellen eine Funktion dar? Welche Abbildungen stellen eine lineare Funktion dar? Ermittle für die linearen Funktionen eine Funktionsgleichung.

Mehr

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen. Gegeben ist die Funktion f() = (sin( π )) Ihr Graph sei K. a) Skizzieren Sie K im Intervall [0,]. Geben Sie die Periode von f an. Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte von K

Mehr

Ergänzung zu komplexe Zahlen

Ergänzung zu komplexe Zahlen Juli 2015 Übersicht 1 Ortskurven 2 Wechselstromkreis mit ohmschem und kapazitivem Widerstand (Parallelschaltung) i(t) u(t) R C Bei festen Werten für den ohmschen Widerstand R und die Kapazität C ergibt

Mehr

Trigonometrische Funktionen: Sinus und Cosinus. Dieter Harig (Dipl. Math.) HD MINT-Projekt 5. Dezember 2013

Trigonometrische Funktionen: Sinus und Cosinus. Dieter Harig (Dipl. Math.) HD MINT-Projekt 5. Dezember 2013 Trigonometrische Funktionen: Sinus und Cosinus Dieter Harig (Dipl. Math.) HD MINT-Projekt 5. Dezember 0 4 5 4 4 Grad- und Bogenmaß Wir betrachten den Einheitskreis (Radius r = ) und einen beliebigen Winkel

Mehr

Einfache Differentialgleichungen (algebraische Lösung)

Einfache Differentialgleichungen (algebraische Lösung) Einfache Differentialgleichungen (algebraische Lösung) 0. Definition, Einschränkung Definition: Sei die Funktion mit Gleichung = f() n-mal differenzierbar. Gilt F(,,,,, (n) ) = 0 (für alle ), so erfüllt

Mehr

Grundwissen Mathematik Klasse 8. Beispiel: m= 2,50 1 = 5,00. Gleichung: y=2,50 x. Beispiel: c=1,5 160=2,5 96=3 80=6 40=240.

Grundwissen Mathematik Klasse 8. Beispiel: m= 2,50 1 = 5,00. Gleichung: y=2,50 x. Beispiel: c=1,5 160=2,5 96=3 80=6 40=240. I. Funktionen 1. Direkt proportionale Zuordnungen Grundwissen Mathematik Klasse x und y sind direkt proportional, wenn zum n fachen Wert für x der n fache Wert für y gehört, die Wertepaare quotientengleich

Mehr

Extremwertaufgaben. 3. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung),

Extremwertaufgaben. 3. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung), Extremwertaufgaben x. Ein Landwirt will an einer Mauer einen rechteckigen Hühnerhof mit Maschendraht abgrenzen. 0 Meter Maschendraht stehen zur Verfügung. Wie groß müssen die Rechteckseiten gewählt werden,

Mehr

Wurzelfunktionen Aufgaben

Wurzelfunktionen Aufgaben Wurzelfunktionen Aufgaben. Für jedes k (k > 0) ist die Funktion f k (x) = 8 (x k ) kx, 0 x gegeben. a) Untersuchen Sie die Funktion f k auf Nullstellen und Extrema. Ermitteln Sie lim f k(x) sowie für 0

Mehr

M_G7 EF Pvn Klausurvorbereitung: Lösungen 13. Oktober Klausurvorbereitung. Lösungen

M_G7 EF Pvn Klausurvorbereitung: Lösungen 13. Oktober Klausurvorbereitung. Lösungen Klausurvorbereitung Lösungen I. Funktionen Funktionen und ihre Eigenschaften S. 14 Aufg. 2 f(-2)=0,5 f(0,1)=-10 f(78)= 1 78 g(-2)=-7 g(0,1)=-2,8 g(78)=153 h(-2)=57 h(0,1)=23,82 h(78)=11257 D f = R/{0}

Mehr

Realschulabschluss Schuljahr 2006/2007. Mathematik

Realschulabschluss Schuljahr 2006/2007. Mathematik Prüfungstag: Mittwoch, 3. Juni 2007 Prüfungsbeginn: 8.00 Uhr Realschulabschluss Schuljahr 2006/2007 Mathematik Hinweise für die Prüfungsteilnehmerinnen und -teilnehmer Die Arbeitszeit beträgt 50 Minuten.

Mehr

F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen

F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen Eine Parabolantenne bündelt Radio- und Mikrowellen in einem Brennpunkt. Dort wird die Strahlung detektiert. Die Form einer Parabolantenne entsteht durch die

Mehr

Prof. Dr. Rolf Linn

Prof. Dr. Rolf Linn Prof. Dr. Rolf Linn 6.4.5 Übungsaufgaben zu Mathematik Analysis. Einführung. Gegeben seien die Punkte P=(;) und Q=(5;5). a) Berechnen Sie den Anstieg m der Verbindungsgeraden von P und Q. b) Berechnen

Mehr

Annäherungen an Kurven und Flächen im Raum mit Nutzung moderner Medien

Annäherungen an Kurven und Flächen im Raum mit Nutzung moderner Medien Technische Universität Kaiserslautern Fachbereich Mathematik Annäherungen an Kurven und Flächen im Raum mit Nutzung moderner Medien Wissenschaftliche Prüfungsarbeit für das Lehramt an Gymnasien im Fach

Mehr

Lösungen der Musteraufgaben 2017. Baden-Württemberg

Lösungen der Musteraufgaben 2017. Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Musteraufgaben 07 Lösungen www.mathe-aufgaben.com Lösungen der Musteraufgaben 07 Baden-Württemberg allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Oktober 05 Baden-Württemberg:

Mehr

Grundlagen Algebra. Betragsgleichungen. Anschaulich kann man unter a die Maßzahl des Abstandes der Zahl a vom Nullpunkt der Zahlengeraden verstehen.

Grundlagen Algebra. Betragsgleichungen. Anschaulich kann man unter a die Maßzahl des Abstandes der Zahl a vom Nullpunkt der Zahlengeraden verstehen. GS -..5 - h_betragsgl.mcd Betragsgleichungen Definition: Betrag einer Zahl: a = a if a> if a = a if a< Betrag eines Terms: a b = ( a b) if a> b if a = b ( b a) if a< b Anschaulich kann man unter a die

Mehr

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,

Mehr

Mathematik-Dossier. Die lineare Funktion

Mathematik-Dossier. Die lineare Funktion Name: Mathematik-Dossier Die lineare Funktion Inhalt: Lineare Funktion Lösen von Gleichungssystemen und schneiden von Geraden Verwendung: Dieses Dossier dient der Repetition und Festigung innerhalb der

Mehr

5-EURO GEDENKMÜNZE. ab Ende der 9. Schulstufe

5-EURO GEDENKMÜNZE. ab Ende der 9. Schulstufe ab Ende der 9. Schulstufe 5-EURO GEDENKMÜNZE 5-Euro Gedenkmünzen in Silber werden in Österreich auf Basis eines regelmäßigen Neunecks ausgegeben. Beispiel aus dem Jahre 2009 (Quelle: Österreichische Nationalbank

Mehr

Unterlagen für die Lehrkraft

Unterlagen für die Lehrkraft Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 01/01 Mathematik. Juni 01 09:00 Uhr Unterlagen für die Lehrkraft 1. Aufgabe: Differentialrechnung

Mehr

Differentialgleichungen. Aufgaben mit Lösungen. Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya

Differentialgleichungen. Aufgaben mit Lösungen. Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya Differentialgleichungen Aufgaben mit Lösungen Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya ii Inhaltsverzeichnis. Tabelle unbestimmter Integrale............................... iii.. Integrale mit Eponentialfunktionen........................

Mehr

Analysis: Klausur Analysis

Analysis: Klausur Analysis Analysis Klausur zur Integralrechnung Stammfunktionsberechnung, Flächenberechnung, Rotationsvolumen, Funktionen zu Änderungsraten (Bearbeitungszeit: 9 Minuten) Gymnasium J1 Aleander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Lösung zu den Testaufgaben zur Mathematik für Chemiker II (Analysis)

Lösung zu den Testaufgaben zur Mathematik für Chemiker II (Analysis) Universität D U I S B U R G E S S E N Campus Essen, Mathematik PD Dr. L. Strüngmann Informationen zur Veranstaltung unter: http://www.uni-due.de/algebra-logic/struengmann.shtml SS 7 Lösung zu den Testaufgaben

Mehr