1. Winkel- und Seitensymmetralen (Südpolsatz) 2. An und Inkegelschnitte. 3. Zweite und erste Steinergerade

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1 Übungen zu GeoGebra F. Hofbauer Auf den folgenden Seiten sind Konstruktionsübungen zu finden, die mit einer dynamischen Geometriesoftware (Geogebra) durchgeführt werden können. Man kann auf diese Weise Sätze aus der Geometrie verifizieren, ohne einen mathematischen Beweis zu geben. 1. Winkel- und Seitensymmetralen (Südpolsatz) Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und die Winkelsymmetralen der Innen- und Außenwinkel. Die Schnittpunkte sind der Inkreismittelpunkt I und die Ankreismittelpunkte I a, I b und I c. Wir zeichnen die Mittelpunkte der sechs Strecken I a I, I b I, I c I, I a I b, I a I c und I b I c, am besten in roter Farbe. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Seitensymmetralen und den Umkreis des Dreiecks ABC. Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir Kreise, die die rot gezeichneten Punkte als Mittelpunkte haben und durch möglichst viele Punkte hindurchlaufen. 2. An und Inkegelschnitte Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und die Verlängerungen der Dreieckseiten. Wir wählen einen Punkt F. Wir spiegeln F an der Dreieckseite BC und erhalten F a, an der Dreieckseite AC und erhalten F b, und schließlich an der Dreieckseite AB und erhalten F c. Sei G der Mittelpunkt und r der Radius des Kreises durch F a, F b und F c. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Ellipse mit Brennpunkten F und G und mit Halbachse r/2. Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Fußpunkte der Lote von F und G auf die Verlängerungen der drei Dreieckseiten. Was kann man über die sechs Fußpunkte aussagen? Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Winkelsymmetralen w α, w β und w γ der Innenwinkel des Dreiecks ABC. Wir spiegeln l(f, A) an w α, l(f, B) an w β und l(f, C) an w γ. Zeichnung 5: In Zeichnung 2 zeichnen wir den Schnittpunkt P a der Gerade l(f a, G) mit der Verlängerung der Dreieckseite BC, den Schnittpunkt P b der Gerade l(f b, G) mit der Verlängerung der Dreieckseite AC, und den Schnittpunkt P c der Gerade l(f c, G) mit der Verlängerung der Dreieckseite AC. Weiters zeichnen wir l(p a, A), l(p b, B) und l(p c, C). Zeichnung 6: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Seitensymmetralen des Dreiecks F a F b F c. 3. Zweite und erste Steinergerade Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und den Umkreis. Wir wählen einen Punkt F auf dem Umkreis. Wir spiegeln F an der Dreieckseite BC und erhalten F a, an der Dreieckseite AC und erhalten F b, und an der Dreieckseite AB und erhalten F c. Wir konstruieren den Höhenschnittpunkt H und zeichnen die Gerade g durch H und F a. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Verlängerungen der Seiten des Dreiecks ABC und die Parabel mit Brennpunkt F und Leitlinie g. Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Schnittpunkt P a F der Geraden l(f a, F ) mit dem Umkreis, den Schnittpunkt P b F der Geraden l(f b, F ) mit dem Umkreis, und den

2 Schnittpunkt P c F der Geraden l(f c, F ) mit dem Umkreis. Geraden l(p a, A), l(p b, B) und l(p c, C). Schließlich zeichnen wir die 4. Vierecke Zeichnung 1: Wir zeichnen vier beliebige Punkte A, B, C und D. Sei E der Schnittpunkt der Geraden l(a, B) und l(c, D). Sei F der Schnittpunkt der Geraden l(b, C) und l(d, A). Es entstehen vier Dreiecke ABF, CDF, ADE und BCE. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Umkreise der vier Dreiecke. Zeichnung 3: In Zeichnung 2 zeichnen wir die Mittelpunkte der vier Umkreise ein. Was kann man über die Mittelpunkte sagen? Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Höhenschnittpunkte der vier Dreiecke. Was kann man über die Höhenschnittpunkte sagen? Zeichnung 5: In Zeichnung 4 zeichnen wir zwei Umkreise und deren Schnittpunkt P, der kein Eckpunkt ist. Wir zeichnen die Fußpunkte der Lote von P auf die vier Geraden, die die Dreieckseiten bilden. Was kann man über diese Fußpunkte sagen? Zeichnung 6: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Strecken AC, BD und EF und deren Mittelpunkte. Was kann man über diese Mittelpunkte sagen? Zeichnung 7: In Zeichnung 6 zeichnen wir die drei Kreise, die die Strecken AC, BD und EF als Durchmesser haben. 5. Kiepert Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC. Wir wählen einen Winkel w = 30 0 (Das Zeichen für Grad findet man, wenn man auf das Symbol α klickt). Auf jede der Seiten des Dreiecks ABC als Basis setzen wir ein gleichschenkeliges Dreieck mit Basiswinkel w. Die Spitzen dieser aufgesetzten Dreiecke seien S a, S b und S c. (Das kann man so machen: Wir zeichnen l(a, B) und drehen diese Gerade um den Punkt A mit Winkel w im Uhrzeigersinn und um den Punkt B mit Winkel w im Gegenuhrzeigersinn. Der Schnittpunkt S c der gedrehten Geraden ist die Spitze des Dreiecks. Ebenso für die anderen beiden Dreieckseiten.) Durch Klicken auf den Punkt links neben w in der Algebraansicht richten wir einen Schieberegler für w ein. Wir lassen w von 90 0 bis 90 0 laufen. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Geraden l(s a, A), l(s b, B) und l(s c, C). Sei K der Schnittpunkt von l(s a, A) und l(s b, B). Zeichnung 3: In Zeichnung 2 schalten wir die Spur von K ein und lassen w laufen. Zeichnung 4: In Zeichnung 2 zeichnen wir den Schwerpunkt S und den Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC und den Kegelschnitt durch die fünf Punkte A, B, C, H und S. Zeichnung 5: In Zeichnung 4 zeichnen wir die Asymptoten und bestimmen den Winkel zwischen ihnen. Weiters zeichnen wir den Umkreis des Seitenmittendreiecks. Zeichnung 6: In Zeichnung 5 können wir auch noch die Lote vom Schwerpunkt S auf die drei Dreieckseiten zeichnen und den Kreis durch die Fußpunkte dieser Lote. Zeichnung 7: In Zeichnung 4 zeichnen wir den Inkreismittelpunkt des Seitenmittendreiecks.

3 6. Napoleon und Morley Zeichnung 1: Wir übernehmen Zeichnung 1 aus dem letzten Abschnitt. Wir löschen den Schieberegler für w (in der Algebraansicht auf den Punkt links neben der Zahl w klicken). Zeichnung 2: In Zeichnung 1 geben wir w = 30 0 ein. Wir zeichnen das Dreieck S a S b S c und bestimmen die Winkel in diesem Dreieck. (Wir geben w = 30 0 ein.) Zeichnung 3: In Zeichnung 1 geben wir w = 45 0 ein. Wir zeichnen die Strecken S a S b und S c C und vergleichen deren Länge. Wir bestimmen den Winkel zwischen diesen beiden Strecken. Zeichnung 4: In Zeichnung 1 geben wir w = 60 0 ein. Wir zeichnen die Strecken S a A, S b B und S c C und vergleichen deren Längen. Wir zeichnen die Umkreise der aufgesetzten Dreiecke. Zeichnung 5: In Zeichnung 4 geben wir v = 47 0 und u = 21 0 ein. Die Geraden l(a, B) und l(a, C) wurden um den Punkt A mit Winkel w gedreht. Wir definieren die gedrehten Geraden um (Doppelklicken auf die gedrehte Gerade), indem wir den Winkel von w auf u ändern. Die Geraden l(a, B) und l(b, C) wurden um den Punkt B mit Winkel w gedreht. Wir definieren die gedrehten Geraden um, indem wir den Winkel von w auf v ändern. Die um C gedrehten Geraden lassen wir unverändert. Wir geben andere Winkel für u, v und w ein (Schieberegler). Was passiert mit den Strecken S a A, S b B und S c C, was mit den Umkreisen? Zeichnung 6: In Zeichnung 5 geben wir w = u v ein. Was passiert mit den Umkreisen? Wir vergleichen die Winkel zwischen den Strecken S a A, S b B und S c C mit den Winkeln u, v und w. Wir geben wir w = 90 0 u v ein. Was passiert in diesem Fall mit den Umkreisen? Zeichnung 7: In Zeichnung 5 löschen wir die Umkreise. Wir bestimmen die Winkel α, β und γ des Dreiecks ABC. Wir geben u = 60 0 α/3, v = 60 0 β/3 und w = 60 0 γ/3 ein. (Die Basiswinkel der aufgesetzten Dreiecke dritteln die Außenwinkel beim jeweiligen Eckpunkt des Dreiecks ABC.) Wir zeichnen das Dreieck S a S b S c und bestimmen dessen Winkel. Zeichnung 8: In Zeichnung 7 geben wir u = α/3, v = β/3 und w = γ/3 ein. Die aufgesetzten Dreiecke sitzen jetzt innen. Ihre Basiswinkel dritteln die Innenwinkel beim jeweiligen Eckpunkt des Dreiecks ABC. 7. Höhenfußpunkt und Tangentendreieck Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC, dessen Höhen und den Höhenschnittpunkt H. Wir zeichnen den Umkreis des Dreiecks ABC und die Tangenten an den Umkreis in den Punkten A, B und C. Diese Tangenten bilden die Seiten des Tangentendreiecks. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Höhenfußpunkt D der Höhe durch C, den Höhenfußpunkt E der Höhe durch A und den Höhenfußpunkt F der Höhe durch B. Wir zeichnen das Dreieck DEF (Höhenfußpunktdreieck). Wie liegt das Höhenfußpunktdreieck zum Tangentendreieck? Zeichnung 3: In Zeichnung 2 bestimmen wir die Winkel in den Dreiecken ADF, BDE und CEF. Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Umkreismittelpunkt U des Dreiecks ABC und die Eulergerade l(h, U). Weiters zeichnen wir die Ecken und den Umkreismittelpunkt des Tangentendreiecks.

4 8. Besondere Punkte Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC. Wir versuchen, die besonderen Punkte in eine Zeichnung zu zeichnen. Am besten ist es, sie besonders hervorzuheben, zum Beispiel durch rote Farbe. Hilfslinien, wie zum Beispiel Höhen und Winkelsymmetralen, sollten strichliert oder punktiert gezeichnet werden (unsichtbar gemacht werden), damit die Übersicht nicht verloren geht. Sind die besonderen Punkte gezeichnet, dann suchen wir nach Geraden, auf denen mehr als zwei besondere Punkte liegen. Den Höhenschnittpunkt H zeichnen wir als Schnittpunkt der drei Höhen. Um den Umkreismittelpunkt U zu erhalten, zeichnen wir den Umkreis und dessen Mittelpunkt (das erspart das Zeichnen von Hilfslinien). Den Schwerpunkt S können wir in die Eingabezeile tippen: S = (A + B + C)/3. Wir zeichnen die Symmetralen der Innen- und Außenwinkel. Deren Schnittpunkte sind der Inkreismittelpunkt I und die Ankreismittelpunkte I a, I b und I c. Wir zeichnen die Senkrechte g a auf BC durch I a, die Senkrechte g b auf AC durch I b und die Senkrechte g c auf AB durch I c. Die Geraden g a, g b und g c schneiden einander in einem Punkt, dem Bevanpunkt V. (Dieser ist auch der Mittelpunkt des Kreises durch I a, I b und I c.) Sei P a der Schnittpunkt von g a mit BC, P b der von g b mit AC und P c der von g c mit AB (Berührpunkte der Ankreise). Die Geraden l(p a, A), l(p b, B) und l(p c, C) schneiden einander in einem Punkt, dem Nagelpunkt N. Seien M a, M b und M c die Mitten der Dreieckseiten. Die Geraden l(i a, M a ), l(i b, M b ) und l(i c, M c ) schneiden einander in einem Punkt, dem Mittenpunkt M. Wir spiegeln P a an M a, P b an M b und P c an M c. Das ergibt die Punkte Q a, Q b und Q c. (Es sind die Berührpunkte des Inkreises Ausprobieren: Kreis mit Mittelpunkt I durch Q a.) Die Geraden l(q a, A), l(q b, B) und l(q c, C) schneiden einander in einem Punkt, dem Gergonnepunkt G. Wir spiegeln H an U und erhalten den Longchampspunkt L. Der Schnittpunkt der Symmetralen der Innenwinkel des Seitenmittendreiecks (Inkreismittelpunkt des Seitenmittendreiecks) ist der Spiekerpunkt K. 9. Miquel Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und die Verlängerungen l(a, B), l(b, C) und l(a, C) der Dreieckseiten. Wir wählen beliebige Punkte D auf l(a, B), E auf l(b, C) und F auf l(a, C). Wir zeichnen drei Kreise: den Kreis k a durch A, D, F, den Kreis k b durch B, D, E und den Kreis k c durch C, E, F. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Gerade g durch E und F. Sei G der Schnittpunkt von g mit l(a, B). Wir definieren die Kreise k a und k b um (Doppelklicken auf den Kreis): Wir ersetzen D durch G, das heißt k a geht jetzt durch A, G, F und k b durch B, G, E. Wir zeichnen den Umkreis des Dreiecks ABC (grün). Zeichnung 3: In Zeichnung 2 zeichnen wir die Mittelpunkte M a, M b und M c der Kreise k a, k b und k c und die Geraden l(m a, A), l(m b, B) und l(m c, C).

5 10. Der Feuerbachkreis Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC, die Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks und den Kreis durch diese Mittelpunkte (Feuerbachkreis oder Neunpunktkreis). Zeichnung 2: In Zeichnung 1 konstruieren wir den Inkreis und die drei Ankreise. Zeichnung 3: In Zeichnung 2 zeichnen wir die Schnittpunkte der Ankreise mit dem Feuerbachkreis und verbinden jeden dieser Schnittpunkte mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks ABC. Den Schnittpunkt des Inkreises mit dem Feuerbachkreis verbinden wir mit dem Inkreismittelpunkt. Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Höhen. Sei D der Fußpunkt der Höhe durch den Eckpunkt C, sei E der Fußpunkt der Höhe durch den Eckpunkt A und sei F der Fußpunkt der Höhe durch den Eckpunkt B. (Wir zeichnen das Höhenfußpunktdreieck DEF.) Weiters zeichnen wir den Höhenschnittpunkt H, den Mittelpunkt U der Strecke AH, den Mittelpunkt V der Strecke BH, und den Mittelpunkt W der Strecke CH. Zeichnung 5: Das Dreieck ABC in Zeichnung 4 sei spitzwinkelig. Wir bestimmen seine Innenwinkel α, β und γ und die Abstände p = AF, q = AD, r = BE und s = CE. Wir wählen einen beliebigen Punkt P (im Dreieck ADF ). Wir drehen den Punkt P um den Punkt D im Uhrzeigersinn um den Winkel γ und strecken den gedrehten Punkt zentrisch vom Punkt D aus um den Streckungsfaktor r p. Das ergibt einen Punkt Q. (Diese Drehstreckung führt auch A in E über und F in B.) Weiters drehen wir den Punkt P um den Punkt F im Gegenuhrzeigersinn um den Winkel β und strecken den gedrehten Punkt zentrisch vom Punkt F aus um den Streckungsfaktor s q. Das ergibt einen Punkt R. (Diese Drehstreckung führt auch A in E über und D in C.) Wir zeichnen die Geraden l(p, U), l(q, V ) und l(r, W ). Was erkennt man? Zeichnung 6: In Zeichnung 4 wählen wir einen beliebigen Punkt P, zeichnen die Gerade g durch P und H und die Senkrechte h auf g durch H. Wir zeichnen die Lote vom Eckpunkt A auf die Geraden g und h und deren Fußpunkte A g und A h. Ebenso zeichnen wir die Lote vom Eckpunkt B auf die Geraden g und h und deren Fußpunkte B g und B h und die Lote vom Eckpunkt C auf die Geraden g und h und deren Fußpunkte C g und C h. Schließlich zeichnen wir die Geraden l(a g, A h ), l(b g, B h ) und l(c g, C h ). 11. Sechsecke mit Umkreis Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC. Sei D der Fußpunkt der Höhe durch den Eckpunkt C, sei E der Fußpunkt der Höhe durch den Eckpunkt A und sei F der Fußpunkt der Höhe durch den Eckpunkt B. Seien Q und U die Projektionen des Punktes D auf die Dreiecksseiten AC und BC. Seien R und T die Projektionen des Punktes E auf die Dreiecksseiten AC und AB. Seien P und V die Projektionen des Punktes F auf die Dreiecksseiten AB und BC. Wir zeichnen das Sechseck P T UV RQ. Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken P T und RV, die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken P T und RV einschließt. Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken T U und QR, die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken T U und QR einschließt.

6 Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken P Q und UV, die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken P Q und UV einschließt. Wir zeichnen den Schnittpunkt M von zwei dieser Verbindungslinien und den Kreis mit Mittelpunkt M durch P. Zeichnung 2: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC. Sei D der Mittelpunkt der Seite AB, sei E der Mittelpunkt der Seite BC und sei F Mittelpunkt der Seite AC. Wir zeichnen die Schwerlinien und den Schwerpunkt S. Sei P der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ADS. Sei Q der Umkreismittelpunkt des Dreiecks AF S. Sei R der Umkreismittelpunkt des Dreiecks CF S. Sei T der Umkreismittelpunkt des Dreiecks BDS. Sei U der Umkreismittelpunkt des Dreiecks BES. Sei V der Umkreismittelpunkt des Dreiecks CES. Wir zeichnen das Sechseck P T UV RQ. Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken P T und RV, die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken P T und RV einschließt. Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken T U und QR, die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken T U und QR einschließt. Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken P Q und UV, die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken P Q und UV einschließt. Wir zeichnen den Schnittpunkt M von zwei dieser Verbindungslinien und den Kreis mit Mittelpunkt M durch P. Zeichnung 3: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC, die Schwerlinien s A, s B und s C und den Schwerpunkt S. Wir zeichnen die Senkrechte g A auf s A durch S, die Senkrechte g B auf s B durch S und die Senkrechte g C auf s C durch S. Wir zeichnen die Symmetrale der Strecke AS und deren Schnittpunkte A 1 und A 2 mit g B und g C. Wir zeichnen die Symmetrale der Strecke BS und deren Schnittpunkte B 1 und B 2 mit g A und g C. Wir zeichnen die Symmetrale der Strecke CS und deren Schnittpunkte C 1 und C 2 mit g A und g B. Was kann man über die Punkte A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 und C 2 sagen? Zeichnung 4: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und die Trägergeraden g a, g b und g c der Dreiecksseiten. Wir konstruieren den Höhenschnittpunkt H, zeichnen die Mittelpunkte M a, M b und M c der Dreiecksseiten. Weiters seien k a, k b und k c die Kreise durch H, die M a, M b und M c als Mittelpunkte haben. Wir zeichnen die Schnittpunkte A 1 und A 2 von k a mit g a, die Schnittpunkte B 1 und B 2 von k b mit g b und die Schnittpunkte C 1 und C 2 von k c mit g c. Was kann man über die Punkte A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 und C 2 sagen? (Wir zeichnen noch den Umkreis.) Zeichnung 5: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und die Trägergeraden g a, g b und g c der Dreiecksseiten. Wir wählen einen Punkt P. Wir zeichnen l(a, P ) und wählen einen beliebigen Punkt A 1 auf dieser Gerade. Wir zeichnen l(b, P ) und wählen einen beliebigen Punkt B 1 auf dieser Gerade. Wir zeichnen l(c, P ) und wählen einen beliebigen Punkt C 1 auf dieser Gerade. Weiters sei k a der Kreis durch die Punkte P, B 1 und C 1, sei k b der Kreis durch die Punkte P, A 1 und C 1 und k c der Kreis durch die Punkte P, A 1 und B 1. Wir zeichnen die Schnittpunkte von k a mit g a, die Schnittpunkte von k b mit g b und die Schnittpunkte von k c mit g c. Was kann man über diese sechs Schnittpunkte sagen? Zeichnung 6: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und die Trägergeraden g a, g b und g c der Dreiecksseiten. Wir wählen einen Punkt P. Wir zeichnen l(a, P ) und die Senkrechte h a durch A auf l(a, P ). Wir zeichnen l(b, P ) und die Senkrechte h b durch B auf l(b, P ). Wir

7 zeichnen l(c, P ) und die Senkrechte h c durch C auf l(c, P ). Sei A 1 der Schnittpunkt von h b und h c und k a der Kreis mit Mittelpunkt A 1 durch den Punkt P. Sei B 1 der Schnittpunkt von h a und h c und k b der Kreis mit Mittelpunkt B 1 durch den Punkt P. Sei C 1 der Schnittpunkt von h a und h b und k c der Kreis mit Mittelpunkt C 1 durch den Punkt P. Wir zeichnen die Schnittpunkte von k a mit g a, die Schnittpunkte von k b mit g b und die Schnittpunkte von k c mit g c. Was kann man über diese sechs Schnittpunkte sagen? 12. Pascal und Brianchon Zeichnung 1: Wir wählen fünf Punkte A, B, C, D und E und zeichnen den Kegelschnitt durch diese fünf Punkte. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 wählen wir einen sechsten Punkt F auf dem Kegelschnitt. Wir zeichnen die sechs Geraden l(a, B), l(b, C), l(c, D), l(d, E), l(e, F ) und l(f, A) und bilden die Schnittpunkte der Geraden l(a, B) und l(d, E), der Geraden l(b, C) und l(e, F ), und der Geraden l(c, D) und l(f, A). Was kann man über diese drei Schnittpunkte sagen? Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir die vier Geraden l(a, B), l(b, C), l(c, D) und l(d, A) und bilden den Schnittpunkt der Geraden l(a, B) und l(c, D) und den der Geraden l(b, C) und l(d, A). Wir zeichnen die Tangenten an den Kegelschnitt in den Punkten A, B, C und D und bilden den Schnittpunkt der Tangenten in A und in C und den der Tangenten in B und in D. Was kann man über diese vier Schnittpunkte sagen? Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Geraden l(a, B), l(b, C) und l(c, A) und die Tangenten an den Kegelschnitt in den Punkten A, B und C. Wir bilden den Schnittpunkt der Gerade l(a, B) mit der Tangenten in C, den der Gerade l(b, C) mit der Tangenten in A und den der Gerade l(c, A) mit der Tangenten in B. Was kann man über die Schnittpunkte sagen? Zeichnung 5: In Zeichnung 1 wählen wir einen sechsten Punkt F auf dem Kegelschnitt. Wir zeichnen die Tangenten t A, t B, t C, t D, t E und t F in diesen sechs Punkten an den Kegelschnitt. Seien G, H, I, J, K und L der Reihe nach die Schnittpunkte von t A und t B, von t B und t C, von t C und t D, von t D und t E, von t E und t F und von t F und t A. Schließlich zeichnen wir noch die Geraden l(g, J), l(h, K) und l(i, L). Was kann man über diese drei Geraden sagen? Zeichnung 6: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Tangenten t A, t B, t C und t D in diesen vier Punkten an den Kegelschnitt. Seien G, H, I und J der Reihe nach die Schnittpunkte von t A und t B, von t B und t C, von t C und t D und von t D und t A. Wir zeichnen die Geraden l(a, C), l(b, D), l(g, I) und l(h, J). Zeichnung 7: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Tangenten t A, t B und t C in diesen drei Punkten an den Kegelschnitt. Seien G, H und I der Reihe nach die Schnittpunkte von t A und t B, von t B und t C und von t C und t A. Wir zeichnen die Geraden l(a, H), l(b, I) und l(c, G). 13. Umkreis Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und dessen Umkreis. Wir wählen einen beliebigen Punkt P. Sei D der Schnittpunkt A der Gerade l(a, P ) mit dem Umkreis, sei E der Schnittpunkt B der Gerade l(b, P ) mit dem Umkreis und sei F der Schnittpunkt C der Gerade l(c, P ) mit dem Umkreis. Wir zeichnen das Dreieck DEF Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Tangenten an den Umkreis in den Punkten D, E und F. Der Schnittpunkt der Tangenten durch E und F sei U, der Schnittpunkt der Tangenten durch D und F sei V und der Schnittpunkt der Tangenten durch D und E sei W.

8 Wir zeichnen die Geraden l(d, U), l(e, V ) und l(f, W ). (Das sind die Geraden von den Ecken zu den Berührpunkten des Inkreises im Dreieck UV W - Gergonnepunkt) Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Fußpunkt R des Lots von P auf l(b, C), den Fußpunkt S des Lots von P auf l(a, C) und den Fußpunkt T des Lots von P auf l(a, B). Wir zeichnen das Dreieck RST. Wir bestimmen die Winkel der Dreiecke RST und DEF. 14. Eulergeraden Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC, den Höhenschnittpunkt H, den Umkreismittelpunkt U und den Inkreismittelpunkt I. Wir zeichnen die Eulergerade l(u, H). Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Schwerpunkt S a und den Umkreismittelpunkt U a des Dreiecks BCH. Wir zeichnen den Schwerpunkt S b und den Umkreismittelpunkt U b des Dreiecks ACH. Schließlich zeichnen wir den Schwerpunkt S c und den Umkreismittelpunkt U c des Dreiecks ABH. Wir zeichnen die Geraden l(s a, U a ), l(s b, U b ) und l(s c, U c ). Wir zeichnen den Mittelpunkt der Strecke U H. Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Schwerpunkt S a und den Umkreismittelpunkt U a des Dreiecks BCI. Wir zeichnen den Schwerpunkt S b und den Umkreismittelpunkt U b des Dreiecks ACI. Schließlich zeichnen wir den Schwerpunkt S c und den Umkreismittelpunkt U c des Dreiecks ABI. Wir zeichnen die Geraden l(s a, U a ), l(s b, U b ) und l(s c, U c ). Wir zeichnen den Umkreis des Dreiecks ABC. Zeichnung 4: In Zeichnung 1 schneiden wir die Eulergerade mit den Seiten des Dreiecks. Sei D ihr Schnittpunkt mit l(b, C), E ihr Schnittpunkt mit l(a, C) und F ihr Schnittpunkt mit l(a, B). Wir zeichnen den Schwerpunkt S a und den Umkreismittelpunkt U a des Dreiecks AEF. Wir zeichnen den Schwerpunkt S b und den Umkreismittelpunkt U b des Dreiecks BDF. Schließlich zeichnen wir den Schwerpunkt S c und den Umkreismittelpunkt U c des Dreiecks CDE. Wir zeichnen die Geraden l(s a, U a ), l(s b, U b ) und l(s c, U c ). Sei P der Schnittpunkt von l(s b, U b ) und l(s c, U c ). Sei Q der Schnittpunkt von l(s a, U a ) und l(s c, U c ). Sei R der Schnittpunkt von l(s a, U a ) und l(s b, U b ). Wir zeichnen die Geraden l(a, P ), l(b, Q) und l(c, R). 15. Geraden und Kreise Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC, die drei Höhen, den Höhenschnittpunkt H und die Fußpunkte H a und H b der Höhen durch A und B. Wir zeichnen den Umkreis und seinen Mittelpunkt U, den Kreis durch H, C und H a und seinen Mittelpunkt K und den Schnittpunkt P C dieser beiden Kreise. Schließlich zeichnen wir den Mittelpunkt M der Seite AB und den Punkt D, den man durch Spiegelung von H an der Seite AB erhält. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Gerade durch A und B, die durch H a und H b und die durch C und P. Weiters zeichnen wir den Kreis durch D, M und C. Zeichnung 3: In Zeichnung 1 spiegeln wir H am Punkt M und erhalten den Punkt E. Wir zeichnen die Gerade durch E und C. Ihr Schnittpunkt mit der Gerade durch A und B sei R. Wir zeichnen die Gerade durch H a und H b. Ihr Schnittpunkt mit der Höhe durch C sei S. Schließlich zeichnen wir (grün) die Strecken EP, RS und UK.

9 16. Inkreise (Thebault) Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC und dessen Umkreis u. Wir zeichnen den Umkreismittelpunkt U und bestimmen den Umkreisradius r. Sei g die Gerade durch A und B. Wir zeichnen eine Parallele l zu g, die Abstand r von g hat und auf derselben Seite von g liegt wie C. Wir zeichnen die Parabel mit Brennpunkt U und Leitlinie l. Kreise, die die Gerade g und den Umkreis berühren, haben ihren Mittelpunkt auf dieser Parabel, oder auf der, die man erhält, wenn man die Gerade l auf der anderen Seite von g zeichnet. Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Inkreis und bestimmen den Inkreisradius r 0. Wir zeichnen die Höhe h durch C und die beiden Winkelsymmetralen der Geraden g und h. Ihre Schnittpunkte mit der Parabel p, die auf derselben Seite von g liegen wie C, seien M 1 und M 2. Wir zeichnen die Kreise k 1 und k 2, die M 1 und M 2 als Mittelpunkte haben und g berühren. (Sie berühren auch h und u.) Wir bestimmen die Radien r 1 und r 2 der Kreise k 1 und k 2. Welche Gleichung besteht zwischen r 1, r 2 und r 0? Zeichnung 3: In Zeichnung 1 wählen wir einen Punkt P auf g und zeichnen die Gerade h durch C und P. Wir zeichnen die beiden Winkelsymmetralen der Geraden g und h. Ihre Schnittpunkte mit der Parabel p, die auf derselben Seite von g liegen wie C, seien M 1 und M 2. Wir zeichnen die Kreise k 1 und k 2, die M 1 und M 2 als Mittelpunkte haben und g berühren. (Sie berühren auch h und u.) Die Berührpunkte der Kreise k 1 und k 2 mit g nennen wir G 1 und G 2. Wir zeichnen die Winkelsymmetralen des Dreiecks ABC und dessen Inkreismittelpunkt I. Was kann man über die Punkte M 1, M 2 und I sagen? Zeichnung 4: In Zeichnung 3 zeichnen wir die Berührpunkte H 1 und H 2 der Kreise k 1 und k 2 mit h und die Berührpunkte K 1 und K 2 der Kreise k 1 und k 2 mit dem Umkreis u. Wir zeichnen die Geraden l(g 1, H 1 ) und l(g 2, H 2 ). Weiters zeichnen wir die Geraden l(g 1, K 1 ) und l(g 2, K 2 ) und deren Schnittpunkt. Zeichnung 5: In Zeichnung 3 zeichnen wir den Inkreis des Dreiecks ABC und die Parallelen zu h durch G 1 und G Quadrate auf Dreieckseiten (Vecten) Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC. Auf die Seite AB setzen wir außen das Quadrat ABC b C a (C a über A und C b über B). Auf die Seite BC setzen wir außen das Quadrat BCA c A b (A b über B und A c über C). Auf die Seite CA setzen wir außen das Quadrat CAB a B c (B c über C und B a über A). Sei U a der Schnittpunkt von l(a, B) und l(c, C a ) und V b der von l(a, B) und l(c, C b ). Sei U b der Schnittpunkt von l(b, C) und l(a, A b ) und V c der von l(b, C) und l(a, A c ). Sei U c der Schnittpunkt von l(c, A) und l(b, B c ) und V a der von l(c, A) und l(b, B a ). Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir l(u a, V a ), l(u c, V b ), l(u b, V b ), l(u a, V c ), l(u c, V c ) und l(u b, V a ). Was kann man über diese Geraden sagen? Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir U a U b U c und V a V b V c und vergleichen deren Flächen. Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Mittelpunkte M a, M b und M c der Dreieckseiten BC, AC und AB. Weiters zeichnen wir die Mittelpunkte N a, N b und N c der Strecken U a V a, U b V b und U c V c. Schließlich zeichnen wir die Geraden l(m a, N a ), l(m b, N b ) und l(m c, N c ). Zeichnung 5: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Mittelpunkte N a, N b und N c der Strecken U a V a, U b V b und U c V c. Weiters zeichnen wir die Mittelpunkte L a, L b und L c der Strecken U b V c, U c V a und U a V b. Schließlich zeichnen wir die Geraden l(n a, L a ), l(n b, L b ) und l(n c, L c ).