Kapitel 6: Arithmetik. 1 Einführung der Zahlen. 1.1 Aspekte des Zahlbegriffs (vgl. Kapitel 1)

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1 Kapitel 6: Arithmetik 1 Einführung der Zahlen 1.1 Aspekte des Zahlbegriffs (vgl. Kapitel 1) Kardinalzahl Anzahl der Elemente einer Menge M Ordinalzahl semantisch: Ordnungszahl, Platz-Nr. in einer Kette Kette als Menge mit strenger, linearer Ordnung: (M, ) syntaktisch: Zählzahl, Wort in einer Folge von Wörtern Maßzahl bei Größen Anzahl der Einheiten, aus denen eine Größe zusammengesetzt ist Operator Gibt an, wievielmal etwas geschieht, Vervielfacher Rechenzahl Zahlen als Objekte und Ergebnisse von Operationen Zahlen als Objekte, für die algebraische Gesetze gelten Zahlen als Objekte, mit denen nach algorithmischen Vorschriften ziffernweise gerechnet werden kann Code Zahlen bezeichnen Gegenstände, sind "Namen". Didaktischer Grundsatz: Keine einseitige Bindung an einen Zahlaspekt! z.b. Zählzahl z.b. Kardinalzahl z.b. Rechenzahl z.b. Maßzahl sondern: Den Aspektreichtum der Zahlen soweit wie möglich berücksichtigen Den Zahlbereich bis 20 als Ganzes zügig erarbeiten! 90

2 Zwanzigerfeld als strukturierte Unterlage zum Legen von Plättchenmengen. 91

3 Beispiel: Welcher Wagen (er ist durch seine Code-Nummer zu identifizieren) fährt als erster (1.) über die Startlinie? Welcher als zweiter (2.)? usw. Start Ziel 92

4 Hunderterfeld (mit Kreisen oder Quadraten) Man geht bei Darstellungen von Mengen meist zeilenweise (nicht spaltenweise) vor, dies entspricht der Schreibrichtung von links nach rechts, von oben nach unten. 93

5 Hundertertabelle (mit Zahlen) Zumeist als Nummerierung der einzelnen Felder des Hunderterfeldes verstanden (Ordinalzahlaspekt)

6 2.1 Modellvorstellungen zu den Operationen Dreierschritt (1) Rechenterm in der Ebene der Zahlen (2) Übersetzung und Handlung in der Ebene der Repräsentanten (3) Rückübersetzung in die Ebene der Zahlen Addition: (1) Rechenterm: (2) zu 3 und 4 (disjunkte) Repräsentanten suchen und diese 'zusammensetzen' Kardinalzahl: Mengen von Plättchen vereinigen Maßzahl bei Größen: Stäbe zusammensetzen Ordinalzahl: Von 3 aus 4 Schritte weiterzählen (vorwärts gehen - Zahlenstrahl) (3) Rückübersetzung in die Ebene der Zahlen Subtraktion: (1) Rechenterm: 7 4 (2) zu 7 einen Repräsentanten suchen, zu 4 einen Teilrepräsentanten und diesen 'abtrennen' Kardinalzahl: Teilmenge von Plättchen wegnehmen Maßzahl bei Größen: Teilstab abtrennnen (abdecken) Ordinalzahl: Von 7 aus 4 Schritte rückwärts zählen (rückwärts gehen - Zahlenstrahl!) (3) Rückübersetzung in die Ebene der Zahlen 95

7 Allgemeinere Sicht der Subtraktion: Unterschied bestimmen (2a) Zu 7 und 4 ist je ein Repräsentant gegeben: A = 7; B = 4 L1 Zu B einen äquivalenten Teilrepräsentanten A' von A suchen und abtrennen oder L2 zu B eine Menge B' hinzufügen, so daß B B' äquivalent A Beispiel Anja hat 7 und Bernd 4, Unterschied? Situation: Anja (A): Bernd (B): A' Bild zu den Lösungen: Anja (A): Bernd(B): B, Multiplikation: (1) Rechenterm: 3 4 (2a) zeitlich-sukzessiv oder räumlich-simultan 3 Repräsentanten von 4 'zusammmensetzen' Kardinalzahl: 3mal 4 Dinge holen, 3 Vierermengen vereinigen Maßzahl bei Größen: 3 Stäbe der Länge 4 cm zusammensetzen 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm 12 cm Ordinalzahl: 3 mal 4 Schritte weiterzählen (vorwärts gehen - Zahlenstrahl) 96

8 (2b) kombinatorisch: Zu 3 eine Menge A und zu 4 eine Menge B suchen, die Menge AXB bilden A: B: Frage (hypothetisch): Welche Häuser sind möglich? Man kann simultan immer nur 3 Häuser bauen, Darstellung der Möglichkeiten nur ikonisch (Baum). Dach unten (3) Rückübersetzung in die Ebene der Zahlen 97

9 Division: (1) Rechenterm: 12 : 4 (2) Ebene der Repräsentanten: Einen Repräsentanten zu 12 wählen (2a) Verteilen: Den Repräsentanten in 4 äquivalente Teilrepräsentanten zerlegen; feststellen, wie groß jeder Teilrepräsentant ist (2b) Aufteilen (Messen): Zerlegen des Repräsentanten von 12 in paarweise disjunkte Repräsentanten von 4; Anzahl feststellen (3) Ergebnis notieren Realisierung bei Kardinalzahlen: (2a) 12 Dinge an 4 gerecht verteilen, die Teilmenge für jeden feststellen, einfache Methode: reihum verteilen (2b) Von 12 Dingen immer 4 Dinge wegnehmen; feststellen, wie oft das geht oder: Eine 12er-Menge in Teilmengen mit 4 Elementen zerlegen,die Anzahl der Teilmengen feststellen 98

10 3.2.2 Begründung der Gesetze (Beispiele): 1) Kommutativgesetz der Addition: Begründung: Blatt um 180 drehen 2) Kommutativgesetz der Multiplikation Begründung: Blatt um 90 drehen, "beziehungstiftende Operation" (vgl. Sprockhoff in Beiträge zur Did. d. Math., H 2, hersg. von N. Knoche u. W. Schwirtz, Essen 1993) 99

11 3) Distributivgesetze: Felder, insbesondere für kleinere Zahlen geeignet Auch bei größeren Zahlen Felddarstellung zumindest vorstellbar, z.b. 4 (20 + 3) als '4 Reihen: in jeder Reihe zuerst 20 und dann noch 3' Sonst: Darstellung nach Oehl:

12 4) Konstanz der Differenz: = (5 + 4) (3 + 4) 5) Schrittweise Subtraktion (10 + 2) = (35 10) 2 101

13 6) Assoziativgesetz der Addition: Besonders bei kleinen Anzahlen praktikabel: Wendeplättchen Idee jedoch in der Vorstellung anzahlunabhängig (Beweis)! Beispiel: (3 + 2) (7 + 3) + 2 Vorher nachher Operativer Beweis: Mittlere Plättchen wenden Bei größeren Zahlen Darstellung nach Oehl vorteilhaft: (20 + 2) = ( )

14 7) Assoziativgesetz der Multiplikation Vor allem bei kleineren Zahlen: Feld (W. Oehl: Der Rechenunterricht in der Grundschule. 1961, S. 176) Zeichnerische Form Halbschriftliche Form = = = = 3 mal 2. 5 Bei größeren Zahlen Darstellung nach Oehl oder wiederholte Addition: z.b : (2 36) = (10 2) 36 = 10 (2 36) 103

15 Grundbeziehungen: verdoppeln / halbieren, Nachbaraufgabe Stützaufgaben jeder Reihe sind die Aufgaben 1 a und 10 a, dann auch 2 a und 5 a! 1. a 10. a halbieren 5. a verdoppeln 2. a verdoppeln 4. a verdoppeln 8. a Nachbar 9. a = 10. a - 1. a Nachbar 3. a Nachbar verdoppeln 6. a Nachbar 6. a Nachbar 7. a 104

16 Aufgabentabelle 1x1 Systematische Auswertung der Tabelle nach Beziehungen zwischen Aufgaben und Reihen Aufbau: Einmaleins-Reihen in den Zeilen; 'Quadrat'-Aufgaben auf der Haupt-Diagonalen; Stützaufgaben: Spalten 1, 2, 10, dann auch Spalte 5; Kernaufgaben: Hauptdiagonale und darunter (kleinerer Malnehmer); Spalten: gleiche Malnehmer 105