MAI-Übungsaufgaben im SS02

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1 MAI-Übungsaufgaben im SS02 Prof. Dr. Th. Risse SS 2002 Knappe Rückmeldungen zu den jeweiligen Übungsaufgaben (wie soll man sonst aus Fehlern lernen?) mit einer Bewertungstabelle ganz am Ende! 1 Übungsaufgaben, Abgabe bis zum Diskutiere f(x) = 3 x 3 2 x 2 + x 2, d.h. 1) skizziere den Graphen von f durch Bestimmung möglichst weniger Charakteristika (bitte erst danach Verifikation per Taschenrechner), 2) bestimme Nullstellen, Extremwertstellen, Wendepunkte etc. Die Skizzen erwecken häufig den Eindruck, als hätte f Pole! Eine mögliche Ursache ist die ungeschickte Skalierung der x-achse. Wie besprochen hat ein Polynom n-ten Grades genau n Nullstellen, wie man an seiner Zerlegung in Linear-Faktoren sieht. Man muß eben reelle und komplexe Nullstellen unterscheiden! Sattelpunkte haben waagerechte Tangenten! 2. a) Bestimme die Stellen, in denen der Sinus Tangenten-Steigungen von 30 o hat. Gib die Tangenten an. b) Bestimme Stellen, in denen der Tangens Tangenten-Steigungen von 30 o hat. Grundsätzlich versucht man, wo immer möglich genau zu rechnen (Darstellung durch Brüche, Verwendung bekannter Werte der trigonometrischen Funktionen usw.): z.b. m = tan 30 o sin 30o = = 1/2 cos 30 o 3/2 = 3 3 Wo dies nicht möglich ist, macht man sich selbst und dem Kunden den Umstand, daß mit einer Näherung weitergerechnet wird, wenigstens durch deutlich: z.b. f (x 1 ) = cos x 1 = m , d.h. x 1 = arccos m bzw. x o. 1

2 Th. Risse, HSB: Mathematik SS02 2 Unbedingt soweit möglich mit den exakten Werten weiterrechnen und erst am Schluß runden, erst recht dann, wenn sich dadurch Vereinfachungen ergeben: f(x 1 ) = sin x 1 = sin arccos m = 1 cos 2 arccos m = 1 m2 = = arccos x in Grad oder Rad? Der Rest ist Punkt-Steigungsform und die Überlegung, wieviele derartige Tangenten der Sinus eigentlich hat. 3. a) Bestimme den Zylinder maximalen Volumens bei gegebener Mantelfläche. b) Bestimme den Zylinder maximalen Volumens bei gegebener Oberfläche. Bezeichnungen sollen (wie Variablen-Namen) sprechend, eindeutig und unverwechselbar sein: O für die Oberfläche ist die schlechteste Wahl. Besser ist da schon A O und A M für die Mantel-Fläche. Grundsätzlich entweder Extremwertstellen auf Min/Max überprüfen oder per Plausibilität entscheiden. V max angeben! 4. Bestimme x in 2x ln x = 4 und x ln x = 14 sowie x arctan x = 1 auf fünf Dezimal-Stellen genau. Beschreibe Vorgehensweise, verwendete Werkzeuge und gib Zwischenergebnisse an. Vertrautheit mit dem Gegenstand zeigt sich auch im angemessenen Einsatz von Werkzeugen: z.b. mein erstes JAVA-Programm (mit dem Kommentar, 60 Iterationen würden schon reichen!) oder des Taschenrechners. Anscheinend hat niemand numerik.pdf verwendet. Häufig wurden 4-, 14- und 1-Stellen entsprechender Funktionen berechnet und nicht Nullstellen! Was heißt denn auf 5 Dezimal-Stellen genau genau? 5. Bestimme lim x 0 sin(7x) 2x und lim x 0 sin(5x) sin(2x) sowie lim x 0 1 cos x x 2. Differenzieren ist doch die Operation für die Doofen,-) Daher darf die Kettenregel als bekannt vorausgesetzt werden und muß nicht eigens in einer Nebenrechnung vorgestellt werden. Bei der Integration ist das wie erwähnt anderes! Check der Form, 0 usw. fehlt mehrfach! 0 Mancher Form-Fehler! 6. Bestimme und skizziere für f(x, y) = x + y und g(x, y) = x y sowie für h(x, y) = sin x sin y Schnitte und Höhenlinien. Skizziere die Funktionsgraphen von f, g und h. Wie sehen denn nun die Graphen im R 3 aus? Kein Wunder, daß niemand Flächen im R 3 skizziert hat, wo schon Schnitte und Höhenlinien meist nicht angemessen dargestellt werden konnten: Koordinaten-

3 Th. Risse, HSB: Mathematik SS02 3 Achsen ohne Bezeichnungen, ohne Skalierung, alle Schnitte in ein (!) System...

4 Th. Risse, HSB: Mathematik SS Übungsaufgaben, Abgabe bis zum Einige generelle Anmerkungen zuvor: Ausdrücke alsbald vereinfachen, um unübersichtliche und damit fehleranfällige Rechnungen zu vermeiden! Bitte Integrationsversuche dokumentieren, bevor man zu näherungsweisen Lösungen greift! Gute Skizzen unterstützen Plausibilitätsbetrachtungen! Grundsätzlich, insbesondere aber bei Aufage 5, den Lösungsweg dokumentieren! Unbedingt fragen, wenn Sie mit einer Aufgabe nicht klarkommen! Einige Anmerkungen zu den Aufgaben im Einzelnen: t+π/2 1. Berechne die Durchschnittsintensität des Signals I(t) = I o χ π [ π/2,π/2] (t) für t [ π, π]. Um was für ein Signal handelt es sich? Skizze! Plausibilität? Es handelt sich um ein Sägezahn-förmiges Signal mit Durchschnittsintensität I = I o /4 2. Berechne den Schwerpunkt der Fläche A zwischen Sinus und Cosinus, die den Punkt (0, 0.5) enthält. Plausibilität? Zunächst ist A = π/4 3π/4 (cos x sin x)dx = 2 2. Aus Symmetriegründen liegt der Schwerpunkt in ( π/4, 0), wie man unschwer nachrechnet. 3. Berechne die Kurvenlänge des Graphens der Funktion y = f(x) = 2/ sinh(x) für x [1, 2]. Skizze! Plausibilität? Es gilt f (x) = 2 1 sinh 4 x+4 sinh 2 x+4 2 cosh x. Daher ist die Kurvenlänge s = 2 sinh 2 (x) cosh2 x sinh 4 x dx = dx = 2 sinh 2 x 1 sinh2 x+2 dx = 2 sinh 2 x 1 x dx dx. Bei sinh 2 x dem Integral 1 dx handelt es sich um eines der Grundintegrale sinh 2 x (siehe z.b. Skript mai1.pdf auf S.81). Insgesamt gilt also s = (x 2 coth x) 2. Erst dann ergibt sich mit etwa 1 numerik.pdf näherungsweise s = 0.552

5 Th. Risse, HSB: Mathematik SS Bestimme Mantelfläche und Volumen des bei Rotation des Graphens der Funktion y = f(x) = 4 e x/3 für x > 0 um die x-achse entstehenden Rotationskörpers (Exponentialsäule). Skizze! V x = π lim b b 0 y2 dx = 24π ist der einfache Teil. Die Mantelfläche ist M x = 2π o y 1 + y 2 dx = 2π o 4e x/ e 2x/3 dx. Mit der naheliegenden Substitution u = 4 3 e x/3 und daher du = 4 9 e x/3 dx bzw. 9 du = 4 e x/3 dx ist M x = 2π o 4/ u 2 du = 18π 4/3 o 1 + u2 du = 18π (u 1 + u 2 + arsinh x) 4/ (mit etwa numerik.pdf verwende arsinh x = ln(x x 2 )) o 5. Berechne die Fläche unter dem Graphen von f(x) = e x2 /2 für x [0, 1] auf 5 Dezimalen genau. Berechne 1 1 f(x) dx sowie irgendwie o f(x) dx und 1 f(x) dx. Etwa mit Simpson aus numerik.pdf bestimmt man leicht 1 o f(x) dx Wegen Achsen-Symmetrie ist 1 1 f(x) dx = 2 1 o f(x) dx Wer o f(x) dx angenähert hat, sollte fairerweise die Quelle angeben. Dann stellt auch 1 f(x) dx = o f(x) dx 1 o f(x) dx kein Problem mehr dar. 6. Bestimme und skizziere für z = f(x, y) = x 2 + y 2 und z = g(x, y) = x2 + y 2 jeweils Schnitte und Höhenlinien. Skizziere die Funktionsgraphen von f und g. Niemand hat die Graphen von f und g geometrisch benannt auch nicht diejenigen, die den Rechner zur Visualisierung eingesetzt haben. Bitte nachliefern!

6 Th. Risse, HSB: Mathematik SS Bewertung Angegeben sind entweder ok oder aber die nachzubessernden Aufgaben! Bitte überarbeitete Lösungen ausstehender Aufgaben unbedingt nachreichen!