Zusammenfassung. Maxwellgleichungen und elektromagnetische Wellen

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1 Zusammenfassung Maxwellgleichungen und elektromagnetische Wellen nach dem uch Physik von Paul A. Tipler pektrum Akademischer Verlag Datum:.. von Michael Wack ) Hinweise z.. auf Fehler) bitte per an uns: mail@skriptweb.de - Vielen Dank.

2 d l V d e d t e

3 Verallgemeinertes Ampèrsches Gesetz d d l v e d t Die Maxwellschen Gleichungen Maxwellsche Gleichungen in ntegralform n d A Q innen A) n d A ) d d l l d d t n d A ) d d t n d A D) Durch Anwenden der ntegralsätze von Gauß und tokes lassen sich die Gleichungen in folgender Form schreiben: Maxwellsche Gleichungen in Differentialform D %'& A) ) * + ) -. / ) t -. D H 34 D) t mit D +65 und H "$# rläuterungen: A) ist das Gaußsche Gesetz. Die ntegralform beschreibt die Divergenz elektrischer Feldlinien von positiven Ladungen und die onvergenz bei negativen Ladungen. Die Differentialform verknüpft die Divergenz des elektrischen Feldes mit der Ladungsdichte in einem bestimmten Raumpunkt. Die Quellen des elektrischen Feldes sind demnach Ladungen. ) wird manchmal als Gaußsches Gesetz des Magnetismus bezeichnet. s besagt dass der Fluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche gleich null ist. Dies ist gleichbedeutend mit folgender Feststellung: das magnetische Feld ist quellenfrei und es existieren somit keine isolierten magnetische Pole. ) ist das Faradaysche nduktionsgesetz. s besagt dass das Linienintegral einer beliebigen geschlossenen urve gleich der negativen Änderung des magnetischen Flusses durch eine beliebige von der urve umrandeten Fläche ist. Das nduktionsgesetz setzt das elektrische Feld mit der zeitlichen Änderung des magnetischen Feldes in eziehung. D) ist das verallgemeinerte Ampèrsche Gesetz. Das Linienintegral über das Magnetfeld entlang einer

4 @ 9 beliebigen geschlossenen urve ist gleich der umme aus dem Leitungsstrom und der Änderung des elektrischen Flusses durch eine beliebige von der urve eingeschlossenen Fläche. Das Ampèrsche Gesetz stellt eine Relation zwischen dem Magnetfeld und der zeitlichen Änderung des elektrischen Feldes her. Herleitung der Wellengleichung für elektromagnetische Wellen etrachtet man die Maxwellschen Gleichungen im Vakuum also im quellenfreien Raum und vernachlässigt somit Ladungen und tröm lassen sich die Gleichungen wie folgt schreiben: Maxwellsche Gleichungen im Vakuum ) * + A) ) * + ) -. 3 ) t D) t ildet man zunächst die Rotation der Gleichungen ) und D) und setzt dann D) auf der rechten eite von A) und ) auf der rechten eite von ) ein und wendet dann die für jedes Vektorfeld 9a geltende eziehung " : ; " : " ; "$#? a<=% a<=> a an so erhält man die Wellengleichungen für das elektrische bzw. magnetische Feld im Vakuum in hrer allgemeinen Form. Allgemeine Form der Wellengleichungen 9 9 A D 9 A D eschränkt man sich auf Änderungen in einer Dimension so kann man den Laplace-Operator durch den Operator x elektromagnetischen Welle. t t ersetzen und erhält damit die üblichen Wellengleichungen für den pezialfall einer ebenen 9 Wellengleichungen einer ebenen elektromagnetischen Welle x c t x c t ine mögliche Lösung dieser Gleichungen ist die Wellenfunktion für harmonische Wellen y y sin F kx 3G t H wobei J k A c gilt. Aus 3) erhält man folgende eziehung: k z L y y c. Magnetisches und elektrisches Feld stehen demnach bei der von uns betrachteten ebenen Welle senkrecht aufeinander und haben dieselbe Phase. s handelt sich um eine linear polarisierte Welle. Für die eträge der Felder gilt / = c.

5 U nergie und mpuls elektromagnetischer Wellen Die Gesamtenergiedichte einer elektromagnetischen Welle ergibt sich aus der umme der elektrischen und der magnetischen nergiedichte. w el M w m N w m w el PO Q cr N M w nergiedichte einer elektromagnetischen Welle w el T w m M T M M N N c Die ntensität einer Welle ergibt sich aus dem Produkt der mittleren nergiedichte und der Ausbreitungsgeschwindigkeit. Demnach ergibt sich für eine Welle im Vakuum die momentane ntensität zu: momentan w c c M c N N Diese Gleichung lässt sich zu folgender Gleichung verallgemeinern: Poynting-Vektor % : tehen V und V in einer elektromagnetischen Welle senkrecht aufeinander so gibt der etrag von V die momentane Leistung und die Richtung von V die Ausbreitungsrichtung der Welle an. Die mittlere ntensität ergibt sich zu: w c eff eff N N mit eff W X Y Z und eff W X Y Z Der etrag des mpulses einer elektromagnetischen Welle ist gleich /c mal der nergie W der Welle. Zusammenhang zwischen mpuls und nergie einer elektromagnetischen Welle W p [ c Die ntensität einer Welle geteilt durch c ergibt einen mpuls pro Zeit- und Flächeneinheit. in mpuls pro Zeiteinheit entspricht einer raft und eine raft pro Flächeninhalt ergibt einen Druck. Diesen bezeichnet man dann als trahlungsdruck P.

6 trahlungsdruck einer elektromagnetischen Welle P c N c eff eff N c N N c