Seminar Mathematische Modelle in den Natur- und Ingenieurwissenschaften

Transkript

1 Seminar Mathematische Modelle in den Natur- und Ingenieurwissenschaften Prof. Dr. Willy Dörfler JProf. Dr. Tobias Jahnke Institut für Angewandte und 14. Februar 2008

2 Formales Ort und Zeit: Dienstags um 14:00 Uhr, S11 Zielgruppe: Studierende im Hauptstudium Studierende des Lehramts Einzelarbeit

3 Das sollen Sie lernen Einige mathematische Modelle Umgang mit wissenschaftlichen Texten Halten eines (wissenschaftlichen) Vortrags Mathematik erklären

4 Das sollten Sie mitbringen Interesse an mathematischer Modellierung Kenntnisse aus Analysis III Interesse an Physik oder Chemie Kein Angst vor komplizierten Formeln

5 Was wir von Ihnen erwarten Einarbeitung (min 4 Wochen) Vortrag (60 Minuten) Tafel Beamer Diskussion der Vorträge Ausarbeitung (5 Seiten)

6 Das können Sie mitnehmen Vortragserfahrung Information über aktuelle Forschungsgebiete Kontakt zu Mitarbeitern unseres Instituts (Examensarbeit, Diplomarbeit) Seminarschein

7 Themengebiet 1: Optische Eigenschaften photonischer Kristalle Betreuer: Markus Richter

8 Die Maxwell-Gleichungen Und Gott sprach und es wurde Licht. H = D + J, t E = B t, B = 0, D = ϱ

9 Vortrag 1.1 Die Maxwell-Gleichungen Wie interpretiert man die einzelnen Größen? Was beschreiben die einzelnen Gleichungen? Was sind die zugrunde liegenden physikalischen Phänomene? Was sind die zugrunde liegenden mathematischen Sätze? Welche Wechselwirkungen bestehen zwischen Licht und Materie?

10 Vortrag 1.2 Weiterer Vortrag über die Maxwell-Gleichungen Inhalte werden noch bekannt gegeben...

11 Vortrag 1.3 Vereinfachungen und Anwendungen Was sind zeitharmonische Wellen? Wie gelangt man zu Eigenwertproblemen? Was sind Moden? Kann Licht durch eine Rohrleitung fließen?

12 Vortrag 1.4 Die schwache Formulierung Was sind schwache Formulierungen? Warum benötigt man eine schwache Formulierung bei photonischen Kristallen? Was ist der Raum H(curl)? Welches Eigenwertproblem beschreibt einen photonischen Kristall?

13 Themengebiet 2: Faser- und Partikelsedimentation Betreuer: Markus Feist Florian Keller

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15 Navier Stokes Gleichungen Newtonsches und inkompressibles Fluid: ρ f ( u t (x, t)+u(x, t) u(x, t) ) u(x, t)= 0 für alle (x, t) R 3 \B(t) R + = p(x) + µ f u(x, t) + ρ f g g = (g x1, g x2, g x3 ) T Erdbeschleunigung x = (x 1, x 2, x 3 ) Ortsvektor t Zeitvariable

16 Vortrag 2.1 Herleitung der Navier Stokes Gleichungen Welche Vereinfachungen werden gemacht? Welche Auswirkungen haben diese Vereinfachungen? Beispiele Erklärungen? Koordinatentransformation mit den Navier-Stokes Gleichungen?

17 Vortrag 2.2 Weiterer Vortrag über die Navier Stokes Gleichungen Inhalte werden noch bekannt gegeben...

18 Vortrag 2.3 Weitere Strömungsformen Entdimensionierung der Navier Stokes Gleichungen? Langsame Umströmung einer Kugel? Umströmung eines schlanken Körpers? Turbulente Strömungen?

19 Sedimentation eines geladenen Partikels in einem Elektrolyt Navier-Stokes Kraft/Moment Nernst-Planck Maxwell/Poisson

20 Sedimentation eines geladenen Partikels in einem Elektrolyt Gesamtmodell Gesuchte Groessen: v F, p F, v i, n i, ψ, ż α. ρ F v F t n i t + v F v F + p F µ F v F ρ F g ρ e ψ = 0, v F = 0; ψ ρ e ɛ 0 ɛ r = 0, + D i n i + v F n i D i e k B T (z in i ψ) = 0, v i v F + z ie λ i ψ + k BT λ i ln(n i ) = 0.

21 Vortrag 2.4 Sedimentation eines geladenen Partikels in einem Elektrolyt Herleitung der Poissongleichung und der Nernst-Planck-Gleichung Sternschicht-Theorie Randbedingungen Entdimensionierung des Gesamtsystems Vereinfachung der Gleichungen Existenz und Eindeutigkeit der Lösung Analytische Lösungen für Spezialfälle Lösung von Oshima

22 DLVO-Theorie Untersuchung der Stabilitaet von Suspensionen U T Bornsche Abstoßung Elektrostatische Abstoßung h Gesamtwechselwirkung v. d. Waals Anziehung

23 Vortrag 2.5 DLVO-Theorie Druck zwischen zwei Flächen in einem Elektrolyt van der Waals-Kräfte Bornsche Abstoßung Hamaker-Theorie Abhängigkeit der Stabiltität von der Ionenkonzentration Erweiterung der DLVO-Theorie Stabilisierung von Suspensionen

24 Themengebiet 3: Nonlinear Dispersive Waves in the Nonlinear Schroedinger Approximation Betreuer: Tomas Dohnal

25 Nonlinear Schroedinger Equation iu t + u + γ u 2 u = 0, u = u(x, t) C, x R d, t 0 Applications: optical pulses (e.g. from a laser) in cubically nonlinear media (e.g. silica) photonic fibers ( 1D NLS) slab waveguides ( 2D NLS) bulk media ( 3D NLS) wavepackets of surface waves on deep water (1D or 2D NLS) plasma waves in general: wavepackets in weakly nonlinear, dispersive and conservative systems

26 Nonlinear Schroedinger Equation Derivation for pulses in optical fibers with a cubic nonlinearity: Maxwell s equations reduce to E n2 0 c 2 2 t E 1 c 2 2 t ( χ (3) E 2 E ) = 0, n 0 = n 0 (x 2 + y 2 ) Assuming a slowly varying envelope ansatz E = (U(x, y, ω 0 ), 0, 0) T A(Z, T 1, T 2 )e i(k 0z ω 0 t) + c.c., Z = ε z, T 1 = ε t, T 2 = ε 2 t Using multiple scales expansion obtain the 1D NLS i T2 A + α 2 ξ A + β A 2 A = 0.

27 Nonlinear Schroedinger Equation Derivation for pulses in optical fibers with a cubic nonlinearity: Maxwell s equations reduce to E n2 0 c 2 2 t E 1 c 2 2 t ( χ (3) E 2 E ) = 0, n 0 = n 0 (x 2 + y 2 ) Assuming a slowly varying envelope ansatz E = (U(x, y, ω 0 ), 0, 0) T A(Z, T 1, T 2 )e i(k 0z ω 0 t) + c.c., Z = ε z, T 1 = ε t, T 2 = ε 2 t Using multiple scales expansion obtain the 1D NLS i T2 A + α 2 ξ A + β A 2 A = 0.

28 Nonlinear Schroedinger Equation Properties of the NLS: dispersive Hamiltonian (infinite dimensional) completely integrable via the inverse scattering transform explicit pulse-like solutions known in 1D: solitons

29 Vortrag 3.1 Nonlinear Schroedinger Equation Project Tasks: overview of the applications of NLS derivation of the NLS for pulses in optical fibers with instantaneous cubic nonlinearity from the nonlin. Maxwell equation under the divergence free condition E = 0 abstract derivation for envelopes of wavepackets in weakly nonlinear dispersive systems soliton solutions

30 Gross-Pitaevsky Equation/Periodic NLS iu t +u + xx V (x)u+γ u 2 u = 0, V (x+d) = V (x), t 0, x R, γ Applications: Gross-Pitaevsky: density distribution of an elongated Bose-Einstein Condensate (supercooled Rb, He,...) loaded on an optical lattice Periodic NLS: optical beam in a periodic slab waveguide Derivation in the optics setting: - cubically nonlinear dielectric medium - refractive index n 0 = n 0 (y)v (x), V (x + d) = V (x) - slowly modulated beam in the z direction U(y, ω 0 ) E = 0 A(Z, x)e i(k 0z ω 0 t) + c.c., Z = ε z 0

31 Gross-Pitaevsky Equation/Periodic NLS Properties of the periodic NLS: dispersive Hamiltonian (infinite dimensional) NOT completely integrable via the inverse scattering transform spectrum of the linear oprator xx k 2 V (x) is continuous with gaps in the spectral gaps exist stationary solitary waves: Gap Solitons

32 Vortrag 3.2 Gross-Pitaevsky Equation/Periodic NLS Project Tasks: detailed derivation of the periodic NLS either for optics or BECs and a brief derivation for the other case computation of σ( xx k 2 V (x)) using Floquet theory overview of known results on existence and linear stability fo gap solitons

33 Themengebiet 4: Stochastische Reaktionskinetik Betreuer: Tobias Jahnke

34 Traditionelle Reaktionskinetik Reaktionen zwischen verschiedenen Stoffen S 1, S 2,... c Beispiel: S 1 + S 1 2 S3 S 3 + S 4 c 2 2S Annahmen: konstante Temperatur konstantes Volumen homogene Verteilung im Raum Traditionelle Beschreibung: System von ODEs ( Konzentrationen)

35 Traditionelle Reaktionskinetik Reaktionen zwischen verschiedenen Stoffen S 1, S 2,... c Beispiel: S 1 + S 1 2 S3 S 3 + S 4 c 2 2S Annahmen: konstante Temperatur konstantes Volumen homogene Verteilung im Raum Traditionelle Beschreibung: System von ODEs ( Konzentrationen) Schlechtes Modell für Reaktionen in Zellen! Kleine Teilchenzahlen, kritische Fluktuationen

36 Vortrag 4.1 Der stochastische Simulationsalgorithmus Betrachte diskrete Teilchenzahlen statt Konzentrationen Zufallsvariable X(t) = X 1 (t). X d (t) N d Markov-Sprungprozess im Zustandsraum N d.

37 Vortrag 4.1 Der stochastische Simulationsalgorithmus Betrachte diskrete Teilchenzahlen statt Konzentrationen Zufallsvariable X(t) = X 1 (t). X d (t) N d Markov-Sprungprozess im Zustandsraum N d. Stochastic simulation algorithm (Gillespie 1976): Erzeuge Realisierungen von X(t).

38 Vortrag 4.2: Die chemische Mastergleichung Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchenzahlen ( ) x 1 p(t, x) = P x k Exemplare von S k zur Zeit t, x =. N d x d Chemische Mastergleichung (CME) m t p(t, x) = ( ) α j (x ν j )p(t, x ν j ) α j (x)p(t, x) j=1 Propensity functions α j (x) Stoichiometrischer Vektor ν j Z d

39 Vortrag 4.2: Die chemische Mastergleichung Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchenzahlen ( ) x 1 p(t, x) = P x k Exemplare von S k zur Zeit t, x =. N d x d Chemische Mastergleichung (CME) m t p(t, x) = ( ) α j (x ν j )p(t, x ν j ) α j (x)p(t, x) j=1 Propensity functions α j (x) Stoichiometrischer Vektor ν j Z d Chemische Mastergleichung = System von ODEs

40 Vortrag 4.2: Die chemische Mastergleichung Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchenzahlen ( ) x 1 p(t, x) = P x k Exemplare von S k zur Zeit t, x =. N d x d Chemische Mastergleichung (CME) m t p(t, x) = ( ) α j (x ν j )p(t, x ν j ) α j (x)p(t, x) j=1 Propensity functions α j (x) Stoichiometrischer Vektor ν j Z d Chemische Mastergleichung = System von ODEs Problem: Eine ODE pro Zustand! Zu viele ODEs für traditionelle Verfahren!

41 Vortrag 4.2: Die chemische Mastergleichung Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchenzahlen ( ) x 1 p(t, x) = P x k Exemplare von S k zur Zeit t, x =. N d x d Chemische Mastergleichung (CME) m t p(t, x) = ( ) α j (x ν j )p(t, x ν j ) α j (x)p(t, x) j=1 Propensity functions α j (x) Stoichiometrischer Vektor ν j Z d Chemische Mastergleichung = System von ODEs Beispiel: Drei Stoffe mit je bis zu 100 Kopien CME = ODEs!

42 Vortrag 4.2: Die chemische Mastergleichung Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchenzahlen ( ) x 1 p(t, x) = P x k Exemplare von S k zur Zeit t, x =. N d x d Chemische Mastergleichung (CME) m t p(t, x) = ( ) α j (x ν j )p(t, x ν j ) α j (x)p(t, x) j=1 Propensity functions α j (x) Stoichiometrischer Vektor ν j Z d Chemische Mastergleichung = diskrete PDE

43 Vortrag 4.2: Die chemische Mastergleichung Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchenzahlen ( ) x 1 p(t, x) = P x k Exemplare von S k zur Zeit t, x =. N d x d Chemische Mastergleichung (CME) m t p(t, x) = ( ) α j (x ν j )p(t, x ν j ) α j (x)p(t, x) j=1

44 Vortrag 4.3 Weiterer Vortrag über die chemische Mastergleichung Inhalte werden noch bekannt gegeben...

45 Das wars... Institut für Angewandte und