Festkörper Struktur von Festkörpern. 1. Kristalline Festkörper:

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1 Festkörper Struktur von Festkörpern. Kristalline Festkörper: nordnung der Bausteine (tome, Moleküle oder Ionen) in regelmäßigen Raumgittern Symmetrieeigenschaften. bstand der Gitterpunkte liegt in der Größenordnung von 0-0 m. Einkristall polykristalliner Festkörper Man unterscheidet 4 Gittertypen: Ionengitter tomgitter Molekülgitter Metallgitter Es eistieren daneben verschiedene Kombinationstypen

2 Ionengitter: Beispiel NaCl Elektrostatische nziehung Ionenbindung tomgitter: Charakteristisch ist ein gemeinsames Elektronenpaar. Kovalente Bindung oder tombindung Beispiele: Wasserstoff H Fluorwasserstoff HF Diamant

3 Molekülgitter: Bindung durch van der Waals- oder Dispersionskräfte Beispiele: Eis oder festes Kohlendioid Durch Fluktuationen in der Elektronendichte bilden sich temporäre Dipolmomente. Metallgitter: Regelmäßig angeordnete, positiv geladenen Metallionen, die durch ein dem ganzen Gitter gemeinsam angehörendes Elektronengas zusammengehalten werden. Betrag und Richtung wechselt ständig, im Mittel ist das Dipolmoment Null. Die momentanen Dipole induzieren momentane Dipole in benachbarten Molekülen. Im zeitlichen Mittel führt dies zu einer nziehungskraft Kombinationsgitter: Beispiel Graphit metallische Bindung van der Waals Bindung

4 Gittertypen sind ein Idealbild fehlerfreier Kristalle. In der Realität weisen Kristalle immer Fehler auf. Leerstellen (Schottky Fehlordnung) besetzte Zwischengitterstellen (Frenkel Fehlordnung) Fremdatome d.h. chemische Fehlordnung gegeneinander versetzte Gitterebenen. morphe Festkörper: Keine regelmäßige nordnung der tome oder Moleküle. In kleinen Bereichen weisen sie oft eine regelmäßig wiederkehrende Konfiguration auf (Nahordnung) Physikalische Eigenschaften sind richtungsunabhängig (isotrop) Im Gegensatz zu Flüssigkeiten besitzen sie eine gewisse Formelastizität. Beispiele: Gläser, Harze, Wachs

5 Elastische Eigenschaften von Festkörpern Elastische Deformation: Deformation, die nach dem Fortfall der sie erzeugenden Kräfte vollständig wieder verschwindet Einseitige elastische Dehnung l F r F r N Normalkraft: F r N Sie wirkt senkrecht zur Fläche F Normalspannung: σ N σ p Druck: p Dehnung: ε Erfahrung zeigt: Δl l Δl Δl Δl ist proportional zu ist proportional zu ist proportional zu l F r lf Δl lσ αlσ E E Δl ε σ ασ Hookesches l E Gesetz Elastizitätsmodul: E Dehungsgröße: α / E

6 Beispiel: Federkonstante eines Stahlseils Feder: F r 0 0 Hookesches Gesetz: F D Stahlseil: l 0 F r ε E F F E l Δl D Δl

7 F r T Elastische Scherung F r T γ Tangentialkraft: F r T Sie wirkt in der Ebene der Fläche Tangential- oder Schubspannung: τ llgemein: F r F r T r F r r F N + F T F r N F T F τ T Gγ γ τ βτ G Hookesches Gesetz Scherungsmodul: G Schubkoeffizient: β / G Zusammenhang zwischen dem Scherungsmodul G und dem Elastizitätsmodul E: E G ( + μ) Poissonsche Zahl oder Querkontraktionszahl: μ

8 Querkontraktion ε q Δd ε με d q Ändert sich das Volumen des Stabes? V d ΔV V l V ΔV l Δl l V Δl + Δd d d + dlδd Δd + ε με ε ( μ) d ΔV > 0 für μ < 0, 5 Δl Material μ Beton 0,0 Eisen 0, - 0,59 Glas 0,8-0,3 Stahl 0,7-0,30 luminium 0,33 Kupfer 0,33 Quelle: Wikipedia

9 Elastische Kompression oder usdehnung: ΔV V ΔV V σ κσ K p κp K Kompressibilität (Zusammendrückbarkeit): κ Kompressionsmodul: K Kompressionsmodul-Werte einiger Substanzen Luft,0 0 5 Pa (konstante Temperatur) Wasser, Pa (Wert steigt bei Druckanstieg) Stahl,6 0 Pa Diamant 4,4 0 Pa (Quelle: Wikipedia)

10 Zusammenhang zwischen der Dehnung und der Normalspannung über den Gültigkeitsbereich des Hookeschen Gesetzes hinaus: ε σ σ P F Z ε P: Ende der Proportionalität zwischen und σ F: Ende des elastischen Verhaltens (Fließgrenze) F-Z: bleibende Formänderungen Z: Zerreißspannung erreicht ε Verlauf der Kurve hängt ab: vom Material von der Temperatur von der Geschwindigkeit der Verformung von der Vorgeschichte des Materials

11 Biegung eines homogenen Balkens (Lehrbuch der Theoretischen Physik, Joos) chse des Balkens: Die Schwerpunkte von jedem Querschnitt werden miteinander verbunden. bb.: siehe Joos Seite 68, Fig. 59 ρ Durch das nhängen eines Gewichtes wird diese chse in der -z Ebene zu einer Kurve gebogen. Neutrale Faser (enthält die chse) erfährt keine Längenänderung. Voraussetzung: Die ebenen Querschnitte bleiben auch nach der Biegung eben und stehen weiterhin senkrecht auf der chse des Balkens. D.h. Schubspannungen bleiben unberücksichtigt.

12 Für eine im bstand z von der neutralen Faser befindliche Schicht ergibt sich eine relative Längenänderung von: ( ρ + z) dϕ d mit der Krümmung: ρdϕ ρ zdϕ d dϕ d z ρ ρ Kraft df, die am Querschnittselement dydz angreift: z df Ez σ df dydz ρ E E dydz ρ E Die an dem Querschnitt angreifende Gesamtkraft ist: F zdydz ρ Bei der Biegung findet insgesamt keine Dehnung statt. D.h. die neutrale Faser geht immer durch den Schwerpunkt des Querschnitts, für den gilt: zdydz 0 Resultierendes Drehmoment, das den Querschnitt um eine in der neutralen Faser parallel zur y-chse liegende chse zu drehen sucht: M zdf

13 M E ρ zdf z dydz E B ρ Biegemoment oder Flächenträgheitsmoment: B z y V abc z dydz c / 0 b c / a B c / b c / 0 z dy dz c / c / c / c / b 3 3 [ z y] dz z bdz z b c b 0 c / 3 c / Dem Moment der inneren elastischen Kräfte hält das äußere Moment das Gleichgewicht. Moment der Last Q mg am Ort : M Q( a ) ρ

14 Die Krümmung der neutralen Faser: d z ρ d d z d Q ( a ) Zweimal integrieren: dz d z( ) Q Q ( a ) d a + C Q a d Q + C a C + C Es gilt: z( 0) 0 C 0 dz Und 0 bei 0 d C 0 z( ) Q a 6 3 bsenkung des Endpunktes: z( a) Q a 3 3