Zusammenfassung Finanzmarkttheorie 2

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1 UNI BERN BWL Zusammenfassung Finanzmarkttheorie 2 FS 2014 bei Prof. Dr. Heinz Zimmermann Zusammenfassung zusammengestellt aus den Folien zur Vorlesung. Zusammenfassung enthält wahrscheinlich noch Typos. Zudem wird für die Korrektheit des Inhaltes nicht garantiert.

2 Inhaltsverzeichnis 1. Grundbegriffe Calloption Putoptionen Synthetische Positionen Spreads, Straddle und Strangle Bewertung Arbitragefreier Terminkurs Bewertung von Termingeschäften Risikoneutrales Bewertungsprinzip Bewertung von Optionen Replikation und Arbitrage Dynamische Replikation Binomialprozesse Vom Binomialprozess zum Wiener-Prozess Zeitproportionalität Wiener-Prozess Binomiale Konvergenz Risikoneutrale Bewertung in stetiger Zeit Black-Scholes-Modell Greek Letters Produkte Aktienindexfutures und Mean-Var-Hedgeing Minimum-Varianz-Hedge Strukturierte Produkte FS

3 1. Grundbegriffe Parameter derivativer Geschäfte (Instrumente, Kontrakte, Produkte) o Verpflichtung oder Recht o Kauf- oder Verkaufsrecht/-verpflichtung: Call- oder Putoption o Laufzeit o Ausübungsmodus: Europäisch (im Verfallszeitpunkt ausübbar) versus amerikanisch (bis zum Verfallszeitpunkt ausübbar) o Kauf- oder Verkaufspreis o Bei konditionierten Kontrakten: Ausübungspreis (strike, exercise price) o Bei unkonditionierten Kontrakten: Termin- oder Futureskurs (forward price) o Basiswert (underlying): Finanzanlagen (Aktien, Bonds, Währungen, Futureskontrakte), Güter (Edelmetalle, Rohstoffe, Strom) oder beliebige Risikoaggregate (Zinssätze, Aktienindizes, Kreditausfälle). o Kontraktgrösse (Anzahl Aktien, Indexmultiplikator) o Gegenpartei: börsengehandelt (traded) oder ausserbörslich (over-the-counter) o Standardisierung und Verbriefung o Andienungsmodus bei Verfall: physische Lieferung oder bar (cash settlement) o Preis für den Abschluss des Kontrakts: o Bei Optionen: Optionspreis (häufig als «Prämie» bezeichnet) o Bei Termingeschäften: Null (der Termin- resp. Futureskurs wird entsprechend festgelegt) Calloption Kauf: Anleger/Innen, die steigende Aktienkurse erwarten. Der Kauf von Calloptionen bietet jedoch auch eine Alternative zum direkten Erwerb von Aktien, insbesondere als Ergänzung einer konservativen (risikolosen) Kapitalanlage. Verkauf: Investoren, welche stagnierende oder fallende Aktienkurse erwarten. Das Risiko steigender Kurse lässt sich in diesem Fall durch das Halten der zugrunde liegenden Aktien absichern Putoptionen Kauf: Investoren, welche fallende Aktienkurse erwarten. Im Vergleich zu einem Leerverkauf von Aktien lassen sich pessimistische Kurserwartungen sehr viel einfacher umsetzen. Verkauf: Als Ergänzung zu einer Geldmarkt- oder Festgeldanlage zu betrachten. Bei einer positiven Kursentwicklung verdient man dabei die Prämie. FS

4 1.3. Synthetische Positionen Nachbildung möglich mittels: das Gewinnpotenzial durch den Kauf einer Calloption das Verlustpotenzial durch den Verkauf einer Putoption Der Kapitaleinsatz respektive Wert eines synthetischen Instruments muss genau so viel Betragen wie jenes des nachgebildeten Instruments Spreads, Straddle und Strangle horizontalen Spread: wird eine Option mit kurzer Laufzeit gekauft (verkauft) und eine Option langer Laufzeit verkauft (gekauft) beide Optionen weisen denselben Ausübungspreis auf. vertikalen Spread: wird eine Option mit tiefem Ausübungspreis gekauft (verkauft) und eine Option mit hohem Ausübungspreis verkauft (gekauft) beide Optionen weisen denselben Verfallszeitpunkt auf. diagonalen Spread wird eine Option mit tiefem Ausübungspreis und kurzer Laufzeit gekauft (verkauft) und eine Option mit hohem Ausübungspreis und längerer Laufzeit verkauft (gekauft). Butterfly Spread werden Optionen mit einem gegebenen Ausübungspreis gekauft (verkauft) und Optionen mit höherem und tieferem Ausübungspreis verkauft (gekauft) die Optionen weisen denselben Verfall auf. 2. Bewertung 2.1. Arbitragefreier Terminkurs Variante A: Kauf auf Termin, kein Kapitaleinsatz in 0 Variante B: Kauf heute mit Aufnahme Kredit Gegeben: S0, S1, R, Wert Terminvertrag S0=0 1. Berechne Daten in B für ein S1 2. Berechne Netto X 3. Subtrahier X von S1 fairer Terminkurs Formel: FS

5 2.2. Bewertung von Termingeschäften Kaufpreis X: Verkaufspreis X: 2.3. Risikoneutrales Bewertungsprinzip 1. Berechnung der Gewichtungsfaktoren 2. Berechnung risikoneutraler Erwartungswert 3. Risikoloser EW muss gleich S x (1+r) T sein 2.4. Bewertung von Optionen Bei der Optionsbewertung ist darauf zu achten, dass die Option nicht in jedem Fall ausgeübt wird und dann der Payoff auch 0 sein kann. Put-Call-Preisäquivalenz: Der Putpreis stimmt dann mit dem Callpreis überein, sofern beide Ausübungspreise dem Terminkurs entsprechen. FS

6 2.5. Replikation und Arbitrage Einfluss des Aktienkurses: Einfluss von Zinssatz und Volatilität: Eine höhere Volatilitätsannahme erhöht sowohl den Preis von Calls als auch von Puts. Die Sensitivität ist i.d.r. substanziell. Man erkennt, dass ein höherer Zinssatz den Preis des Calls erhöht und jenen des Puts reduziert. Einfluss von Laufzeit und vorzeitiger Ausübung: Der Preis einer (europäischen und amerikanischen) Calloption steigt mit längerer Restlaufzeit. Calloptionen werden vor Verfall optimalerweise nicht ausgeübt (ausser vor allfälligen Dividendenzahlungen). Der Preis einer europäischen Putoption kann mit längerer Restlaufzeit sowohl ab- als auch zunehmen. Der Preis einer amerikanischen Putoption kann bei hinreichend tiefem Aktienkurs sogar unter den Ausübungswert fallen, womit die Option optimalerweise vorzeitig ausgeübt wird. Ihr Preis ist demzufolge höher als jener einer sonst identischen europäischen Putoption. FS

7 2.6. Dynamische Replikation Dynamische Replikation einer Calloption Die dynamische Replikation einer Calloption erfordert eine Erhöhung des Aktienanteils bei steigenden Kursen und eine Reduktion des Aktienanteils bei fallenden Kursen. Es handelt sich um eine prozyklische Replikationsstrategie. Der zusätzliche Investitionsbedarf aus der Erhöhung des Aktienanteils wird vollumfänglich durch die Aufstockung des Kredits finanziert, resp. das freigesetzte Kapital aus der Reduktion des Aktienanteils muss zur Reduktion des Kredits verwendet werden. Die Zinsbelastung wird in beiden Fällen zum Kredit geschlagen. Die dynamische Anpassung ist demzufolge selbstfinanzierend. Dynamische Replikation einer Putoption Die dynamische Replikation einer Putoption erfordert eine Erhöhung des leerverkauften Aktienanteils bei fallenden Kursen und eine Reduktion desselben bei steigenden Kursen. Dies bedeutet (numerisch) eine Reduktion des Aktienanteils bei fallenden und eine Erhöhung bei steigenden Kursen. Dies ist, wie bei einer Calloption, eine zyklische Replikationsstrategie. Der zusätzliche Investitionsbedarf für die Erhöhung der Festgeldanlage bei fallenden Kursen wird vollumfänglich durch zusätzliche Aktienleerverkäufe finanziert, resp. das freigesetzte Kapital bei steigenden Kursen muss zum Rückkauf der leerverkauften Papiere verwendet werden. Die Zinsbelastung wird in beiden Fällen durch Fremdfinanzierung gedeckt. Die dynamische Anpassung ist demzufolge selbstfinanzierend. 3. Binomialprozesse Bei Binomialprozessen wird nun mit stetigen Renditen gearbeitet, dies erfordert aber nun nicht mehr Erwartungswerte sondern Wahrscheinlichkeiten. FS

8 3.1. Vom Binomialprozess zum Wiener-Prozess Ziel ist die unendliche Vergrösserung der Zeitteilungen bzw. die infinitesimale Verkleinerung der Zeitintervalle. Im Grenzfall unendlich vieler Kursveränderungen resultiert ein stetiger Prozess. Die Renditen sind aufgrund des ZGS normalverteilt mit dem Mittelwert µt und der Varianz σ 2 T bzw. Volatilität von σ*wurzel(t). T stellt die Länge des Zeitintervalls dar, über welches der Prozess betrachtet wird, meist wird T auf 1 normiert. Die Länge eines Intervalls ist durch 1/n (T/n) gegeben bei n Preisveränderungen. Gegeben sind meist µ und σ, festgelegt werden müssen u, d und π. Es liegen somit drei Unbekannt vor aber nur zwei Restriktionen, somit besteht Spielraum beim festlegen eines Parameters. Folgende zwei Möglichkeiten stehen zur Verfügung: CRR-Ansatz: Die Wahl der Volatilitätsfaktoren als inverse Werte stellt sicher, dass die binomialen Werte der stetigen Renditen symmetrisch sind. FS

9 3.2. Zeitproportionalität 3.3. Wiener-Prozess FS

10 3.4. Binomiale Konvergenz 3.5. Risikoneutrale Bewertung in stetiger Zeit Dies heisst, dass die derivativen Instrumente relativ zu einer Verteilung bewertet werden, deren Erwartungswert durch den risikolosen Zinssatz und die Volatilität der stetigen Rendite charakterisiert wird. FS

11 4. Black-Scholes-Modell Callpreis: Putpreis: Ein Beispiel: 4.1. Greek Letters FS

12 Der Hebeleffekt (Omega): Für mehr Details siehe Cheat Sheets Valuation und International Finance. 5. Produkte 5.1. Aktienindexfutures und Mean-Var-Hedgeing Der Erfolg eines Indexkontraktes ist massgeblich von der Spezifikation des zugrundeliegenden Index abhängig. Bekanntheit und Einfachheit: Sowohl der zugrunde liegende Index als auch die Kontrakte müssen in ihrer Ausgestaltung einfach und verständlich sein. Objektivität: Die Indexkonstruktion muss mechanisch erfolgen und darf keine Möglichkeiten für diskretionäre Entscheidungen von Institutionen, Kommissionen usw. bieten. Der Index muss breit genug sein, damit kein Verdacht auf Manipulierbarkeit besteht. Arbitragemöglichkeiten und Liquidität des Kassamarkts: Von entscheidender Bedeutung ist die Möglichkeit zu Arbitragetransaktionen zwischen Kassamarkt und Indexprodukten. Arbitrageure erhöhen nicht nur die Liquidität des Marktes, sondern garantieren (bei den Futures beispielsweise durch den Programmhandel) die Effizienz der Preisbildung der Indexprodukte Cross-Hedging-Möglichkeiten: Die Indexspezifikation muss ein breites Spektrum von Absicherungsmöglichkeiten der darauf gehandelten Kontrakte sicherstellen. Indexkontrakte werden ausschliesslich zum Cross-Hedging verwendet, da sich jedes diversifizierte Aktienportfolio von der Indexzusammensetzung unterscheidet. Umso wichtiger ist deshalb die «Repräsentativität» und Stabilität der Indexzusammensetzung. Dirtyness: Die Kontrakte dürfen nicht zu «sauber» sein. Wenn die Ähnlichkeit zwischen Kassa- und abgeleiteten Instrumenten allerdings zu hoch ist, so erzeugt man eine «redundante» Anlage, d.h. ein mit den bestehenden Anlagen perfekt replizierbares Instrument. Lassen die Instrumente oder die Kontraktausgestaltung keine «Unsicherheiten» oder Erwartungsasymmetrien zu, dann dürfte der Anreiz für solche Transaktionen gering sein. First Mover Advantage und Produktdifferenzierung: Sehr häufig stellt man fest, dass nicht primär die Ausgestaltung des Index oder des Kontrakts, sondern einfach die Lancierung des ersten Produkts für dessen Erfolg ausschlaggebend ist. Der Futureskurs entspricht dem Terminkurs, wird aber jeden Tag abgerechnet (daily settlement), was das Gegenparteienrisiko senkt. Basisrisiko: Unter der Basis versteht man die Differenz zwischen dem Futureskurs und dem Kassakurs. Vom Basisrisiko spricht man, wenn Kassa- und Futureskurs nicht perfekt korreliert sind. Die Basis konvergiert gegen den Verfallszeitpunkt gegen Null; im Verfallszeitpunkt muss der Futureskurs exakt mit dem Index übereinstimmt. Kann aber mithilfe des Ausrichtens des Planungshorizonts eliminiert werden. Tracking-Risiko: Zusammensetzung des Portfolios stimmt kaum exakt oder auch nur annähernd mit jener des zugrunde liegenden Index überein. FS

13 5.2. Minimum-Varianz-Hedge 5.3. Strukturierte Produkte Replikation: Der Nutzen für den Investor besteht in der Partizipation eines abstrakten oder nicht direkt in Form einer Finanzanlage verfügbaren Werts. Hebel Kapitalschutz Renditesteigerung Kombinationen FS

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