Kurvenradien von Eisenbahnen

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1 BspN: E031 Ziele Umfomen von Fomeln Vetiefung von Funktionen Fächeübegeifende Unteicht Analoge Aufgabenstellungen Übungsbeispiele Lehplanbezug (Östeeich): Themenbeeich Quadatische Funktionen TI-9 (E031a) 6. Klasse Quelle: Fanz Hause (nach eine Idee siehe Kuvenadien von Eisenbahnen vohandene Ausabeitungen Angabe: Beim Eisenbahnbau wid zu Eleichteung de Kuvenfaht und zu Reduktion de Fliehkäfte eine Ehöhung de Außenschiene vogenommen. Bei eine Faht eines ungefedeten Wagens mit de Geschwindigkeit v (in km/h) auf einem Keisbogen mit Radius (in m) lautet die Fomel fü die theoetische Übehöhung ü th (in mm), bei de es zu eine vollständigen Kompensation de Fliehkaft kommt: 11,8 v üth = Wid diese Übehöhung nun fü eine bestimmte Fahgeschwindigkeit beechnet und eingebaut, so wid es schnellee Reisezüge abe auch langsamee Gütezüge geben, die dann zentifugalen bzw. zentipetalen Käften beim Duchfahen dieses Keisbogens ausgesetzt weden. Fü den Reisenden hat dies zu Folge, dass man ihm eine gewisse feie Seitenbeschleunigung im Bogen zumutet, um schnelle fahen zu können. Bei eine Übehöhung ü wid diese feie Seitenbeschleunigung a (in m/s²) wie folgt beechnet: v ü a = 1, Fagen: a) Übehöhungen kleine als 0 mm weden nicht eingebaut. Gib in eine Tabelle die Geschwindigkeiten, bei de es zu eine vollständigen Kompensation de Fliehkaft auf einem Keisbogen kommt, fü die Radien 00 m, 300 m,..., 1000m bei eine Mindestübehöhung von 0 mm an. Auf welche Wete änden sich diese Geschwindigkeiten, wenn eine Übehöhung von 150 mm eingebaut ist. b) Stelle inteessante Abhängigkeiten de Gößen ü th, v, in de Fomel Funktionsgaphen da. ü th = duch Wetetabellen bzw. c) In einem Bogen wid bei eine Übehöhung von 10 cm die Geschwindigkeit, bei de es zu vollständigen Kompensation de Fliehkaft kommt, um 5%, 10%,..., 50% übeschitten. Beechne die feie Seitenbeschleunigung auf einen Reisenden fü Bogenadien von 500m, 800m, 1000m. d) Als Genzwet fü ein etägliches Maß an feie Seitenbeschleunigung wid ein Taditionswet von a = 0,654 m/s² angesehen, de bei höhee Gleisqualität bis zu 0,85 m/s² ansteigen kann. Gib jeweils eine Fomel an, mit de die dazu notwendige Übehöhung beechnet weden kann. e) Um im Regelbetieb mit gemischtem Vekeh (Pesonen- und Gütevekeh) einen Anhaltspunkt fü die zu wählende Übehöhung von Keisbögen zu haben, wid zusätzlich de Begiff de Regelübehöhung ü eingefüht: ü = 0 fü v 80 km/h ü = ode mindestens ü = 100 fü v > 80 km/h Gib die zulässigen Geschwindigkeiten bei Regelübehöhungen von 60 mm, 90 mm, 10 mm, 150 mm in Abhängigkeit des Radius (300 m 1000 m) an. ACDCA-Beispielsammlung 00 1 / 6 Pojekt Technologie im Mathematikunteicht

2 Vielfach weden Eisenbahnfahzeuge eingesetzt, die sich bei de Kuvenfaht neigen. Aktive Neigesysteme ekennen im Voaus den Bogen im Gleis und neigen den Zug automatisch zb. beim schwedischen,,x-000'' ode beim italienischen,,pendolino'' emitteln Sensoen im fühenden Fahzeug die wichtigsten Daten de Kuve und steuen die Neigung des Zuges übe Hydaulikzylinde. De X-000 neigt sich bis zu 6,5, de Pendolino bis zu 8. Daduch können in den Kuven höhee Geschwindigkeiten eeicht weden. ACDCA-Beispielsammlung 00 / 6 Pojekt Technologie im Mathematikunteicht

3 BspN: E031a Ausabeitung (System: TI-9) ad a) Aus de Fomel ü th üth. = ehält man nach Umfomung v =. 11,8 Festlegen des Statwetes und de Schittweite Eingabe de Fomel fü eine Übehöhung von 0mm bzw. 150mm in den [y=]-edito Tabelle die Geschwindigkeiten Wächst de Kuvenadius, so kann auch die Geschwindigkeit ehöht weden, bei de es zu eine vollständigen Kompensation de Fliehkaft auf dem Keisbogen kommt. ad b) In de Fomel üth = gibt es einige inteessante Abhängigkeiten de Gößen ü th, v und. Wi wählen zunächst die Abhängigkeit de Übehöhung von de Geschwindigkeit bei den Radien 300 m, 500 m, 800 m und 1000 m aus. Wetetabellen Funktionsgaphen im Gaph-Fenste Quadatische Funktionen, die bei gößeen Kuvenadien umso flache velaufen ACDCA-Beispielsammlung 00 3 / 6 Pojekt Technologie im Mathematikunteicht

4 Nun zeigen wi die Abhängigkeit de Übehöhung vom Radius bei den Geschwindigkeiten 60 km/h, 80 km/h, 100 km/h und 10 km/h. Eingabe de Funktionsgleichungen Wetetabellen Funktionsgaphen fü > 300 m Typische Gaphen fü indiekte Popotionalitäten Zuletzt inteessiet uns noch die Abhängigkeit de Geschwindigkeit vom Kuvenadius bei Übehöhungen vom 50 mm, üth. 80 mm, 10 mm und 150 mm. Duch Umfomen de Fomel üth = ehalten wi v =. 11,8 Eingabe de Funktionsgleichungen Wetetabellen. Funktionsgaphen de Wuzelfunktionen ad c) In einem Bogen wid bei eine Übehöhung von 10 cm die Geschwindigkeit, bei de es zu vollständigen Kompensation de Fliehkaft kommt, um 5%, 10%,..., 50% übeschitten. Die feie Seitenbeschleunigung a auf einen Reisenden eechnen wi aus de angegeben Fomel v ü a =. 1, ACDCA-Beispielsammlung 00 4 / 6 Pojekt Technologie im Mathematikunteicht

5 Zunächst setzen wi = 500m Eingabe de Geschwindigkeit in y1(x) und de feien Seitenbeschleunigung in y(x) als Funktion des Pozentsatzes x de Geschwindigkeitsehöhung Tabelle de Geschwindigkeitswete in y1 und de zugehöigen Seitenbeschleunigung in y Analog echnen wi mit = 1000m. Wid die Geschwindigkeit, bei de es zu vollständigen Kompensation de Fliehkaft kommt, um 50% übeschitten, so egibt dies eine feie Seitenbeschleunigung von 0,8 m/s² auf einem Keisbogen von 1000 m. ad d) Als Genzwet fü ein etägliches Maß an feie Seitenbeschleunigung wid ein Taditionswet von a = 0,654 m/s² angesehen, de bei höhee Gleisqualität bis zu 0,85 m/s² ansteigen kann. Die Fomel, mit de die dazu notwendige Übehöhung beechnet weden kann, egibt nach Einsetzen de Wete fü a in die Fomel Umfomung zu: ad e) ü 100 fü a = 0,654 m/s² bzw. ü 130 fü a = 0,85 m/s². v ü a = und 1, Fü v > 80 km/h gilt fü die Regelübehöhung mindestens ü = 100. Die zulässigen Geschwindigkeiten bei ü bestimmten Regelübehöhungen ehält man nach Umfomung zu v =. 11,8 Wi echnen im Data/Matix-Edito. In de esten Spalte c1 geben wi die Radien in Hundeteweten ein. Dann scheiben wi in den Kopf de zweiten Spalte c die Fomel zu Eechnung de Geschwindigkeit. De TI-9 setzt dann die Wete fü die Radien aus de Spalte c1 ein und eechnet die zulässigen Geschwindigkeit fü die Übehöhung von 60mm in de Spalte c. ACDCA-Beispielsammlung 00 5 / 6 Pojekt Technologie im Mathematikunteicht

6 Analog lassen wi die zulässigen Geschwindigkeiten in Abhängigkeit von den Radien fü die Übehöhungen von 90 mm, 10 mm und 150 mm beechnen. ACDCA-Beispielsammlung 00 6 / 6 Pojekt Technologie im Mathematikunteicht