Übungen zur Vertiefung der Geometrie (Geometrie II) WS 2006/ Oktober 2006 Blatt 1

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1 Übungen zur Vertiefung der Geometrie (Geometrie II) WS 2006/ Oktober 2006 latt 1 1. lternative efinition der zentrichen Streckung Zeigen Sie (unter Vorauetzung der Strahlenätze): Jede bijektive, geradentreue bbildung der Ebene in ich, die einen Fixpunkt Z beitzt und die jede Gerade g auf eine zu g parallele Gerade g abbildet, it eine zentriche Streckung. 2. Zentrich Strecken durch Zeichnen von Parallelen Von einer zentrichen Streckung it da Zentrum Z und ein Punktepaar P, P' gegeben. Kontruieren Sie allein durch Zeichnen von Parallelen zu einem gegebenen reieck da ilddreieck. 3. Teilen von Strecken in gegebenem Verhältni mit Zirkel und Lineal Gegeben it eine beliebige Strecke. Teilen Sie die Strecke mit Zirkel und Lineal im Verhältni 7:5. 4. Verkettung von zwei zentrichen Streckungen Ein (von Ihnen gewählte beliebige) reieck oll an Z 1 (0,0) mit dem Streckfaktor k 1 =3 getreckt werden. a ilddreieck wird an Z 2 (0,6) mit dem Streckfaktor k 2 = -1/2 getreckt, e entteht. (a) Zeichnen Sie. (b) urch welche bbildung wird auf abgebildet? Geben Sie die charakteritichen aten der bbildung an (durch bleen au der Kontruktion). Sie dürfen den Satz verwenden, da die Verkettung von zwei zentrichen Streckungen mit Streckfaktoren k 1 und k 2 wieder eine zentriche Streckung ergibt, wenn k 1 k 2 1 it. 5. Punktpiegelung und zentriche Streckung egründen Sie: - ie Verkettung einer zentrichen Streckung, die keine Punktpiegelung it, mit einer Punktpiegelung (an einem beliebigen Punkt) it eine zentriche Streckung - ie Verkettung einer zentrichen Streckung mit einer rehung Z,α (mit 0<α<180 ) it keine zentriche Streckung 6. Zentriche Ähnlichkeit zweier Kreie Gegeben ind zwei beliebige Kreie K 1 (M 1,r 1 ) und K 2 (M 2,r 2 ). eweien Sie, da e immer eine zentriche Streckung mit einem Zentrum Z gibt, die die Kreie auf einander abbildet. Hinwei: Nebentehende Skizze. M2 M1 Z

2 7. Gemeiname Tangenten an zwei Kreie Gegeben ind zwei Kreie K 1 (M 1,r 1 ) und K 2 (M 2,r 2 ) mit M 1M 2 = 10 cm, r 1 =2 cm, r 2 =5 cm. Man kann die gemeinamen äußeren Tangenten an die Kreie. gemäß der nebentehenden Skizze kontruieren ( Geometrie I, ohne Verwendung der zentrichen Streckung). M 2 M 1 Kontruieren Sie nun mit Hilfe der vorangehenden ufgabe die gemeinamen Tangenten an die Kreie auf andere Weie. 8. Kontruktionen von Figuren mit Hilfe der zentrichen Streckung, der Strahlenätze oder den Sätzen au der Satzgruppe de Pythagora. Hinwei. Häufig hilft folgende Verfahren: Kontruieren Sie zunächt eine zur Löung ähnliche Figur mit anderen Längen al angegeben. urch anchließende zentriche Streckung mit geeignetem Streckzentrum orgt man dafür, da die Längen dann da richtige Maß erhalten. r2 t2 t1 r1 (a) Gegeben it eine beliebige Strecke. Kontruieren Sie ein Rechteck mit dem Seitenverhältni 2 : 3 deen Umfang o lang wie it. (b) Kontruieren Sie in einem beliebigen reieck mindeten ein Quadrat, deen Ecken alle auf den Seiten de reieck liegen. ei welchen reiecken gibt e mehrere olche Quadrate? Hinwei: Kontruieren Sie zunächt ein Quadrat, für da nur 3 Ecken auf den reieckeiten liegen. urch anchließende zentriche Streckung von einem Eckpunkt de reieck au erhält man dann ein Quadrat, da die nforderungen erfüllt. (c) Kontruieren Sie ein reieck mit dem Seitenverhältni a : b : c = 5 : 6 : 7 und einem gegebenen Umkreiradiu r = 5 cm. (d) Kontruieren Sie ein gleicheitige reieck, bei dem der Inkreiradiu um 2 cm kürzer it al der Umkreiradiu. (e) Gegeben it ein beliebige Quadrat. Kontruieren Sie ein Rechteck mit dem Seitenverhältni 2 : 3, deen Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt de Quadrat it. (Hinwei: z.. Höhenatz oder Kathetenatz benützen). 9. Kirchenfenter Zu einem gegebenen Kreiauchnitt oll ein Krei kontruiert werden, der die beiden Radien und die Kreilinie von innen berührt. Sie ehen die Kontruktionlinien in der nebentehenden Zeichnung. Erläutern Sie da Kontruktionprinzip und führen Sie die Kontruktion durch. geuchter Krei Kreiauchnitt Kontruieren Sie mit Hilfe der vorangehenden Kontruktion da nebentehende Kirchenfenter. Welche anderen Kirchenfenter können Sie auf diee rt kontruieren?

3 10. Noch ein Kirchenfenter Ein gleichchenklige reieck mit der Seitenlänge c und der Höhe h (=h c ) it gegeben. Mit dem Mittelpunk M der Seite c wird ein Halbkrei gezeichnet, der die beiden anderen Schenkel de reieck berührt, ein Radiu wird mit r1 bezeichnet. (a) Kontruieren ie einen Krei mit Mittelpunkt M 2, der den Halbkrei und die beiden Schenkel de reieck berührt (.nebentehende Skizze). (b) erechnen Sie und r 1 in bhängigkeit von c und h. (c) Zeigen Sie, da für den Radiu r 2 gilt: r 2 r = 1( h r1 ) ( h + r ) 1 c M M2 h r1 F 11. Rechnen mit Zirkel und Lineal Gegeben it eine Strecke, die unere Längeneinheit (LE) repräentiert; wenn Sie wollen, können Sie ich darunter z.. die Längeneinheit 1 cm vortellen. Zu zwei Strecken PQ mit der Länge x LE und RS mit der Länge y LE ollen Sie nur mit Zirkel und Lineal Strecken der Länge x+y LE, y-x LE, x y LE und x:y LE, 1:x LE kontruieren. 1LE P x Q R y S 12. Zerlegung eine rechtwinkligen reieck in ähnliche Teildreiecke Ein rechtwinklige reieck (γ = 90 ) wird durch die Höhe in zwei reiecke zerlegt. Zeigen Sie, da die reiecke, und zueinander ähnlich ind. Welche Sätze laen ich au den Verhältnien der reieckeiten gewinnen? 13. Winkelhalbierendenatz für reiecke ' eweien Sie den Winkelhalbierendenatz für reiecke: ie Winkelhalbierende eine reieckwinkel teilt die Gegeneite im Verhältni der dem Winkel anliegenden Seiten T : T = : T Hinwei: Spiegeln Sie da reieck an der Winkelhalbierenden. Verwenden Sie Strahlenätze. '

4 14. Tetraeder ei einem Tetraeder (1) werden die Kantenmitten verbunden und der dabei enttehende Körper heraugechnitten, o da ein Körper übrig bleibt, der au kleineren Tetraedern zuammengeetzt it (2). (1) (2) (3) (4) (a) uf wie viel Prozent eine Volumen wurde der urprüngliche Tetraeder bei dieer Operation reduziert? (b) In welcher eziehung teht die Oberfläche de enttandenen Körper (2) zur Oberfläche de Tetraeder (1)? (c) echreiben Sie die Form de heraugechnittenen Körper. Kennen Sie einen Namen für dieen Körper? (d) er bechriebene Proze wird mit den übrig gebliebenen kleineren Tetraedern immer weiter fortgeetzt (3), (4),. Wa kann man über Volumen und Oberfläche der enttehenden Körper agen? 15. IN-Format (experimentell) Material: Papier IN 4, 5, 6. Veruchen Sie herauzufinden, ob ich die lätter im IN 6 und IN 5 Format von einer Ecke au o zentrich trecken laen, da ich da IN 4 latt ergibt. Wenn da geht, wie groß ind die Streckfaktoren? Wa können Sie über die Flächeninhalte agen? IN-Formate unere Papier Maße eine in-4-latte (näherungweie): reite 21 cm, Länge ca. 29,7 cm. Eigenchaften de IN-Formate: (1) lle IN-Formate haben die gleiche Form. (2) Wenn man z.. einen IN-3-ogen halbiert dann erhält man einen IN- 4-ogen uw.. (3) Ein IN-0-ogen hat den Flächeninhalt 1m IN-Formate (a) Wa bedeutet Eigenchaft (1) in der mathematichen Fachprache? (b) ie Eigenchaften (1) und (2) legen da Verhältni von Länge zu reite der IN- ögen eindeutig fet. erechnen Sie diee Verhältni. Erklären Sie Ihre Rechnung o da Schüler der 9. Klaentufe e vertehen können. (c) Welche Maße ergeben ich für den IN-0-ogen?

5 (d) Welche Maße ergeben ich au den Maßen de IN-0-latte für die IN-Formate von IN-1 bi IN-6? (e) lätter von IN-6 bi IN-3 werden o auf den Tich gelegt, da ihre linken unteren Ecken übereinander liegen und die Ränder zueinander parallel ind (.Skizze). Wie kann man die Eigenchaft (1) experimentell überprüfen? Wa ändert ich, wenn man mit einem latt Papier mit den Maßen 30 cm auf 20 cm beginnt und da latt (genauer eine Kopie davon) immer wieder halbiert und die enttehenden lätter genauo hin legt? (f) Warum mu man auf einem Photokopierer die Verkleinerung auf 71% eintellen, wenn man zwei IN-4 lätter auf ein IN-4 latt kopieren will? (g) uf welche Verkleinerung mu man einen Photokopierer eintellen, wenn man vier IN-4 lätter auf ein IN-4 latt kopieren will? (h) a Format US-rief (Letter) hat die Maße 8,5 inch x 11 inch (21,59cm x 27,94cm), da Format US-Lang die Maße 8,5 inch x 14 inch (21,59cm x 35,56cm). uf welche Verkleinerung mu ein merikaner jeweil auf einen Photokopierer eintellen, wenn er zwei lätter eine Format auf eine verkleinern will? Wie viel Prozent an Fläche verliert er jeweil dabei? 17. Regelmäßige chteck au einem IN-latt Ein IN-4 latt oll o gefaltet werden, da die Ecke auf die gegenüberliegende Seite kommt und die Falte durch die benachbarte Ecke verläuft (. Skizze). a E (a) Zeigen Sie, da E ein Quadrat it. (b) Zeigen Sie, da E = it. (c) Man chneidet da Quadrat E ab. ei dieem Quadrat ollen die Ecken o abgechnitten werden, da ein regelmäßige chteck entteht mit der Seitenlänge entteht. (d) erechnen Sie in bhängigkeit der Seitenlänge a de Quadrate. Zeigen Sie, da gerade die reite de abgechnittenen Streifen it. (e) Stellen Sie mit dieen Kenntnien ein regelmäßige chteck au einem IN-4 latt her. a E 18. Peilen aumenbreite. Material: Maßbänder. Sie peilen Ihren aufgetellten aumen der augetreckten Hand mit einem einzigen uge an (andere uge chließen). Wie weit ind Sie von einer Wand entfernt, wenn Ihr aumen in einer reite ein Fenter von 1m reite genau verdeckt? Skizze, Meung, Rechnung.

6 19. aumenprung aumenprung. Material: Maßbänder. Wenn Sie den aufgetellten aumen am augetreckten rm abwechelnd mit dem linken und dem rechten uge anpeilen, dann cheint er vor dem Hintergrund hin und her zu pringen. Erklären Sie dieen Effekt an Hand einer Skizze! Wie weit ind Sie ungefähr von einer Wand weg, wenn Ihr aumen dort einen Sprung von 1 m macht? Skizze, Meungen, Rechnung. Prüfen Sie Ihre Theorie durch Nachmeen: Kleben Sie ein IN 4 latt (29,7cm x 21 cm) an die Wand, gehen Sie o weit weg, da da latt gerade einen aumenprung breit it und meen Sie die weentlichen Längen. 20. Sätze am Krei: Sehnenatz und Sekantenatz Gegeben it ein Krei K. urch einen Punkt P, der nicht auf der Kreilinie liegt, werden zwei Geraden gezeichnet, die den Krei in den Punkten und bzw. und chneiden. Wir untercheiden zwei Fälle: 1.Fall: P liegt im Inneren de Kreie. 2.Fall: P liegt außerhalb de Kreie. Zeigen Sie, da in beiden Fällen die reiecke P und P ähnlich zueinander ind. M P b egründen Sie damit für den erten Fall den Sehnenatz Schneiden ich zwei Sehnen eine Kreie in einem Punkt P im Inneren de Kreie, dann ind die Produkte au den Sehnenabchnitten gleich groß, d.h. P P = P P und im zweiten Fall den M P Sekantenatz Schneiden ich zwei Sekanten eine Kreie in einem Punkt P außerhalb de Kreie, dann ind die Produkte au den Sekantenabchnitten gleich groß, d.h. P P = P P Interpretieren Sie die beiden Sätze al Flächenätze (über Rechteckflächen). euten Sie den Spezialfall de 2.Satze, wenn eine Sekante in eine Tangente übergeht (z.. wenn = wird) Sekanten-Tangentenatz.