Klausur zur Akademischen Teilprüfung, Modul 2,

Transkript

1 PH Heidelberg, Fach Mathematik Klausur zur Akademischen Teilprüfung, Modul, GHPO I vom.7.003, RPO vom Einführung in die Geometrie Wintersemester 1/13, 1. Februar 013

2 Klausur zur ATP, Modul, Einführung in die Geometrie, WS 1/13, Aufgabe 1: Definieren Nr. Aufgabe Punkte. a) Definieren Sie den Begriff Nebenwinkel. 3 b) Es seien SA + und SB + zwei verschiedene Halbgeraden. Jemand definiert M := {P P SA, B + P SB, A + }. Was wurde mit Menge M definiert? c) Scheitelwinkel haben die Eigenschaft kongruent zueinander zu sein. Ist diese Eigenschaft hinreichend, notwendig oder hinreichend und notwendig dafür, dass zwei Winkel Scheitelwinkel sind. Begründen Sie Ihre Antwort. (Skizzen sind zur Begründung zulässig.) d) Formulieren Sie eine Konventionaldefinition des Begriffs Tangente an einen Kreis. 3 e) Es sei ε eine Ebene in unserem Raum R. Der Punkt Q möge nicht zu ε gehören. Definieren Sie Halbraum εq := {P... f) Warum ist es sinnlos, den Begriff Sehnendreieck zu definieren? 1 g) Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Der Begriff AB sei bereits definiert. Definieren Sie unter expliziter Verwendung von AB den Begriff AB + :=... h) Es sei k ein Kreis mit dem Mittelpunkt M. Definieren Sie: α ist Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) von k. PH Heidelberg - Fach Mathematik 1

3 Klausur zur ATP, Modul, Einführung in die Geometrie, WS 1/13, Aufgabe : Argumentieren, Begründen, Beweisen Nr. Aufgabe Punkte. a) M 1 sei die Menge aller gleichseitigen Dreiecke, M die Menge aller gleichschenkligen Dreiecke. Begründen Sie M 1 M. 1 b) Mit welchem Satz begründet man in der absoluten Geometrie, dass ein Dreieck keine zwei rechten Innenwinkel haben kann. 1 c) Es seien A, B, P drei paarweise verschiedene Punkte. Begründen Sie: P AB P AB 3 d) Satz I: Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann liegt der Mittelpunkt seines Umkreises auf einer seiner Seiten. Handelt es sich bei Satz I um den Satz des Thales? Begründen Sie Ihre Antwort. e) Formulieren Sie die Kontrapostition von Satz I. f) Gegeben seien drei verschiedene Strecken a, b, c mit a = 3, b = und c = π. 5 5 Begründen Sie mit Hilfe eines Axioms, dass kein Dreieck existiert, das aus den drei Seiten a, b, c besteht. g) Gegeben seien eine Gerade l, ein Punkt F außerhalb von l und ein Punkt L auf l (s. Abb. 00). Zeichnen Sie in die Abb. 00 einen Punkt P mit P l = P F ein. Erläutern Sie, wie Sie zu P gekommen sind und warum P existiert. 3 Abb. 00 PH Heidelberg - Fach Mathematik

4 Klausur zur ATP, Modul, Einführung in die Geometrie, WS 1/13, Aufgabe 3: Kriterien Abb. 01 Konstruktiver Begriffserwerb T 1 : Legt man auf einen Streifen (Paar paralleler Geraden g und h) Stäbchen gleicher Länge (Strecken AD und BC mit AD = BC) derart, dass A und B auf g und D und C auf h wie in Abbildung 1 zum Liegen kommen, dann erhält man ein gleichschenkliges Trapez ABCD. Es sei dabei ferner vereinbart, dass die beiden Stäbchen nicht parallel sein dürfen, es sei denn, dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist. Nr. Aufgabe Punkte. a) Definieren Sie den Begriff gleichschenkliges Trapez, wie er sich entprechend T 1 unmittelbar ergibt. Definition GST 1: 5 Konstruktiver Begriffserwerb T : Bringt man einen Streifen (Paar paralleler Geraden g und h) mit einem Kreis k entsprechend Abbildung 0 zum Schnitt entsteht offenbar auch ein gleichschenkliges Trapez. Abb. 0 Nr. Aufgabe Punkte. b) Formulieren Sie eine Konventionaldefinition für den Begriff gleichschenkliges Trapez, wie sie sich entprechend T unmittelbar ergibt. Definition GST : 3 PH Heidelberg - Fach Mathematik 3

5 Klausur zur ATP, Modul, Einführung in die Geometrie, WS 1/13, Gegeben sei ein Viereck ABCD mit folgenden Eigenschaften: V 1 : ABCD hat einen Umkreis k mit Mittelpunkt M. V : Ferner gelte AB CD. Abb. 03 Nr. Aufgabe Punkte. c) Beweisen Sie mit Bezugnahme auf die Skizze aus Abbildung 03: AD = BC Ergänzen Sie die Skizze in geeigneter Weise. Sie dürfen für den Beweis keine Sätze über die Eigenschaften von Vierecken verwenden, 13 d) In den Teilaufgaben a) und b) haben Sie zwei verschiedene Definitionen GST 1 und GST des Begriffs gleichschenkliges Trapez formuliert. Mit dem Beweis aus Teilaufgabe c) haben Sie prinzipiell gezeigt, dass aus einer dieser Definitionen die andere folgt. Aus welcher dieser Definitionen haben Sie welche abgeleitet? Wir wollen davon ausgehen, dass Definition GST 1 absolut korrekt ist. Was wäre noch zu tun, um sicher zu sein, dass die in GST verwendeten Eigenschaften für gleichschenklige Trapeze wirklich diesbezüglich definierende Eigenschaften sind? PH Heidelberg - Fach Mathematik 4

6 Klausur zur ATP, Modul, Einführung in die Geometrie, WS 1/13, Aufgabe 4: Beweisen wie die Schüler Es sei ABC ein Dreieck mit dem Umkreis k. Der Punkt M sei der Mittelpunkt von k. Ferner sei m c die Mittelsenkrechte von AB. Entsprechend Abbildung 04 möge m c durch den Punkt C gehen. Ergänzen Sie die folgende Beweisführung, die sich auf die Skizze aus Abbildung 05 bezieht. Abb. 04 Nr. Beweisschritt Begründung Punkte (I) MA = MB = MC... 1 (II) M m c... (III) AM c M = BM c M = (IV) MM c = MMc... 1 (V) MB > MM c < MA... 3 (VI) AMM c = BMMc... 5 (VII) δ 1 = δ... 1 (VIII) β = γ 1... (IX) δ 1 = γ 1 (X) MC = MC (XI) AMC = BMC (XII) γ = γ1... (XIII) δ = γ 1 (XIV) δ = γ (XV) δ 1 + δ = ( γ 1 + γ ) Abschlussfrage: Welcher Satz wurde hier für einen Spezialfall bewiesen? PH Heidelberg - Fach Mathematik 5

7 Klausur zur ATP, Modul, Einführung in die Geometrie, WS 1/13, Platz für weitere Ausführungen PH Heidelberg - Fach Mathematik 6

8 Klausur zur ATP, Modul, Einführung in die Geometrie, WS 1/13, Auswertung Punkte Note Punkte Note erreichte Punkte Note , , , , , ,5 81 1,5 37 4,5 80 1,5 36 4,5 79 1,5 35 4,5 78 1,5 34 4,5 77 1,5 33 4,5 76 1, , , , ,5 5 65,5 1 5,5 64,5 0 5,5 63,5 19 5,5 6,5 18 5, , , , , , ,5 55 3,5 11 5,5 54 3, , , , , PH Heidelberg - Fach Mathematik 7

9 Klausur zur ATP, Modul, Einführung in die Geometrie, WS 1/13, Die Axiome Inzidenzaxiome Axiom I.0 Geraden und Ebenen sind Punktmengen. Axiom I.1 (Axiom von der Geraden) Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält. Axiom I. Zu jeder Geraden gibt es (wenigstens) zwei verschiedene Punkte, die dieser Geraden angehören. Axiom I.3 Es gibt wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte, die nicht kollinear sind. Axiom I.4 Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt. Axiom I.5 Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E. Axiom I.6 Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam. Axiom I.7 Es gibt vier paarweise verschiedene Punkte, die nicht komplanar sind. Abstandsaxiome Axiom II.1 (Abstandsaxiom) Zu je zwei Punkten A und B gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl d mit d = 0 A = B. Axiom II. Für zwei beliebige Punkte A und B gilt AB = BA. Axiom II/3 (Dreiecksungleichung) Für drei beliebige Punkte A, B und C gilt AB + BC AC. Falls koll (ABC), dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt AB + BC = AC AC + CB = AB BA + AC = BC Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind A, B und C kollinear. Axiome der Anordnung Axiom III.1 (Axiom vom Lineal) Zu jeder nicht negativen reelen Zahl d gibt es auf jedem Strahl p genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von p den Abstand d hat. Axiom III. (Das Axiom von Pasch) Gegeben sei ein Dreieck ABC. Ferner sei g eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte A, B, C geht. Wenn g eine der drei Seiten des Dreiecks ABC schneidet, dann schneidet g genau eine weitere Seite des Dreiecks ABC. PH Heidelberg - Fach Mathematik 8

10 Klausur zur ATP, Modul, Einführung in die Geometrie, WS 1/13, Axiome der Winkelmessung Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) Zu jedem Winkel α gibt es genau eine reelle Zahl ω zwischen 0 und 180. Axiom IV. (Winkelkonstruktionsaxiom) Es sei g SA eine Gerade in der Ebene E. Zu jeder reellen Zahl ω mit 0 < ω < 180 gibt es in jeder der beiden durch g bestimmten Halbebenen der Ebene E genau einen Strahl SB + mit ω = ASB Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom) Wenn der Punkt P zum Inneren des Winkels ASB gehört, dann gilt ASP + P SB = ASB. Axiom IV.4 (Supplementaxiom) Nebenwinkel sind supplementär. Das Kongruenzaxiom Axiom V (Kongruenzaxiom SWS) Wenn für zwei Dreiecke ABC und DEF die folgenden 3 Kongruenzen AB = DE AC = DF CAB = F DE gelten, dann sind die beiden Dreiecke ABC und DEF kongruent zueinander. Euklidisches Parallelenaxiom Axiom EP Zu jedem Punkt P außerhalb einer Geraden g gibt es höchstens eine Gerade h, die durch P geht und zu g parallel ist. PH Heidelberg - Fach Mathematik 9